九年级数学竞赛题：抛物线与直线形

九年级数学竞赛题：抛物线与直线形
抛物线与直线形（三角形、四边形）的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：
（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段；
（2）抛物线上的点能否构成特殊的角；
（3）抛物线上的点能否构成特殊三角形、特殊四边形；
（4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形．
这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法．
例1已知抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 与x 轴交于不同的两点A （x ，
，0）和B （x 2，0），与y 轴的正半轴交于点C ．如果x 1、x 2是方程x 2-x -6=0的两个根（x 1<x 2），且△ABC 的面积为2
15． （1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC 和BC 的方程；
（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作直线y =m （m 为常数），与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y =x +m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．
（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使
得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3已知抛物线k kx kx y 322
-+=交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C 点，且y 有最大值4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不
存在，说明理由．
例4如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴上，∠B =60°，
OA =6，OC =4，D 是BC 的中点，延长AD 交OC 的延长线于点E ．
（1）画出△ECD 关于边CD 所在直线为对称轴的对称图形△E l CD ，并求出点E l 的坐标； （2）求经过C 、E 1、B 三点的抛物线的解析式；
（3）请探求经过C 、E 1、B 三点的抛物线上是否存在点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的三角形与△ECD 相似．若存在这样的点P ，请求出P 点的坐标；若不存在这样的点P ，请说明理由．
1．在平面直角坐标系中，已知二次函数k x a y +-=2)1(的图象与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形ACBD 是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．
2．如图，抛物线)0(1282<+-=a a ax ax y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），
抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角，且恰使△OCA ∽△OBC ． ， （1）求线段OC 的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．二次函数281x y =的图象如图所示，过y 轴上一点M （0，2）的直线与抛物线交于A 、B 两点，过点A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．
（1）当点A 的横坐标为-2时，求点B 的坐标；
抛物线的平移、翻折与旋转（课题探究）
类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换．抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变．解与此相关问题的关键是：确定变换前后顶点坐标及开口方向．
例1 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线,422x x y +-=则平移前抛物线的解析式为_____________．
例2有3个二次函数，甲：;1:;122+-=-=x y x y 乙丙：122
-+=x x y ．则下列叙述中正确的是（ ）．
A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合
例3如图，抛物线E ：y =x 2+4x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点。

抛物线E 关于y 轴 对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点．
（1）求F 的解析式；
（2）在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由；，
（3）若将抛物线E 的解析式改为c bx ax y ++=2，试探索问题（2）．
例4对于任意两个二次函数)0(,21222
2211211=/++=++=a a c x b x a y c x b x a y ，
当21|||a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有)0,1(),0,1(,B A ABM -∆记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”（“□□□”填写相应三个点的字母）．
（1）若已知M （0，1），△ABM ≌△ABN （图1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线；
（2）在图2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M （0，n ），求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式．
②若已知M （m ，n ），当m ，n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由．
例5已知二次函数1442
-++=a ax ax y 的图象是c 1
（1）求c 1关于R （1，0）成中心对称的图象c 1的函数解析式；
（2）设曲线c 1 、c 2与y 轴的交点分别为A ，B ，当AB =18时，求a 的值．
1． 抛物线c bx x y ++=2α如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为
____________．
2．已知抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x 2，则b 与c 的值分别为_____________．
3．如图，将抛物线c bx ax y ++=2沿x 轴翻转到虚线的位置，那么，所得到的抛物线的解析式为（ ）．
A 、c bx ax y ++-=2
B 、c bx ax y +--=2
C 、c bx ax y ---=2
D 、
c bx ax y -+-=2
4．作抛物线c 1关于x 轴对称的抛物线c 2，再将抛物线c 2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线c 的函数解析式是y =2（x +1）2-1，则抛物线c 1所对应的函数解析式是（ ）．
A 、2)1(22-+-=x y
B 、2)1(22++-=x y
C 、2)1(22---=x y
D 、2)1(22+--=x y
5．已知抛物线142+-=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得 到一条新的抛物线．
（1）求平移后的抛物线的解析式；
（2）若直线m y =与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围；
（3）若将已知的抛物线解析式改为)0,0(2<>++=b a c bx ax y ，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移a b -个单位长度，试探索问题（2）．
6．如图，已知抛物线如：．y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点．
（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；
（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上；
（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）的情况下，分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使∠APB 为直角？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC ⋅BD 的值．
4．如图，抛物线c bx x y ++-=22
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt △OBC 的高OD ，延长OD 与抛物线在第一象限内交于点E ，求点E 的坐标； （3）在x 轴上方的抛物线上，是否存在一点P ，使得四边形OBEP 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q ，使△BEQ 的周长最小？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线bx ax y +=2过点A （4，0），正方形OABC 的边BC 与抛物线的一个交点为D ，点D 的横坐标为3，点M 在y 轴负半轴上，直线l 过D 、M 两点且与抛物线的对称轴交于点3
1tan ,=∠OMD H ． （1）写出a 、b 的值：a=__________、b =__________，并写出点H 的坐标（______，_______）；
（2）如果点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q ，使得以点O 、M 、Q 、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0）、C （0，3），直线x y 4
3=与BC 边相交于点D ． （1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线bx ax y +=2经过D 、A 两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）若P 为x 轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA 面积的最大值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点Q 为对称轴上一动点，以 Q 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的Q 点的坐标．。