七年级数学上册第三章整式及其加减3.5探索与表达作业设计北师大版

3.5探索与表达规律
一．选择题
1. 观察下列各数：1，1，，，，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为（）
A. B. C. D.
2. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（）
A. 135
B. 170
C. 209
D. 252
3. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）
A. 8
B. 9
C. 13
D. 15
4. 将正奇数按下表排成5列：
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25
…
根据上面规律，2007应在（）
A. 125行，3列
B. 125行，2列
C. 251行，2列
D. 251行，5列
5. 一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n=（n为不小于2的整数），则a2015=（）
A. B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
6. 如图所示的三角形数垒，a、b是某行的前两个数，当a=7时，b=（）
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
7. 对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=﹣，2⊕1=，（﹣2）⊕5=，5⊕（﹣2）=﹣，…，则（﹣3）⊕（﹣4）=（）
A. ﹣
B.
C. -
D.
8. 如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…，则数字“2016”在（）
A. 射线OA上
B. 射线OB上
C. 射线OD上
D. 射线OF上
9.有一列数a1，a2，a3，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2015为（）
A. 2015
B. 2
C. ﹣1
D.
10. 如图，若表②是从表①中截取的一部分，则n等于（）
A. 16
B. 18
C. 20
D. 24
表①
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 ………………
表②
15 n
28
二．填空题
11. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第
一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=__．
12. 找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为__．
13. 观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第__层．
14. 设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，﹣7，b…，则b=__．
15. 一列数：a1，a2，a3，…a n，…，其中a1=，a2=，且当n≥3时，a n﹣a n﹣1=（a n﹣1﹣
a n﹣2），用含n的式子表示a n的结果是__．
三．解答题
16. （1）填空21﹣20=2（），22﹣21=2（），23﹣22=2（）…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22014+22015．
17. 如图所示，某计算装置有一数据的入口A和一运算结果的出口B．
下表是小刚输入一些数后所得的结果：
A 0 1 4 9 16 25 36
B ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
（1）若输出的数是5，则小刚输入的数是多少？
（2）若小刚输入的数是225，则输出的结果是多少？
（3）若小刚输入的数是n（n≥10），你能用含n的式子表示输出的结果吗？试一试．
18. 观察以下一系列等式：①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；
③23﹣22=8﹣4=22；④_____：…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：，并说明这个规律的正确性；
（3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+ (2100)
19. 如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第6行的最后一个数是，第n行的最后一个数是；
（2）若用（a，b）表示一个数在数表中的位置，如9的位置是（4，3），则168的位置是．
20. 从2开始的连续偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数（n）和（S）
1 2=1×2
2 2+4=6=2×3
3 2+4+6=12=3×4
4 2+4+6+8=20=4×5
5 2+4+6+8+10=30=5×6
……
（1）根据表中的规律，直接写出2+4+6+8+10+12+14= ；
（2）根据表中的规律猜想：S=2+4+6+8+…+2n=（用n的代数式表示）；（3）利用上题中的公式计算102+104+106+…+200的值（要求写出计算过程）．
答案
一．选择题
1. 【答案】B
【解析】1，1，，，，…整理为，，，，，…可发现这列数的分子为奇数排列用2n-1表示，分母恰是2n-1，当n=7时，2n-1=13，2n-1=127，所以这列数的第7个数为：
，故选B．
考点：数字规律.
2. 【答案】C
【解析】∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209.故选C．
考点：规律型：数字变化类.
3. 【答案】A
【解析】根据规律可得：x=1+2=3，y=3+5=8.
考点：新规律题
4. 【答案】D
【解析】由上表可以看出，表中的数字是奇数的蛇形排列，因为，所以2007应该在251行5列，故本题应选D.
5.【答案】B
【解析】因为，所以，，，……，，故本题应选B.
6. 【答案】C
【解析】由图中的规律可知，第六排的数字依次是6,16,25,25,16,6，则第七排的前两个数字为7,22，所以，故本题应选C.
7. 【答案】A
【解析】由上面的式子可以看出，所以，故本题应选A.
8. 【答案】A
【解析】分析图形，可得出各射线上点的特点，再看2016符合哪条射线，即可解决问题．由图可知OA上的点为6n，OB上的点为6n+1，OC上的点为6n+2，OD上的点为6n+3，OE上的点为6n+4，OF上的点为6n+5，（n∈N）.∵2016÷6=336，∴2016在射线OA上．故选A．
考点：规律型：数字的变化类．
9.【答案】D
【解析】解决此题首先要计算列举出部分结果，直至数列开始循环，确定循环周期，用2015除以周期看余数是几，就与第几个数据相同．a1=2，，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2…可以发现：数列3个为一个循环周期，2015÷3=671…2,所以a2015=a2=．故选D．考点：规律型：数字的变化类；倒数；有理数的减法．
10.【答案】B
【解析】设15在a行b列，那么ab=15，则(a+1)(b+2)=28，解得a=3，b=5，所以n=3×6=18，故本题应选B.
二．填空题
11. 【答案】1.6×105或160000
【解析】∵；；；…∴
；=160000．故答案为：1.6×105或160000．
考点：规律型：数字的变化类；规律型．
12. 【答案】226
【解析】观察图形可得，0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，由此规律可得14+a=15×16，解得：a=226.
考点：规律探究题.
13. 【答案】44
【解析】首先得出每一层的第一个数字为，每一行数的个数为2n+1个，然后根据规律得出答案.
考点：规律题
14.【答案】128
【解析】根据题意得：a=3²−(−2)=11，则b=11²−(−7)=128.故答案为：128.
15. 【答案】
【解析】因为，所以，则
， .
三．解答题
16.【答案】证明见解析
【解析】⑴按照有理数的乘方运算法则求值即可.⑵.⑶先将式子
降幂排列，然后依照上述规律进行计算即可.
解：（1）21﹣20=2﹣1=1=20，22﹣21=4﹣2=2=21，23﹣22=8﹣4=4=22，故答案为0、1、2. （2）∵ 21﹣20=20，22﹣21=21，23﹣22=22，
∴ 2 n﹣2 n﹣1=2 n﹣1；
证明：∵ 2 n﹣2 n﹣1=2×2 n﹣1﹣2 n﹣1=2 n﹣1×（2﹣1）=2 n﹣1，
∴ 2 n﹣2 n﹣1=2 n﹣1成立．
（3）20﹣21﹣22﹣…﹣22014+22015=22015﹣22014﹣22013﹣…﹣21+20=22014﹣22013﹣…﹣21+20
=22013﹣22012﹣…﹣21+20=…=22﹣21+20=21+20=2+1=3.
17. 【答案】49；13；
【解析】（1）根据表格发现规律：A=（B+2）2；（2）根据表格发现规律：B=﹣2，根据这一规律进行计算；
（3）根据表格中的规律进行表示．
解：有表中数据可发现：有输入的A的值可发现输入的数字为n2，输出的B的值为n﹣2．（1）输出的数是5，则小刚输入的数是（5+2）2=49；
（2）输入的数是225，则输出的结果是﹣2=15﹣2=13；
（3）输入的数是n（n≥10），则输出结果为：﹣2．
考点：规律型：数字的变化类．
18.【答案】（1）24﹣23=16﹣8=23（2）2n﹣2（n﹣1）=2（n﹣1）（3）2101﹣1
【解析】（1）根据已知规律写出④即可．（2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性.（3）写出前101个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．解：（1）根据已知等式：①21-20=2-1=20；②22-21=4-2=21；③23-22=8-4=22；
得出以下：④24-23=16-8=23.
（2）①21-20=2-1=20；②22-21=4-2=21；③23-22=8-4=22；④24-23=16-8=23；
得出第n个等式：2n-2（n-1）=2（n-1）；
证明：2n-2（n-1），
=2（n-1）×（2-1），
=2（n-1）.
（3）根据规律：
21-20=2-1=20；
22-21=4-2=21；
23-22=8-4=22；
24-23=16-8=23；
…
2101-2100=2100；
将这些等式相加得：
20+21+22+23+ (2100)
=2101-20，
=2101-1．
∴20+21+22+23+…+2100=2101-1．
19.【答案】（1）21；；（2）（18，15）．
【解析】⑴通过观察可知第六行最后一个数为21，第行最后一个数为.⑵当时，第17行最后一个数为153，当时，第18行最后一个数为171，而第18行有18个数，168排在第15个，故它的位置是（18,15）.
解：（1）第一行，最后一个数是1=；
第二行，最后一个数是3=；
第三行，最后一个数是6=；
…
第六行，最后一个数是==21；
通过观察可知：
第n行，最后一个数=；
（2）当n=17时，最后一个数=153；
当n=18时，最后一个数=171；
153＜168小于171．
∴ 168位于第18行，且第18行第一个数字为154．
∴ 168为第18行第15个数字．
∴ 168的位置是（18，15）．
点睛：本题考查了数字变化的规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.
20.【答案】（1）56；（2）n（n+1）；（3）7550
【解析】（1）根据计算规律列式计算即可得解；（2）根据和等于加数的个数乘以首尾两个加数和的一半列式计算即可得解．（3）把102+104+106+...+200=2+4+6+8+ (200)
（2+4+6+8+…+100），再进一步利用规律计算即可.
解：（1）.
（2）S=2+4+6+8+…+2n=n•=n（n+1）．（3）原式=
=
=
=.。