北京市延庆区2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

延庆区2018—2019学年度模拟考试试卷
高三数学（理科） 2019年3月
本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项.
1.已知集合(){}
10A x x x =+≤，集合{}11B x x =-<<，则=A B （A ）{}
-11x x ≤≤ （B ）{}
-10x x <≤
（C ）{}-11x x ≤<
（D ）{}01x x <<
2.“01k <<”是“方程22
112
x y k k -=-+表示双曲线”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
3. 已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4
．函数()=sin 22f x x x 在区间[,]22
ππ
-
上的零点之和是 （A ）3π
-
（B ）6π
-
（C ）
6π
（D ）
3π
5．已知数列{}n a 中，111
1,1n n
a a a +==+，若利用下面程序框图计算该数
列的第2019项，则判断框内的条件是
（A ）2016n ≤ （B ）2017n ≤ （C ）2018n ≤ （D ）2019n ≤
6. 已知曲线2:2x t C y a t =⎧⎨=+⎩
，
（t 为参数），若曲线C 上存在点P 为曲线:1D ρ=上一点，则实数a
的取值范围为 （A
）[
（B
）[ （C ）[1,1]- （D ）[2,2]-
7.
已知一个正四面体的底面积为 （A
） （B ）
（C
） （D
）8. 5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜 负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场（1,2,3,4,5i =），则错误的 结论是
（A ）1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++
（B ）2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++ （C ）12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关
（D ）2
2
2
2
2
12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知等比数列{}n a 的公比为2，若134a a +=，则2a =_____.
10. 设为虚数单位，如果复数z 满足(1)i z i -=，那么z 的虚部为____.
11. 如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+，则λμ+的值为_____.
12. 设
()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R ∈使得0()1f x ”为假命题
的一个函数是
()f x _____．
13. 已知4()(21)f x x =-,设423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则1234234=a a a a +++_____. 14. 已知集合{}121M x N x =∈≤≤ ，集合321,,A A A 满足
① 每个集合都恰有7个元素 ; ② 123A A A M =．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称
为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++ 的最大值与最小值的和为 .
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
如图，在ABC ∆中，点D 在BC
边上，cos ADB ∠=3
cos =5
C ∠，7AC =． i E
A B
C
D
sin CAD ∠（求Ⅰ）的值；
（Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及ABD ∆的面积．
16.（本小题满分13分）
2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.
（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；
（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城
镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与2
2s 的大小．（只
需写出结论）.
A
D
B
C
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面
ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.
B E
（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC 所成二面角的余弦值； （Ⅲ）设
=PM
PD
λ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBC
λ的值.
18.（本小题满分13分）
已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）令()
()f x g x x
=，求函数()g x 的单调区间.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆G :22
212
x y a +
=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线:
l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB
与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．
20.（本小题满分13分）
已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,
,}n n i S X X x x x x i n ==∈=…，(2)n ≥．
对于1212(,,
,),(,,)n n n A a a a B b b b S ==∈…，定义A 与B 之间的距离为1
(,)||n
i i i d A B a b ==-∑．
（Ⅰ）2,A B S ∀∈，写出所有(,)2d A B =的,A B ；
（Ⅱ）任取固定的元素n I S ∈，计算集合{|(,)}(1)k n M A S d A I k k n =∈≤≤≤中元素个数；
（Ⅲ）设n P S ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有不同元素间的距离的最小值为d ．
证明： 1
2n d m -+≤．
延庆区2018—2019学年度一模统一考试答案
数学（理科） 2019.3
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分）
1
12
x
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-
， 所以cos 10
ADC ∠=，………………………1分 sin ADC ∠=
…………………2分
又因为
3cos =,5C ∠
4
sin 5
C ∠=，所以，…………………3分
sin sin()sin cos cos sin DAC ADC ACD ADC ACD ADC ACD
∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠ (5)
分
3455=
=
……………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由
ADC
AC
C A
D ∠=∠sin sin ，…………9分
得
4
7
sin
sin
AC C
AD
ADC
⋅
⋅∠
===
∠
．…………11分
sin=
10
ADB
∠…………12分
所以
11
sin1028
22
ABD
S AD BD ADB
∆
=⋅⋅∠=⋅=．…………13分16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共9次。

…………………1分
两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。

…………………2分
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件A，
因此
5
()
9
P A=…………………3分
（Ⅱ）X所有可能的取值为：0，1，2，3 …………………4分
03
64
3
10
1
(0)
30
C C
P X
C
===
12
64
3
10
3
(1)
10
C C
P X
C
===
21
64
3
10
1
(2)
2
C C
P X
C
===
30
64
3
10
1
(3)
6
C C
P X
C
===…………………8分
随机变量X 的分布列为
…………………10分
13119
()01233010265E X =
⨯+⨯+⨯+⨯=
…………………11分
（Ⅲ）21s <2
2s …………………13分.
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥. 由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，
所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且PA AB ⊥，面PAB 面=ABCD AB
且PA ⊂面PAB 所以PA ⊥底面ABCD . ………………3分
又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………4分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
所以EF ⊥平面PAC . ………………5分
（Ⅱ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -， ………………6分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,
220,
x y x z -+=⎧⎨
-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………7分 M 为PD 的中点，由（1）知，AC ⊥平面M EF 且(0,2,0)AC =， ………8分
所以|cos ,|AC <>=n ||||||AC AC ⋅=⋅n n ， ………………9分
平面MEF 与平面PBC 10分 （Ⅲ） 设
([0,1])PM
PD
λλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--， ………………11分 (12,12,22)ME λλλ=+--，………………12分
由（1）知(1,1,1)=n . 直线ME 与平面PBC
所以|cos ,|
ME <>n ， ………………13分 解得12λ=. 或3
2
λ=- （舍） ………………14分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
()ln()f x x a =+ 1
()f x x a
'∴=
+ ………1分 1
(1)1f a '∴=
+
………2分
()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行
11
12
a ∴
=+ 解得 1a = ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln(1)
()x g x x
+=
………5分 函数()g x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………6分
所以2
ln(1)1'()x
x x g x x
-++=，…………7分 令()ln(1)1
x
h x x x =
-++， …………8分 又22
11'()(1)1(1)x
h x x x x =
-=-+++，…………9分
(1,0)x ∴∀∈-有()0h x '>恒成立
故()h x 在(1,0)-上为增函数，
由()(0)ln10h x h <=-=，
所以函数()g x 是(1,0)-上单调递减． …………… 11分
(0,)x ∴∀∈+∞有()0h x '<恒成立
故()h x 在(0,)+∞上为减函数，
由()(0)ln10h x h <=-=，
所以函数()g x 是(0,)+∞上单调递减． …………… 13分
综上，()g x 在 (1,0)- 和 (0,)+∞ 单调递减
19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）
(,1)M c 在椭圆22
212
x y a +=上
221
2
c a ∴= 由22b ∴=
解得 24a ∴= ………………3分
所以，椭圆的标准方程为22
142x y +=
………………4分
(Ⅱ)
由22
20,
1,42
y m x y -+=⎨+=⎪⎩
得22480x m ++-=．………………5分 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，
所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩
解得40m -<<或04m <<．……………6分
设11(,)A x y ，22(,)B x y
，则122x x m +=-，21284
m x x -=,……………8分
112
m
y +=
，222m y +=．……………10分
显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，
由（Ⅰ）可知M
则12k k +=
+……………11分
211)(1)(x x -+-=
=
=
28)(m m ----+=
2=
220==．
因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠．
……………13分
所以PM QM =． ………………14分
20.（本小题满分13分） 解 （Ⅰ）
(1,1)(0,0)A B (1,0)(0,1)A B (0,1)(1,0)
A B (0,0)
(1,1)A B …………………4分 （Ⅱ）当1k =时，01
11n n
M n C C =+=+…………………5分 当2k =时，0122+n n n M C C C =+ …………………6分
写出，…………………7分
特别的，．
所以 K M 元素个数为 01
2k n n n n C C C C ++++ …………………8分
（Ⅲ）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而．
01
||k
k n n n M C C C =++
+||2n
n M =121211'{(,,
,)|(,,,,
,)}n n d n d P c c c c c c c P -+-+=∈|'|||P P =|'|||P P ≤,n A B S ∀∈A B ≠112211,,
,n d n d a b a b a b -+-+===(,)1d A B d ≤-P d 121211(,,
,)(,,,)n d n d a a a b b b -+-+≠
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．证毕．…………………13分
'P |'|||P P m =='P 1n d -+1
2
n d -+1
2n d m -+≤。