井壁稳定力学模型中坐标及应力分量变换分析

Tx xx l yx m zx n Ty xy l yy m zy n （6） Tz xz l yz m zz n
cos sin cos sin sin
sin e1 0 e 2 （13） cos e 3
[3,4,5]


y1
2
。
1
H
O

x1
2.1 坐标变换推导
为了建立 ( x, y, z ) 坐标与 (1, 2,3) 坐标之间的
h
图 2 坐标变换图示
转换关系，需要引入中间坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) ，假设坐标系 (1, 2,3) 的单位基矢量为 {e1 , e 2 , e3 } ，中间 坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 的单位基矢量为 {e x1 , e y1 , e z1} ，坐标系 ( x, y, z ) 的单位基矢量为 {e x , e y , e z } 。现在 ： 将 (1, 2,3) 坐标按照以下方式旋转（图 2）
n = T(n) n Tx l Ty m Tz n xx l 2 yy m 2 zz n 2 xy lm yz mn zx nl （8）
切向剪应力为
n
2 T(n) n ，其中 T(n) Tx2 Ty2 Tz2 （9）
0 、 n3 cos ，则两坐标系 0 、 m2 1 、 n2 0 ， e z 在各坐标轴的投影为 l3 sin 、 m3 为 l2
单位基矢具有如下关系： e x cos 0 sin e x1 1 0 e y 0 e y1 （12） e e z1 z sin 0 cos 联立式（11）和（12）即可得到 e x l1 m1 n1 e1 cos cos e y l2 m2 n2 e2 sin e sin cos e3 z l3 m3 n3
1 坐标及应力变换基本原理
1.1 CauChy 公式（斜截面应力公式）
设 O 为受力物体内任意一点，且已知该点的一组六 个独立应力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 。为了求过 我们在 O 点处截 O 点外法线为 n 的任意斜截面上的应力， 取一个微小的四面体单元，建立 ( x, y, z ) 坐标系，其基矢 量为 {e x , e y , e z } ，如图 1。 假定不计四面体 OABC 的体力，且斜截面外法线 n 的 方向余弦分别记为
2
1.2 坐标变换基本原理
设 ( x, y, z ) 为一直角坐标系， ( x, y , z ) 是旋转 ( x, y, z ) 坐标系后得到的新坐标系，则旧坐标 系为 ( x, y, z ) 、新坐标系为 ( x, y , z ) ，旧坐标系 ( x, y, z ) 的单位基矢量为 {e x , e y , e z } ，新坐标系
（1）先将坐标 (1, 2,3) 以坐标轴 3 为轴，按右手定则旋转角 ，变为 ( x1 , y1 , z1 ) 坐标系。其 ，井斜方位是定向井井眼轴线在水 中 为井斜方位与水平最大主应力的夹角（即井斜方位角） 平面的投影迹线与正北方向的夹角，水平最大主应力方位是该地应力方向与正北方向的夹角。 旋转后，中间坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 单位基矢 e x1 在坐标系 (1, 2,3) 各坐标轴的投影分别为 l1 cos 、
sin 、 m2 cos 、 n2 0 ， e z1 在各坐标轴 m1 sin 、 n1 0 ， e y1 在各坐标轴的投影为 l2 0 、 n3 1 ，则两坐标系单位基矢具有如下关系： 的投影为 l3 0 、 m3 e x1 cos sin 0 e1 e y1 sin cos 0 e 2 （11） e e 3 0 1 z1 0
( x, y , z ) 的单位基矢量为 {ex , ey , e z } 。
设 ex 在旧坐标系下各坐标轴的投影（即三个方向余弦）分别为 l1 , m1 , n1 ， ey 在旧坐标系下 各坐标轴的投影为 l2 , m2 , n2 ， ez 在旧坐标系下各坐标轴的投影为 l3 , m3 , n3 ，则新、旧坐标系单 位基矢量具有如下关系[1,2]： l1 m1 n1 ex ex m2 n2 y l2 e e y （10） e z l3 m3 n3 ez 上式中， l1 , m1 , n1 ， l2 , m2 , n2 和 l3 , m3 , n3 所组成的矩阵为坐标变换矩阵。 将新坐标系中的三个之平面（ Oxy, Oyz , Oxz ）分别看作旧坐标系中的斜面，再利用 CauChy 公式即可推导出新就坐标系下中应力分量的变换关系。下面本文将根据上述的变换原理对坐 标变换及应力分量变换进行推导。
若设斜截面 ABC 的面积为 dS ，O 点与 ABC 距离的为 dh ，体积力为 F 。则可知 OBC、OCA、 OAB 三截面的面积分别为 ldS 、 mdS 、 ndS ，四面体 OABC 的体积为 dhdS / 3 ，从而根据四面体 平衡条件导出 T(n)dS T(e x )ldS T(e y )mdS T(e z )ndS FdhdS / 3 0 （2） 由于 T(n) T(n) ，由于体积力 FdhdS / 3 是比面力高阶的小量，故忽略体积力可得 T(n) T(e x )l T(e y )m T(e z )n （3） 这就是著名的 CauChy 公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微小四面体的平衡条件[1]。 将斜面应力矢量 T(n) 沿坐标轴方向分解即得到 T(n) Tx e x Ty e y Tz e z （4） 而笛卡尔坐标系下的三个应力矢量（共 9 个分量）为 T e x xx e x yx e y zx e z T e y xy e x yy e y zy e z （5） T e z xz e x yz e y zz e z 从而，由式（4）和（5）可得斜截面公式的分量形式为
3 ( z1 )
z
2 斜井井眼坐标变换及应力分量变换推导
选取坐标系 (1, 2,3) 分别与主地应力 H 、 h 、
v

O
yБайду номын сангаас


r
x
v 方向一致（图 2） 。为了方便起见，建立直角
其中 Oz 轴对应于井轴， Ox 和 Oy 坐标系 ( x, y, z ) ， 位于与井轴垂直的平面之中
井壁稳定力学模型中坐标及应力分量变换分析
邓元洲 ，陈颖杰 ， 马天寿 ，付晓平
1 2 3 1
（1.四川川庆钻采科技有限公司 2.油气资源与探测国家重点实验室，北京 昌平 102249；3.西南石油大学石油 工程学院，成都 新都 610500） 摘 要：本文从 CauChy 公式和空间坐标变换基本原理着手，针对任意倾斜井眼，推导了该情况下井眼坐标系 与原地应力坐标系之间的坐标变换和应力分量变换关系，得出下列结论： （1）任意倾斜井眼的坐标变换系数 （2）井眼坐标下应力分量 [ ] 与原地应力分量 [ Hhv ] 的变换方程为 [ ] [ L][ Hhv ][ L]T 。 为 [ L] ； 关键词：井壁稳定；坐标变换；应力分量变换；地应力
（2）再将坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 以坐标轴 y1 为轴，按右手定则旋转角 ，变为 ( x, y, z ) 坐标系。
为井斜角， 指的是定向井井眼轴线与铅垂线的夹角。 旋转后， 坐标系 ( x, y, z ) 单位基矢量 e x 在
坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 各坐标轴的投影分别为 l1 cos 、 m1 0 、 n1 sin ， e y 在各坐标轴的投影
将上式写成矩阵形式即为 Tx xx xy xz l T y yx yy yz m （7） n Tz zx zy zz 此时，斜截面上的法向正应力为

T(-ey) n
z
C T(-ex)
ez

T(n)

ex
ey
T(-e z )
y
x
图1
l cos(n ,x) ， m cos(n , y ) ， n cos(n ,z ) （1）