2015届高三数学(文)一轮课件：4.3 三角函数的图象及性质

2
重点难点
重点难点

3

2

12
5
12
由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.

2

3
3
2
5
12
由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+
故所给函数的递减区间为
递增区间为 k +
5
,k
12
+

k- ,k
12
11
12
3
+2sin x-

4
·
sin x +

4
,求函数 f(x)在区间
上的最大值与最小值.
解:(1)要使函数有意义,必须使 sin x-cos
x≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和
y=cos x 的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 的值为
5
1
2

6
2 2
,
2 2
1 2
t2
5
4
.
5
4
.
+ ,t∈ 2
2
2 2
,
2 2

4
,
1- 2
.
2
故当 t= ,即 x= 时,ymax= ,当 t=- ,即 x=- 时,ymin=
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十二页，编辑于星期五：九点 四十分。
13
第3讲 三角函数的图像及性质
题型一
考纲考向
三角函数的定义域、值域及最值
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象

定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
基础梳理
x x ≠ +kπ,k∈Z
2
R
自我检测
第五页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
基础梳理
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
1
续表
基础梳理
自我检测
第三页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
基础梳理
1
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
温馨提示
(1)周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件:
①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x);
②T 是不为零的最小正数.
(2)一般地,若 T 为 f(x)的周期,则 nT(n∈Z)也为 f(x)的周期,即 f(x)=f(x+nT).
考查三角函数的概念、周期
性、单调性、有界性等,多以
选择题或填空题的形式出现,
有时也会出现以函数性质为
主的结合图象的综合题,试题
以容易题、中档题为主.
第二页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
基础梳理
1
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
1.周期函数和最小正周期
(1)周期函数的定义:
区间,可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则:①把“ωx+φ(ω>0)”视为
一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)
的单调区间对应的不等式方向相同(反).

|ω|
(2)对于 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数),其周期 T= ,单调区间利用
1
4
∴- ≤y≤2.
基础梳理
自我检测
第十页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
题型一
考纲考向
三角函数的定义域、值域及最值
考点基础
例1
重点难点
重点难点
规律总结
随堂演练
迁移训练1
(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x 2 的定义域;
(2)求函数 y=cos2x+sin x |x| ≤

6
∈ -

6
5
3 6
,∴2x- ∈ - ,
3
,1
2

6
.
.
.

3

3
x=- 时,f(x)取最小值- .
12
2
故当 x= 时,f(x)取最大值 1;
当
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十五页，编辑于星期五：九点 四十分。
16
第3讲 三角函数的图像及性质
考纲考向
题型二 三角函数的单调性与周期性
对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的每一个 x 值,
都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函
数的周期.
(2)最小正周期:
对于一个周期函数 f(x),如果在它的所有周期中,存在一个最小的正数,
那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

2
ωx+φ∈ k- ,k +

,解出 x 的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数
2
y=f(v),v=φ(x),其单调性的判定方法:若 y=f(v)和 v=φ(x)同为增(减)函数
时,y=f(φ(x))为增函数;若 y=f(v)和 v=φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函数.
(3)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画出图象,结合
5
+
12
11
,k∈Z.
12
,k∈Z;
,k∈Z.
2
2
最小正周期 T= =π.
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十七页，编辑于星期五：九点 四十分。
18
第3讲 三角函数的图像及性质
题型二
考纲考向
三角函数的单调性与周期性
考点基础
例2
重点难点
重点难点
迁移训练2
点拨提示
(2)观察图象(图略)可知,y=|tan x|的递增区间是 k,k +
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
π
kπ
2
2
kπ + ,0 ,k∈Z
对称中心
(kπ,0),k∈Z
对称轴 l
x=kπ+ ,k∈Z
x=kπ,k∈Z
无
2π
2π
π
周期性
基础梳理
π
2
,0 ,k∈Z
自我检测
第七页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
自我检测
1.函数 y=tan
π
4
1-2

-x
4
考纲考向
(3)特别注意:最小正周期是指函数值重复出现时自变量 x 加上的那个最小
正数.不是所有的周期函数都有最小正周期,周期函数 f(x)=C(C 为常数)就没有
最小正周期.
基础梳理
自我检测
第四页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
基础梳理
1
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
图象判定.
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十九页，编辑于星期五：九点 四十分。
随堂演练

2
,k∈Z,递减

2
区间是 k- ,k ,k∈Z.
最小正周期 T=π.
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十八页，编辑于星期五：九点 四十分。
19
第3讲 三角函数的图像及性质
考纲考向
题型二 三角函数的单调性与周期性
考点基础
例2
重点难点
重点难点
点拨提示
随堂演练
迁移训练2
(1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0,ω>0)的函数的单调
第3讲 三角函数的图象及性质
第一页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
考纲考向
考纲考向
考纲展示Biblioteka 重点难点随堂演练命题分析
理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质
(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的
π
2
交点等).理解正切函数在 - ,
性.
考点基础
π
内的单调
2
三角函数的图象与性质主要
迁移训练1
规律总结
(2)由题意得 f(x)= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)
1
2
3
2

- ,
12 2
1
2
3
2
= cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin 2x又∵x∈
∴sin 2x-
考点基础
重点难点
重点难点
例1
规律总结
题型一 三角函数的定义域、值域及最值
随堂演练
迁移训练1
π
k < x < k + ,k∈,
s2x > 0,
2
解:(1)依题意
⇒
2
9- ≥ 0
-3 ≤ x ≤ 3

2
⇒ x -3 ≤ x < - ,或 0 < x <

2

4
(2)设 sin x=t,∵|x|≤ ,∴t∈ 从而 y=1-sin x+sin x=2
知 B 正确.或利用偶函数定义求解.
基础梳理
自我检测
第九页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
自我检测
1-2
考纲考向
3-4
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
5
5.函数 y=sin22x+sin 2x 的值域是
.
1
4
答案: - ,2
解析:y=
1 2
2x +
2
1
4
− ,∵-1≤sin 2x≤1,
考点基础
例1
重点难点
重点难点
规律总结
随堂演练
迁移训练1
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线
或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最
A.x=0
B.x=

2
C.x=π
)
D.x=2π
答案:C
x
2

2
x
2
解析:由 = +kπ(k∈Z),得 x=π+2kπ(k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的图象的一
条对称轴.
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：九点 四十分。
9
第3讲 三角函数的图像及性质
自我检测
3.函数 y=2sin
A.
C.
3-4
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
5
的定义域是(
)
π
4
A. x x ≠ ,x∈
B. x x ≠ - ,x∈
π
4
C. x x ≠ k + ,k∈,x∈
D. x x ≠ k +
3π
,k∈,x∈
4
答案:D

4

2
3
4
解析:∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ ,k∈Z.
x
2
2.函数 y=sin 的图象的一条对称轴的方程是(
2
- ,
3 3
7
,
6 6
1-2

-x
3
考纲考向
3-4
D.
重点难点
随堂演练
5
的一个单调递减区间是(
B.
考点基础
考点基础
)
4
,
3 3
5
- ,
6 6
答案:D
4.若函数 f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,则 φ 的一个值为(

A.π
B.-
)
2

D.8

C.4
答案:B
解析:∵f(x)是偶函数,∴x=0 是函数 f(x)图象的对称轴.∴f(0)=±1.代入验证可
值(值域);
②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函
数再求值域(最值);
③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化
为关于 t 的二次函数再求值域(最值).
题型一
2
基础梳理
(k∈Z)
上递增
π
x= +2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
y=tan x
π
2
π
+ kπ,
2
+ kπ
无最值
时,ymin=-1
自我检测
第六页，编辑于星期五：九点 四十分。
第3讲 三角函数的图像及性质
基础梳理
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
1
续表
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x

4
的最大值与最小值.
思路分析：(1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利
用单位圆或图象求 x 的范围.
(2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解
决.
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
第十一页，编辑于星期五：九点 四十分。
12
第3讲 三角函数的图像及性质
考纲考向
, ,再结合正弦、余弦函数的周期是
4 4
2k +
5π
,k∈
4
题型一
题型二
2π,所以定义域为 x 2k +
π
4
≤x≤
.
题型三
题型四
解题策略
第十四页，编辑于星期五：九点 四十分。
15
第3讲 三角函数的图像及性质
题型一
考纲考向
三角函数的定义域、值域及最值
1
2
3
2
考点基础
例1
重点难点
重点难点