数学解题方法谈：等比数列问题常见错误剖析

等比数列问题常见错误剖析
一、概念不明
例1 若2233k k k ++，，是一个等比数列的前三项，则 ． 错解：依题意22k +是和33k +的等比中项，
2(22)(33)k k k +=+∴，整理得2540k k ++=，
解得1k =-或4k =-．
剖析与正解：此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件，所以1k =-不适合题意，应舍去，答案为4k =-．
二、忽视隐含条件
例2 已知等比数列，若1237a a a ++=，1238a a a =··，求．
错解：2132a a a =∵·，31
2328a a a a ==∴··， 22a =∴，1313
54a a a a +=⎧⎨=⎩，，∴· 解得1314a a =⎧⎨=⎩，，或13
41a a =⎧⎨=⎩，． 231a a q =∵，2q =±∴或12
q =±， 12n n a -=∴或1(2)n n a -=-或32n n a -=或3(2)n n a -=-．
剖析与正解：由上面求出的123a a a ，，的值，可得到题目的一个隐含条件，所以或，所以
12n n a -=或32n n a -=．
三、忽视公式的使用范围
例3 已知等差数列的首项，公差为，2n a n b =，求数列的前项和． 错解：11()1222
n n n n a a a n a n b b ++-+==∵，数列是一个首项为124a =，公比为的等比数列， 4(12)12nd n d
S -=-∴． 剖析与正解：等比数列的前项和公式1(1)1n n a q S q
-=-只在时适用，当时，1n S na =． 4(0)4(12)(0)12nd n d
n d S d =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩-∴ ，． 例4 已知数列的前项和为满足2log (1)1n S n +=+，求数列的通项公式． 错解：由2log (1)1n S n +=+，得121n n S +=-，
1121(21)2n n n n n n a S S +-=-=---=∴， 数列的通项公式为2n n a =．
剖析与正解：错因在于忽略了公式1n n n a S S -=-成立的条件为．
当时，113a S ==，不满足2n n a =，所以数列的通项公式为3(1)2(1)n n n a n =⎧=⎨>⎩，．。