《2.3确定圆的条件》自主学习能力提升训练(附答案)2021年暑假自主学习九年级数学苏科版上册

2021年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》暑假自主学习能力提升训练（附答案）一．点与圆的位置关系（共9小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
2．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定
3．如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）
A．B．C．D．
4．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点P与⊙O的位置关系
5．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．
6．如图，P是以点C（3，0）为圆心，2为半径的圆上的动点，A（0，4），Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是．
7．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线．（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
9．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，0），解答下列各题：
（1）求圆心C的坐标；
（2）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．
二．确定圆的条件
10．下列语句中正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一
条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．下列说法正确的有（）
①不在同一条直线上的三点确定一个圆；
②平分弦的直径垂直于弦；
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等；
④圆内接平行四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）
A．圆内接四边形对角互补
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．任意三点可以确定一个圆
13．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．
14．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
15．已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P 的坐标为时，过P、A、B不能作出一个圆．
16．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
17．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
三．三角形的外接圆与外心
18．如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD 的长是（）
A．B．πC．D．2π
19．如图已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ABC＝20°，则∠ACD的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD 的度数为．
22．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB ＝．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为．
24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
25．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
参考答案
一．点与圆的位置关系
1．解：∵点A（1，），
∴AO＝＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
2．解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
3．解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，连接BC、AC，作CM ⊥OA于M，CN⊥OB于N，
∵y＝﹣2x+6，
∴A（3，0），B（0，6），
∴OA＝3，OB＝6，
∴AB＝＝3，
∵四边形OMCN是正方形，
∴OM＝ON＝1，
∴AM＝3﹣1＝2，BN＝6﹣1＝5，
设PC＝d，PB＝m，则AP＝3﹣m，
∵BN2+CN2＝BC2＝PB2+PC2，AM2+CM2＝AC2＝AP2+CP2，
∴52+12＝m2+d2，22+12＝（3﹣m）2+d2，
解得，d＝，
∵⊙C的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故选：A．
4．解：∵⊙O的半径是3，线段OP的长为4，即点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
5．解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4+2，
∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1，
故答案为：2+1．
6．解：作点A（0，4）关于x轴的对称点B（0，﹣4），连接BP，
∵Q是线段P A的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵点C（3，0），
∴OC＝3，
∵OB＝4，
∴BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故答案为．
7．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AF•BD＝AB•AD，
∴AF＝＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
8．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，
∴BC＝＝5cm，
∵AD•BC＝AB•AC，
∴AD＝cm，
∵AE是中线，
∴AE＝BC＝2.5cm，
∵r＝3cm，
∴AB＝r，AD＜r，AE＜r，AC＞r，
∴点B在⊙A上，点D、点E在⊙A内，点C在⊙A外；
（2）⊙A的半径r的取值范围为＜r＜4．
9．解：（1）∵A（0，2），B（2，0）
∴OA＝2，OB＝2；
Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB＝＝4；
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径；
∴⊙C的半径r＝2；
过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；
∵C是AB的中点，
∴CE是△AOB的中位线，
则OE＝OA＝1，CE＝OB＝，即C（，1）；
故⊙C的半径为2，C（，1）；
（2）如图，作OB的垂直平分线，交⊙C于P1、P2，交OB于D，连接OC；
由垂径定理知：P1P2必过点C，即P1P2是⊙C的直径；
∴P1（，3），P2（，﹣1）；
在Rt△ODP1中，P1D＝3，OD＝，
∴∠BOP1＝60°；
∵P1P2是直径，
∴∠P1OP2＝90°，∠BOP2＝30°；
由于P1P2垂直平分OB，所以△OBP1、△OBP2都是等腰三角形，因此P1、P2均符合P 点的要求；
由于此时同时BO＝P1O，因此不需要考虑BO为腰的情况．
故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1＝60°；P2（，﹣1），∠BOP2＝30°．
二．确定圆的条件
10．解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；
④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，
故选：A．
11．解：①不在同一条直线上的三点确定一个圆，①正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，②错误；
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，③错误；
④圆内接平行四边形是矩形，④正确；
故选：B．
12．解：A、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
故选：A．
13．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
14．解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
15．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），点B（0，2），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（2，﹣2）
16．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
17．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
三．三角形的外接圆与外心
18．解：连接OB、BD，如图：
∵等边△ABC，
∴∠C＝60°，
∵弧AB＝弧AB,
∴∠D＝∠C＝60°，
∵OB＝OD,
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵半径OA＝3，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：B．
19．解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A＝∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
故选：C．
20．解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°．
∵∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝70°．
故选：D．
21．解：连接BD，如图．
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C与∠ADB所对的弧为，
∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40°．
22．解：如图，连接OA，OB，
在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
故答案为：．
23．解：连接AD，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°
∴AB＝2AB＝8，
∴⊙O的半径为4，
故答案为：4．
24．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3,
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
25．解：（1）连接OB、OC，如图：
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
．
∴△OAB≌△OAC（AAS）．
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，连接OB，如图：
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝2，AB＝3，
．∵a＞0，b＞0，解得：．∴BC＝2BH＝2a＝．
26．证明：（1）连接AE，如图，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
（2）连接DE，如图，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∵四边形ADEB是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BED＝180°．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠BAD＝∠CED，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣2∠BAD，∴∠BCD＝2∠ABD。