二元一次方程组应用题的常见类型分析

二元一次方程组应用探究
二元一次方程组是最简单的方程组，其应用宽泛，特别是生活、生产实践中的很多问题，大
多需要经过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常有的几种题型归纳以下：
一、数字问题
例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；假如互换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
剖析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：
十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系
x y 10x+y10x+y=x+y+
原两位数
9
y 10y+x10y+x=10x+
新两位数ｘ
y+27解方程组，得，所以，所求的两位数是14．
评论：因为受一元一次方程先入为主的影响，许多同学习惯于只设一元，而后列一元一次方
程求解，固然这类方法十有八九能够见效，但对有些问题是力所不及的，象此题，假如
直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出对于x 的方程．一般地，与数位上的数字相关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，而后列多元方程组解之．
二、收益问题
例 2 一件商品假如按订价打九折销售能够盈余20%；假如打八折销售能够盈余10 元，
问此商品的订价是多少？
剖析：商品的收益波及到进价、订价和卖出价，所以，设此商品的订价为x 元，进价为
y 元，则打九折时的卖出价为元，赢利元，所以得方程=20%y；打八折时的卖出价为元，获
利元，可得方程=10.
解方程组，解得，
所以，此商品订价为200 元．
评论：商品销售盈余百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于订价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：收益=卖出价 - 进价；二是：收益=进价×收益率（盈余百
分数）．特别注意“收益”和“收益率”是不一样的两个观点．
三、配套问题
例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每日可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，假如一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每日安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每日生产出来的产品配成最多套？
剖析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母所有配上套，依据题意，每日生产的螺栓与螺母应知足关系式：每日生产的螺栓数×2=每日生产的螺母数
×1．所以，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每日可生产螺栓 25ｘ个，螺母 20ｙ个，依题意，得
，解之，得．
故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母．
评论：产品配套是工厂生产中基来源则之一，怎样分派生产力，使生产出来的产品恰巧
配套成为主管生产人员常有的问题，解决配套问题的重点是利用配套自己所存在的相等关
系，此中两种最常有的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：假如ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ
倍等于乙产品数的ａ倍，即；
（2）“三合一”问题：假如甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么
各样产品数应知足的相等关系式是：．
四、行程问题
例 4 在某条高速公路上挨次摆列着 A、B、C 三个加油站， A 到 B 的距离为 120 千米， B 到 C 的距离也是 120 千米．分别在 A、 C两个加油站实行打劫的两个犯法团伙作案后同时以
同样的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立
即以同样的速度分别往A、 C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被此中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追追上．问巡逻车和犯法团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯法团伙的车的速度分别为x、y 千米 / 时，则
，整理，得，解得，
所以，巡逻车的速度是80 千米 / 时，犯法团伙的车的速度是40 千米 / 时．
评论：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常有的两种题型，在这两种题型中
都存在着一个相等关系，这个关系波及到二者的速度、本来的距离以及行走的时间，详细表
此刻：
“相向而遇”时，二者所走的行程之和等于它们本来的距离；“同向追及”时，
快者所走的行程减去慢者所走的行程等于它们本来的距离．五、货运问题
典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，此中
甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充足利用这艘船的载重
和容积，甲、乙双重货物应各装多少吨？
剖析：“充足利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且
“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则
，整理，得，解得，
所以，甲、乙双重货物应各装150 吨．
评论：由实质问题列出的方程组一般都能够再化简，所以，解实质问题的方程组时要注意先
化简，再考虑消元和解法，这样能够减少计算量，增添正确度．化简时一般是去分母或
两边同时除以各项系数的最大条约数或移项、归并同类项等．
六、工程问题
例 6 某服饰厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规按限期内达成，依据这个服
装厂本来的生产能力，每日可生产这类服饰 150 套，按这样的生产进度在客户要求的限期内
只好达成订货的；此刻工厂改良了人员组织构造和生产流程，每日可生产这类工作服200套，这样不单比规准时间少用 1 天，并且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？
要求的限期是几日？
剖析：设订做的工作服是x 套，要求的限期是y 天，依题意，得
，解得 .
评论：工程问题与行程问题相近似，重点要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率 =工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少没关时，往常用“1”表示总工作量．
《二元一次方程组实质问题》赏析
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可归纳为“审、找、列、解、答”五步，即：
（ 1）审：经过审题，把实质问题抽象成数学识题，剖析已知数和未知数，并用字母表
示此中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：依据这两个相等关系列出必要的代数式，进而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（ 5）答：在对求出的方程的解做出能否合理判断的基础上，写出答案
【典题精析】
例1（ 2006 年南京市）某泊车场的收费标准以下：中型汽车的泊车资为
车的泊车资为4元 / 辆. 此刻泊车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳泊车资
中、小型汽车各有多少辆？
分析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆 . 由题意，得.
6元 / 辆，小型汽
230 元，问
解得，
故中型汽车有 15辆，小型汽车有35辆 .
例 2（ 2006 年四川省眉山市）某蔬菜企业收买蔬菜进行销售的赢利状况以下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨赢利（元）100250450此刻该企业收买了140 吨蔬菜，已知该企业每日能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜
吨（两种加工不可以同时进行）．
（1）假如要求在18 天内所有销售完这140 吨蔬菜，请达成以下表格：
16
销售方式所有直接
销售所有粗加工后
销售
尽量精加工，节余部分直接
销售
赢利（元）
（2）假如先进行精加工，而后进行粗加工，要求在15 天内恰巧加工完140 吨蔬菜，则应怎样分派加工时间？
解：（ 1）所有直接销售赢利为： 100×140=14000（元）；
所有粗加工后销售赢利为：250×140=35000（元）；
尽量精加工，节余部分直接销售赢利为： 450×（6×18）＋100×（ 140－6×18） =51800 （元） .
（ 2）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工.
由题意，得
解得，
故应安排 10 天进行精加工， 5 天进行粗加工.
【追踪练习】
为知足市民对优良教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆掉一部分旧校舍，建造新校舍，拆掉旧校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700 元.计划在年内拆掉旧
校舍与建筑新校舍共7200 平方米，在实行中为扩大绿地面积，新建校舍只达成了计划的80%，而拆掉旧校舍则超出了计划的10%，结果恰巧达成了原计划的拆、建总面积.
（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实质达成的拆、建工程中节余的资本用来绿化大
概是多少平方米？
答案：（ 1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、2400平方米；
（ 2）可绿化面积为1488 平方米.。