高中数学人教版(新教材)必修1教学设计5：1.3 第1课时 并集与交集

1.3 第1课时并集与交集
教学目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点).
教学知识梳理
知识点1并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
知识点2交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
教学案例
题型一并集的概念及简单应用
『例1』(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝()
A.{1，2，3，4}
B.{1，2，3}
C.{2，3，4}
D.{1，3，4}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝()
A.{x|－1≤x＜3}
B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|x≥－1}
『解析』(1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
『答案』(1)A(2)C
规律方法求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.
『训练1』已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝()
A.{0}
B.{0，3}
C.{1，3，9}
D.{0，1，3，9}
『解析』易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
『答案』D
题型二交集的概念及简单应用
『例2』(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()
A.{2}
B.{3}
C.{－3，2}
D.{－2，3}
(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()
A．{0} B．{1}
C．{1，2} D．{0，1，2}
『解析』(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
(2) 由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}．
『答案』(1)A(2)C
规律方法求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
『训练2』(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝()
A.x ＝3，y ＝－1
B.(3，－1)
C.{3，－1}
D.{(3，－1)}
『解析』(1)分别令3n ＋2＝6，8，10，12，14，只有3n ＋2＝8，3n ＋2＝14有自然数解，
故A ∩B ＝{8，14}，故选D.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故M ∩N ＝{(3，－1)}.
『答案』(1)D (2)D
具有怎样的关系？
解 A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，即A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，A ⊆B 三者为等价关系. 『探究2』设集合A ＝{1，2}，若A ∩B ＝B ，求B . 解 由A ∩B ＝B ，知B ⊆A ，故B ＝∅或{1}或{2}或{1，2}.
『探究3』设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0}. (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.
解 (1)由题可知：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，将x ＝2代入方程x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0得：4＋4(a －1)＋(a 2－5)＝0，解得：a ＝－5或a ＝1. 当a ＝－5时，集合B ＝{2，10}，符合题意； 当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意. 综上所述：a ＝－5或a ＝1.
(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{1，2}，∴B ＝∅或B ＝{1}或{2}或{1，2}. 若B ＝∅，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a <0，解得a >3； 若B ＝{1}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2（a －1）
2＝1－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝0，不成立； 若B ＝{2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2（a －1）
2＝1－a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，
a ＝－1，不成立； 若B ＝{1，2}，则⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝24－8a >0，1＋2＝－2（a －1），1×2＝a 2－5，即⎩
⎪⎨⎪⎧a <3，
a ＝－12，a ＝±7，
此时不成立.
综上，a 的取值范围是{a |a >3}.
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .
(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解. 『训练3』已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围. 解 由A ∩B ＝∅，
(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，
解得－1
2
≤a ≤2.
综上所述，a 的取值范围是{a |－1
2
≤a ≤2或a ＞3}.
课堂小结
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别， 它们是“相容”的.“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ； x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合. (2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地， 当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅. 2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解， 但要注意端点值取到与否.
课堂达标
1.已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A.{x |－1＜x ＜2} B.{x |0＜x ＜1} C.{x |－1＜x ＜0}
D.{x |1＜x ＜2}
『解析』结合数轴可得P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}.故选A. 『答案』A
2．设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{－1，0，2，3}，C ＝{x ∈R |－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{－1，1}
B ．{0，1}
C ．{－1，0，1}
D ．{2，3，4}
『解析』由题意得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ＜2}，
∴(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}．故选C.
『答案』C
3.已知集合M ＝{－1，0}，则满足M ∪N ＝{－1，0，1}的集合N 的个数是( ) A.2 B.3 C.4
D.8
『解析』由M ∪N ＝{－1，0，1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M ＝{0，－1}，
所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0，1}或{－1，1}或{0，－1，1}，共4个.故选C.
『答案』C
4.设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2，5)}，则( ) A.a ＝3，b ＝2 B.a ＝2，b ＝3 C.a ＝－3，b ＝－2
D.a ＝－2，b ＝－3
『解析』∵A ∩B ＝{(2，5)}，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ， 解得a ＝2，b ＝3，故选B.
『答案』B
5.已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，求： (1)A ∪B ；(2)C ∩B .
解 (1)由集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A ∪B ＝{x |2<x <10}；
(2)由集合B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，把两集合表示在数轴上如图所示：
则C ∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}.。