河北中考数学复习 第6讲 分式方程
中考数学总复习第二单元方程组与不等式组第06课时分式方程及其应用课件
高频考向探究
探究一 解分式方程
例 1 [2017·宁夏] 解方程:������+3- 4 =1.
������-3 ������+3
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误: (1)漏乘没有分母的项; (2)没有验根; (3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9, 移项、合并同类项,得 2x=-30, 系数化为 1,得 x=-15, 经检验:x=-15 是原方程的解.
解:设原计划平均每天施工 x 平方米,
则33000
������
-313.020������0
=11,
解得 x=500,
经检验,x=500 是原分式方程的解且符
合题意,
∴实际平均每天施工为
500×(1+20%)=600(平方米).
答:实际平均每天施工为 600 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 列分式方程解应用题时应注意: (1)设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接 设、设多元等; (2)求分式方程的解,验根应从两个方面出发:方程本身和实际意义.
A.a=-5
B.a=5
C.a=-9
D.a=9
3.解分式方程������2-1+���1���+-���2��� =3 时,去分母后变形正确的为( D )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
课前双基巩固
4.若分式方程 ������2 = 1 有增根,则增根为(
第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用PPT课件
A．1 B．－1 C．0 D．2
类型二 一元一次方程的解法 例2 解下列方程：x－x－2 1＝2－x＋3 2.
【思路分析】根据解一元一次方程的基本步 骤解答即可．
【答案】6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)， 6x－3x＋3＝12－2x－4，3x＋3＝8－2x， 3x＋2x＝8－3，5x＝5，∴x＝1.
【解后感悟】(1)去分母，方程两边同乘各 分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项 (尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看 成一个整体加上括号；(2)去括号可用分配律， 注意符号，勿漏乘．
4．解方程：(1)(2016·贺州)解方程：x6－30－ 4 x＝5.
【答案】x＝30
(2)7x－12x－21（x－1）＝23(x－1)．
【答案】方程两边都乘以(x－3)得，2－x－m＝ 2(x－3)，∵分式方程有增根，∴x－3＝0，
解得x＝3，
∴2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故选A.
【答案】x＝－753.
类型三 分式方程的解法
例3 (1)(2015·营口)若关于x的分式方程x－2 3＋3x－＋xm ＝2有增根，则m的值是( )
A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3 【思路分析】方程两边都乘以最简公分母(x－3)，
把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是 使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入 进行计算即可求出m的值．
3x＋n 【答案】解方程 2x＋1 ＝2得x＝n－2. ∵关于x的
3x＋n 方程2x＋1＝2的解是负数，∴n－2＜0.解得：n＜2.
1 又∵原方程有意义的条件为：x≠－ 2 ，∴n－2≠
1
3
3
－2，即n≠2.∴n＜2且n≠2.
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
2014中考总复习第6讲一元一次方程与分式方程
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、一元一次方程和分式方程的有关概念 1. 一元一次方程: 只含有 这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程的一般形式为 2. 分式方程: 分母中含有 二、等式的性质 1. 性质 1 等式两边加( 或减) a± c= . , 结果仍相等. 用式子表示: 如果 a=b, 那么 . 的方程叫做分式方程. 未知数( 元) , 并且含有未知数的项的次数是 ,
第一部分
复习目标
2. 性质 2 等式两边乘 ac=
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
或除以 ( c≠0) .
, 结果仍相等. 用式子表示: 如果 a=b, 那么
c ; 如果 a=b, 那么 a =
三、解一元一次方程的一般步骤 1. 2. 3.
: 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数, 注意别漏乘; : 注意括号前的系数与符号; : 把含有未知数的项移到方程的一边, 其他项移到方程的另一边, 注意移项要
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9. (2013·三明中考)兴发服装店老板用 4 500 元购进一批某款 T 恤衫, 由于深受顾 客喜爱, 很快售完, 老板又用 4 950 元购进第二批该款式 T 恤衫, 所购数量与第一批 相同, 但每件进价比第一批多了 9 元. ( 1) 第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元?
=0,
则原方程可化为 y2- 2 y+ 2 =0, 解得 y=1 或 y= 2 , 若 若
x2 1 y=1, 则 x =1, 此方程无实数解;
5 y= 2
5
5
5
中考一轮复习 数学专题06 分式方程(老师版)
专题06 分式方程一、单选题1．（2022·江苏无锡）方程213x x =-的解是（ ）． A ．3x =-B ．1x =-C ．3x =D ．1x =【答案】A【解析】【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母(3)x x -，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．【详解】解：方程两边都乘(3)x x -，得 23x x =-解这个方程，得3x =-检验：将3x =-代入原方程，得 左边13=-，右边13=-，左边=右边． 所以，3x =-是原方程的根．故选：A ．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．2．（2022·内蒙古通辽）若关于x 的分式方程：121222k x x --=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠【答案】B【解析】【分析】先解方程，含有k 的代数式表示x ，在根据x 的取值范围确定k 的取值范围．【详解】解：∵121222k x x--=--， ∵()22121x k --+=-，解得：2x k =-，∵解为正数，∵20k ->，∵2k ＜，∵分母不能为0，∵2x ≠，∵22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．3．（2022·辽宁营口）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-【答案】C【解析】【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．【详解】 解：322x x =-， 去分母，得3(2)2x x -=， 去括号，得362x x -=，移项，得326x x -=，所以6x =．经检验，6x =是原方程的解．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．4．（2022·湖北恩施）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（ ）A ．144963030v v =+- B ．1449630v v =- C ．144963030v v =-+ D ．1449630v v=+ 【答案】A【解析】【分析】先分别根据“顺流速度=静水速度+江水速度”、“逆流速度=静水速度-江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”建立方程即可得．【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为(30)km/h v +，逆流速度为(30)km/h v -， 则可列方程为144963030v v =+-， 故选：A ．【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．5．（2022·海南）分式方程2101x -=-的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-【答案】C【解析】【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．【详解】 解：2101x -=- 2-（x -1）=02-x +1=0-x =-3x =3检验，当x =3时，x -1≠0，故x =3是原分式方程的解．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．6．（2022·黑龙江哈尔滨）方程233x x =-的解为（ ） A ．3x =B ．9x =-C ．9x =D ．3x =-【答案】C【解析】【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】 解：233x x =- 去分母得：23(3)x x =-，去括号得：239x x =-，移项、合并同类项得：9x -=-，解得：x =9，经检验：x =9是原分式方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 7．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠ 【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2022·山东潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（ ）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=- B ．4271100%14.0%4271x -⨯=- C ．4271100%14.0%x x -⨯=- D ．4271100%14.0%x x -⨯=- 【答案】D【解析】【分析】根据题意列式即可．【详解】解：设2021年3月原油进口量为x 万吨，则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x )万吨， 依题意得：4271100%14.0%x x -⨯=-， 故选：D ．【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．9．（2021·四川巴中）关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【解析】【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【详解】 解：302m x x +-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∵46x m =-，∵分式方程有解，∵20x -≠，∵2x ≠，∵68m -≠，∵2m ≠-，故选B.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键. 10．（2021·内蒙古呼伦贝尔）若关于x 的分式方程2233x a x x ++=--无解，则a 的值为（ ） A ．3 B ．0 C ．1- D ．0或3【答案】C【解析】【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．【详解】 解：2233x a x x++=--， 去分母得：2﹣x ﹣a ＝2（x ﹣3），解得：x ＝83a -， 当833a -=时，方程无解， 解得1a =-．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程． 11．（2021·四川宜宾）若关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】C【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】 解：322x m x x -=--， 去分母得：()32x x m --=，∵关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，增根为：x =2， ∵()2322m --=，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．12．（2021·广西贺州）若关于x 的分式方程43233m x x x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可.【详解】解：∵分式方程43233m x x x +=+--有增根， ∵3x =，去分母，得()4323m x x +=+-，将3x =代入，得49m +=，解得5m =．故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 13．（2021·黑龙江）已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．【详解】解：由关于x 的分式方程3121m x +=-可得：42m x +=，且12x ≠， ∵方程的解为非负数， ∵402m +≥，且4122m +≠， 解得：4m ≥-且3m ≠-，故选B ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．14．（2020·黑龙江鹤岗）已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <- 【答案】A【解析】【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【详解】 解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∵412x x k -+=-，∵312x k -=--， ∵43k x =+， ∵解为非正数， ∵403k +≤， ∵12k ≤-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．15．（2020·湖北荆门）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程得到x =63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解．【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+得x =217k -，∵41x -<<- ∵21471k --<<-解得-7＜k ＜14∵整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x ≠2且x ≠-3∵k ≠35且k ≠0∵所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∵k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 16．（2020·黑龙江牡丹江）若关于x 的方程201mx x -=+的解为正数，则m 的取值范围是（） A ．2m < B ．2m <且0m ≠ C ．2m > D ．2m >且4m ≠【答案】C【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.【详解】解：∵解方程201mx x -=+，去分母得：()210mx x -+=，整理得：()22m x -=，∵方程有解， ∵22x m =-，∵分式方程的解为正数， ∵202m >-，解得：m ＞2，而x≠-1且x≠0，则22m-≠-1，22m-≠0，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2.故选C.【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．17．（2020·四川泸州）已知关于x的分式方程3211mx x+=---的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3B．4C．5D．6本号资料@皆来源于微*信公#众号：数学【答案】B【解析】【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=52m，∵分式方程的解为非负数，∵52m≥0且52m≠1，解得：m≤5且m≠3，∵m为正整数∵m=1，2，4，5，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．18．（2020·重庆）若关于x的一元一次不等式组()213212x xx a⎧-≤-⎪⎨->⎪⎩的解集为x≥5，且关于y的分式方程122+=---y a y y有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．-1B ．-2C ．-3D ．0【答案】B【解析】【分析】 首先由不等式组的解集为x ≥5，得a ＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a ≥-2且a ≠2的偶数，即可得解.【详解】由题意，得()2132x x -≤-，即5x ≥12x a ->，即2x a +＞ ∵25a +＜，即3a ＜122+=---y a y y ，解得22a y += 有非负整数解，即202a y +=≥ ∵a ≥-2且a ≠2∵23a -≤＜且2a ≠ ∵符合条件的所有整数a 的数有：-2，-1,0,1又∵22a y +=为非负整数解， ∵符合条件的所有整数a 的数有：-2,0∵其和为202-+=-故选：B.【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.19．（2020·重庆）若关于x 的一元一次不等式结3132x x x a-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）# 本号资料皆来源于微@信公*众号：数学A ．7B ．－14C ．28D ．－56【答案】A【解析】【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】 解：解不等式3132x x -≤+，解得x ≤7， ∵不等式组整理的7x x a≤⎧⎨≤⎩， 由解集为x ≤a ，得到a ≤7，分式方程去分母得：y −a ＋3y −4＝y −2，即3y −2＝a ，解得：y ＝+23a ， 由y 为正整数解且y ≠2，得到a ＝1，7，1×7＝7，故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022·重庆）关于x 的分式方程31133x a x x x -++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．13B ．15C ．18D ．20【答案】A【解析】【分析】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．【详解】由分式方程的解为整数可得：313x a x x ---=-解得：2=-x a又题意得：20a ->且23a -≠∵2a >且5a ≠，由()922y y +≤+得：5y ≥ 由213y a ->得：32a y +> ∵解集为5y ≥ ∵352a +< 解得：7a <综上可知a 的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A ．【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．21．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4 【答案】D【解析】【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=，原方程无解，∴当40m -=时，4m =；当40m -≠时，0x =或210x +=，此时，24x m =-， 解得0x =或12x =-，当0x =时，204x m ==-无解；当12x =-时，2142x m ==--，解得0m =； 综上，m 的值为0或4；故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（2022·重庆）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x -≤，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13【答案】D【解析】【分析】 根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．【详解】 ∵ 411351x x x a -⎧-≥⎪⎨⎪-⎩①＜②，解∵得解集为2x -≤，解∵得解集为15a x +＜， ∵ 不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x -≤， ∵125a +-＞， 解得a ＞-11， ∵ 1211y a y y -=-++的解是y =13a -，且y ≠-1，1211y a y y -=-++的解是负整数， ∵a ＜1且a ≠-2，∵-11＜a ＜1且a ≠-2，故a =-8或a =-5，故满足条件的整数a 的值之和是-8-5=-13，故选D．【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．23．（2022·四川德阳）关于x的方程211x ax+=-的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞－1B．a＞－1且a≠0C．a＜－1D．a＜－1且a≠－2【答案】D【解析】【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1．解得：x=-a-1且x为正数．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）．【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．24．（2020·云南昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元【答案】C【解析】【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据题意得：80004000800011.2x x+-=， 解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．25．（2020·黑龙江齐齐哈尔）若关于x 的分式方程32x x -＝2m x -+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．【详解】解：去分母得35(2)x m x =-+-， 解得102m x +=， 由方程的解为正数，得到100m +>，且2x ≠，104m +≠，则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m 的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．26．（2020·黑龙江牡丹江）若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4【答案】D【解析】【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值．【详解】 解：21mx x =-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-，去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122mx m m ==+--，若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．27．（2020·黑龙江黑龙江）已知关于x 的分式方程422x kx x -=--的解为正数，则x 的取值范围是（）A ．80k -<<B ．8k >-且2k ≠-C ．8k >-D ．4k <且2k ≠-【答案】B【解析】【分析】先解分式方程利用k 表示出x 的值，再由x 为正数求出k 的取值范围即可．【详解】方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83kx +=．∵x 为正数， ∵803k+>，解得8k >-，∵2x ≠，∵823k +≠，即2k ≠-， ∵k 的取值范围是8k >-且2k ≠-．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，28．（2020·山东枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．4x =B ．5x =C ．6x =D ．7x = 【答案】B【解析】【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．【详解】 解：211(2)(2)4x x x ⊗-==--- ∵方程表达为：12144x x =--- 解得：5x =，经检验，5x =是原方程的解，故选：B ．【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．二、填空题29．（2022·辽宁大连）方程213x =-的解是_______． 【答案】5x =【解析】【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可.【详解】去分母得：23x =-，解得：5x =，检验：35320x -=-=≠，∵原方程的解为x =5.故答案为：5x =.【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0. 本号资料皆来源于微信#：数学30．（2022·湖南永州）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 【答案】()1x x +【解析】【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．【详解】 解：分式方程2101x x -=+的两个分母分别为x ，(x +1)， ∴最简公分母为：x (x +1)，故答案为：x(x +1)．【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 31．（2021·湖北黄石）分式方程11322-+=--x x x的解是______． 【答案】3x =【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】 解：11322-+=--x x x 去分母得：()()1132x x --=-，去括号化简得：26x =，解得：3x =，经检验3x=是分式方程的根，故填：3x=．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．32．（2020·山东济南）代数式31x-与代数式23x-的值相等，则x＝_____．【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【详解】解：根据题意得：3213x x=--，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．33．（2020·山东潍坊）若关于x的分式方程33122x mx x+-=--有增根，则m的值为_____.【答案】3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∵m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：∵让最简公分母为0确定增根；∵化分式方程为整式方程；∵把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 34．（2022·广东广州）分式方程3221x x =+的解是________ 【答案】3x = 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解； 【详解】解：方程两边同时乘以2x (x +1)，得 3(x +1)=4x 3x +3=4x x =3，检验：把x =3代入2x (x +1)=2×3(3+1)=24≠0， ∵原分式方程的解为：x =3． 故答案为：x=3． 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根．35．（2022·黑龙江齐齐哈尔）若关于x 的分式方程2122224x mx x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是______________． 【答案】m >0且m ≠1 【解析】 【分析】先解分式方程得到解为1x m =+，根据解大于1得到关于m 的不等式再求出m 的取值范围，然后再验算分母不为0即可． 【详解】解：方程两边同时乘以()()22x x +-得到：22(2)2x x x m ，整理得到：1x m =+， ∵分式方程的解大于1， ∵11m +>，解得：0m >，又分式方程的分母不为0， ∵12m 且12m ，解得：1m ≠且3m ≠-，∵m 的取值范围是m >0且m ≠1． 【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． 36．（2021·湖北湖北）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______．【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m 的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-， 111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．37．（2021·湖南常德）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x = 【解析】 【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可． 【详解】解：1121(1)x x x x x ++=-- 通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠， ∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．38．（2021·四川凉山）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2 【解析】 【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-， 解得3x m =+， ∵x 为正数，∵m +3＞0，解得m ＞-3． ∵x ≠1，∵m +3≠1，即m ≠-2．∵m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2． 故答案为：m ＞-3且m ≠-2． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．39．（2020·四川巴中）若关于x 的分式方程31(1)x mx x x +=--有增根，则m =_________． 【答案】4-或0 【解析】 【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x 的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x 的值代入整式方程，解关于m 的方程即可得解． 【详解】解：分式方程最简公分母为(1)x x -，由分式方程有增根，得到10x -=或0x =，即0x =或1x =， 分式方程去分母得：23x x m +=-， 把0x =代入方程得：0m =-， 解得：0m =．把1x =代入方程得：13m +=-， 解得：4m =-． 故填：4-或0． 【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：∵让最简公分母为0确定增根；∵化分式方程为整式方程；∵把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．40．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】35【解析】 【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可． 【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ．∵425336x a x a +=+，∵3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=， 设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∵()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+， ∵:5:4m n =，∵实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n⋅-⋅-=++⋅+， 故答案为：35．【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键． 41．（2021·山东潍坊）若x ＜2，且12102x x x +-+-=-，则x ＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x ﹣2，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：12x +-|x ﹣2|+x ﹣1＝0， ∵x ＜2， ∵方程为12x +-2﹣x +x ﹣1＝0， 即12x =--1， 方程两边都乘以x ﹣2，得1＝﹣（x ﹣2）， 解得：x ＝1，经检验x ＝1是原方程的解， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．42．（2021·四川雅安）若关于x 的分式方程11222k x x--=--的解是正数，则k 的取值范围是______． 【答案】4k <且0k ≠ 【解析】 【分析】根据题意，将分式方程的解x 用含k 的表达式进行表示，进而令0x >，再因分式方程要有意义则2x ≠，进而计算出k 的取值范围即可． 【详解】解： 2(2)11x k -+-=420x k --=42kx -=根据题意0x >且2x ≠ ∵402422kk -⎧>⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩∵40k k <⎧⎨≠⎩∵k 的取值范围是4k <且0k ≠． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．43．（2021·辽宁本溪）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________． 【答案】30024010x x=+ 【解析】 【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x +10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程． 【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x +10）元， 依题意得：30024010x x =+， 故答案为：30024010x x=+ 【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 44．（2021·河北）用绘图软件绘制双曲线m ：60y x=与动直线l ：y a =，且交于一点，图1为8a =时的视窗情形．（1）当15a =时，l 与m 的交点坐标为__________；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O 始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的12，其可视范围就由1515x -≤≤及1010y -≤≤变成了3030x -≤≤及2020y -≤≤（如图2）．当 1.2a =-和 1.5a =-时，l 与m 的交点分别是点A 和B ，为能看到m 在A 和B 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的1k，则整数k =__________．【答案】 ()4,15 4 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；（2）当 1.2a =-和 1.5a =-时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算k 的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得6015y x== ∵4x = ∵0x ≠ ∵4x =是6015x=的解 ∵当15a =时，l 与m 的交点坐标为：()4,15 故答案为：()4,15； （2）当 1.2a =-时，得601.2y x==- ∵50x =- ∵0x ≠ ∵50x =-是601.2x=-的解 ∵l 与m 的交点坐标为：()50, 1.2--∵（1）视窗可视范围就由1515x -≤≤及1010y -≤≤，且10 1.210-<< ∵1550k -<-根据题意，得k 为正整数 ∵103k >∵4k =同理，当 1.5a =-时，得40x =- ∵1540k -<-∵83k >∵3k =∵要能看到m 在A 和B 之间的一整段图象 ∵4k = 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解． 45．（2020·四川眉山）关于x 的分式方程11222kx x-+=--的解为正实数，则k 的取值范围是________． 【答案】2k >-且2k ≠ 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】 解：11222kx x-+=-- 方程两边同乘（x -2）得，1+2x -4=k -1， 解得22k x +=222k +≠，022k +> 2k ∴>-，且2k ≠故答案为：2k >-且2k ≠ 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．46．（2020·内蒙古呼和浩特）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x 的解是____________．。
河北中考数学复习第6讲分式方程
第6讲分式方程1. （2019,河北）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材. 若甲、乙共同整理 20 min 后，乙需再单独整理（1） 乙单独整理多少分钟完工？（2） 若乙因工作需要，他的整理时间不超过即可.（2）设甲整理y min.根据乙整理时间不超过解：（1）设乙单独整理 x min 完工. 根据题意，得20+ 20土20 = 1.40 x解得x = 80.经检验，x = 80是原分式方程的解. 答：乙单独整理 80 min 完工. ⑵设甲整理y min 才能完工. 根据题意，得1 — -y W 30.40 80 解得y 》25.答：甲至少整理 25 min 才能完工.2. （2019，河北）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多 修10 m .设甲队每天修路 x m .依题意，下面所列方程正确的是（A ）一 120 100 _ 120 100 A. =B. =x x —10 xx + 10若甲单独整理需要 40 min 完工; 20 min 才能完工. 【思路分析】（1）将总工作量看作单位 1, 根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之 30 min ，则甲至少整理多少分钟才能完工?30 min ，列出一元一次不等式解之即可.C 120 = 100 .x — 10= xD.吧 100 x + 10【解析】 设甲队每天修路x m ，则乙队每天修路 （x — 10）m.因为甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，所以120 100xx — 103. （2019，河北）在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将 小5•依上述情形，所列关系式成立的是 （B ）3x 看成了 8x ,她求得的值比正确答案 A 丄=丄-5 3x 8x B. 3L =右+ 5 3x 8x 1 C. 3；=8x — 5D. — = 8x + 53x【解析】 本题关键是读懂题意，找到 3x 的倒数与8x 的倒数之间的等量关系，列出分式方程.分式方程的解法3 2例1 （2019，连云港）解方程： — 2= 0.x — 1 x【思路分析】最简公分母是x(x-1) •不要忘记验根.解：方程两边同乘x(x—1)，得3x—2(x—1) = 0.解这个整式方程，得x= — 2.经检验，x= —2是原分式方程的解.2 1针对训练1把分式方程—=丄转化为整式方程时，方程两边需同乘(D)x+ 4 xA. xB. 2xC. x+ 4D. x(x+ 4)【解析】去分母是方程两边同乘最简公分母，即各分母中所有不同因式的最高次幕的乘积.x+ 1 1针对训练2 (2019，成都)分式方程—— + —— =1的解是(A)x x—2A. x= 1B. x=—1C. x= 3D. x=—3【解析】去分母，得(x —2)(x+ 1) + x= x(x—2).化简得2x= 2解得x= 1.经检验x= 1是原分式方程的根.分式方程的增根例2 (2019，达州，导学号5892921)若关于x的分式方程亠 + 巫=2a无解，则a的值x—3 3—x1为(1或2 ).【解析】分式方程去分母，得x—3a = 2a(x —3) •化简，得(1 —2a)x=—3a.分式方程无解1有两种情况：一是(1 —2a)x= —3a无解，即a = ?;二是(1 —2a)x=—3a有解，但是增根.分式1方程的增根只能是x= 3.把x= 3代入(1 —2a)x=—3a中，得a= 1.所以a的值为1或扌.针对训练3(2019,潍坊)当m= 2时，解分式方程口 = 旦会出现增根.x—3 3 —x【解析】分式方程去分母，得x— 5 =—m.分式方程的增根只能是x= 3.把x= 3代入x —5 =—m 中，得m = 2.针对训练4 (2019,眉山)已知关于x的分式方程^ —2=^有一个正数解，则k的取值x—3 x—3范围为k v 6且2 3 .【解析】分式方程去分母，得x—2(x —3) = k.解得x=—k+ 6. ——k+ 6>0.二k<6.但当k= 3时x= 3是增根，要舍去，••• k<6且k z3.E捏-三分式方程的应用例3 (2019，威海，导学号5892921)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成第2页【思路分析】 最简公分母是x(x -1) •不要忘记验根.1 了 £结果完成任务时比原计划提前了 40 min ，求软件升级后每小时生产多少个零件.【思路分析】 设软件升级前每小时生产 x 个零件，则软件升级后每小时生产 1+1 x 个零件•根据“工作时间=工作总量 M 作效率”结合软件升级后节省的时间，即可得出关于 x的分式方程，解分式方程即可得出结论.解：设软件升级前每小时生产 x 个零件.解这个方程，得x — 60. 经检验，x — 60是原分式方程的解.答：软件升级后每小时生产 80个零件.针对训练5 （2019，襄阳）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当 前动车行驶的路程相等，约为325 km ,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5 h .求高铁的速度.【思路分析】 高铁速度是动车速度的 2.5倍，即动车速度是高铁速度的 0.4倍；等量关系是：动车所用时间一高铁所用时间一1.5 h.解：设高铁的速度为 x km/h ，则动车的速度为 0.4x km/h. 根据题意，得浮-325— 1.5.0.4x x 解得x — 325.经检验，x — 325是原分式方程的解. 答：高铁的速度是 325 km/h. 一、 选择题m — 31. （2019，张家界）若关于x 的分式方程 —1的解为x — 2，则m 的值为（B ）x — 1 A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 把x — 2代入分式方程可得 m — 4.【解析】 把x — 4代入分式方程可得 a — 10. 7x2m — 1 3. （2019，毕节）若关于x 的分式方程+ 5 —有增根，则 m 的值为（C ） x —1 x —1A. 1B. 3C. 4D. 5半时，停止生产，进行自动化程序软件升级，用时20 min •恢复生产后工作效率比原来提高 根据题意，得240x24040 , — r,1 60 1+ 3 x20 丽.••60X 1 +1 — 80（个）.2. （2019，株洲）若关于x 的分式方程2+丄—0的解为x — 4, x x — a则常数 a 的值为（D ）A. 1B. 2C. 4D. 1018【解析】 方程两边乘x — 1得7x + 5（x — 1）= 2m — 1.v 原分式方程有增根，二最简公分母x — 1 = 0.解得 x = 1.当 x = 1 时，7= 2m — 1.解得 m = 4.二 m 的值为 4.4. （2019，海南）若分式气的值为0,则x 的值为（A ）【解析】 去分母，得x + 3= 4x.解得x = 1.经检验，x = 1是原分式方程的根.7.新华书店向一所希望小学赠送 1 080本课外书，现用A , B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6个.已知每个B 型包装箱比每个 A 型包 装箱可多装15本课外书.若设每个A 型包装箱可以装课外书 x 本，则根据题意可列方程为（A ）迪=1080 + 6x +15 x【解析】设每个A 型包装箱可以装课外书x 本，则每个B 型包装箱可以装课外书（x + 15）【解析】 设原来每天生产共享单车 x 辆，则采用新技术后每天生产共享单车（1十20%）x第4页A.1 080 =x + 15 = B.1 080 1 080小= —6 x x —15 A. 1 600 十x4 000 （1十 20%） x18 B. 1 600 十 x 4 000 — 1 600（1十20%） x 18 C.1 600十 4 000 — 1600 x 20%x18 D.4 000 十 x4 000 — 1 600（1 十 20%） xA. — 1B. 0C. 1D. ± 1【解析】 x — 1 •• •分式 的值为 x — 120, ••• x — 1= 0,且 x — 1 工 0.解得 x =—5. （2019，河南）解分式方程 1 3L — 1 2= □，去分母得（A ） A. 1 — 2（x — 1） = — 3C. 1 — 2x — 2 = —B. 1 — 2（x — 1） = 3【解析】 整理分式方程，得— 2=—.去分母，得1 — 2（x — 1） = — 3.x — 1 x — 1 1 26. （2019，哈尔滨）分式方程 以=灵的解为（D ） A. x =— 1B. x = 03 C. x = -5D. x = 1C.皿迪+ 6 x x —15数量，2x 表示足球的数量；和4000分别表示篮球和足球的单价，两者相差16元.二、填空题k 一 111. （2019,荆州）若关于x 的分式方程 --- =2的解为负数，贝V k 的取值范围为kv 3且Q 1.x I 1k — 3 k — 3【解析】 分式方程去分母，得 k — 1= 2（x + 1） •解得x =—厂..一^<0. ,-k<3.又•••当k =1时x =— 1是增根，要舍去.••• k<3且 心1.12. （2019，嘉兴）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测 x 个零件，则根据题意，可列出方程:【解析】 设甲每小时检测 x 个零件，则乙每小时检测 （x — 20）个零件•甲、乙检测的时间 分别是300和 x —0，根据等量关系列方程即可.13. （2019，新疆）某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅辆，分别用时 1 600 4 000 - 1 600，其和等于18.(1 + 20%) x9. （2019，南宁）一艘轮船在静水中的最大航速为 35 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间与以最大航速逆流航行 90 km 所用时间相等.设江水的流速为v km/h ，则根据题意可列方程为（D ）120 = 90 v + 35 v — 35 120 = 90 35 — v 35 + v 120 = 90 v — 35 v + 35120 = 90 35 + v 35 — v【解析】 根据题意可得轮船的顺水速度为 （35 + v ）km/h ，逆水速度为（35 — v ）km/h.根据以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间与以最大航速逆流航行90 km 所用时间相等，列出方程.10. （2019,唐山路北区三模，导学号5892921）某校为进一步开展“阳光体育”活动， 购买 了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了 4 000元，购买篮球用了 2 800元，篮球单价比足球单价贵16元.若可列方程詈=讐-16表示题中的等量关 系，则方程中x 表示（D ） A.足球的单价C.足球的数量B.篮球的单价 D.篮球的数量【解析】 因为购买足球的数量是篮球的2倍，所列方程中有 x 和2x ,所以x 表示篮球的300 x 200x — 20 x (1 — 10%) ).第5页5笔，但这次每支的进价是第一次进价的5倍，购进数量比第一次少了30支•则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是4元.【解析】设第一次购进的铅笔，每支的进价是x元•根据题意，得600- 30 = 600解得xx 54x=4.经检验，x= 4是原分式方程的根.三、解答题1 1 一x14. （2019，南通）解方程：x一2 = 2一^一3.【思路分析】方程两边同乘x—2，分母是2-x的项要变号.解：方程两边乘x—2,得 1 = x— 1 —3（x—2）.解得x= 2.检验：当x= 2时，x—2= 0.因此x= 2不是原分式方程的解.所以原分式方程无解.2 115. （1）小明解方程—- =0的过程如下：1 —x x解：方程两边乘x（1 —X）,得2x —（1 —x）= 0①.去括号，得2x— 1 —x= 0②.移项、合并同类项，得x= 1③.•••原方程的解为x= 1④.1 小明解答的过程中开始出错的步骤是②（填序号）；原方程的解为（x=1 ）；3（x 1 I x2—2x+ 1⑵当x的取值是（1）中方程的解时，求xzi 一齐x十x 的值.【思路分析】（1）第②步开始出错，去括号时后项没有变号. （2）先化简，再代入求值.解:(1)② x=Ix ______ 1 ___ I ( x—1) 2⑵原式=门1 一x (x+ 1) / —x—x2—1 xIx—1当x=1时，原式=—316. （2019，石家庄28中质检）老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用手挡住了一个x (x+ 1) (x —1) 2(X+ 1)( x—1) x (x+ 1 )x■ (x—1) 2实数，其形式如下：X 3十6=晋.(1) 求被挡住的实数；1 4(2) 若这个实数是分式方程x= 3X+m的根，求m的值.【思路分析】(1)根据逆运算求被挡住的实数. (2)将(1)中结果代入方程，解得m的值.解：(1)被挡住的实数= 竽X 6十3= 3.1 4 1 4(2)把x= 3代入分式方程x = £+ m，得3 = 9+ m.1解得m=—-.17. (2019,山西)2019年1月20 日,山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好•已知“太原南一北京西”全程大约500 km，“复兴号” G92 次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km ,其行驶时间是该列“和谐号”列车行4驶时间的5(两列车中途停留时间均除外)•经查询，“复兴号” G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 min.求乘坐“复兴号” G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.第17题图【思路分析】设时间为未知数，用“复兴号”速度=“和谐号”速度+ 40,来列方程求解.解：设“复兴号” G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x h.由题意，得500= II00+ 40.解得x= 2.x 5 24x5经检验，x= 5■是原分式方程的根.II , 1 82+6= 3(h)・答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要£ h.18. (2019，桂林)某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程•当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.(1) 若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2) 若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【思路分析】将整个工程看作单位 1 ”，工作效率可表示为时间的倒数. (1)等量关系是：一号施工队施工5天的工作量+两队合作(40 — 5 —14)天的工作量=1.(2)等量关系：工作总量十工作效率=工作时间.解：（1）设二号施工队单独施工，完成整个工程需要x天.根据题意，得40x5+ （40 + X 卜（40—5- 14）= 1•解得x= 60.经检验，x= 60是原分式方程的解.答：若二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天.⑵由题意，得1十40+60 = 24（天）•答：若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.1. （2019，邯郸一模）某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数.在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程丄500-1500= 10.则题X—5 x目中用“……”表示的条件应是(B)A.每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B.每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C.每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D.每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成【解析】实际每天生产零件x个，则便°表示实际生产天数，那么匕500应该是原计划生x x—5产的天数，可推断出（x- 5）表示原计划每天生产的零件个数.4 A2. 若关于x的分式方程----- +一- = 2的解为整数，则满足条件的m有5 个.x—2 x—2mx—1 1—4【解析】解分式方程+-^ = 2，得x= .••• x是不等于2（增根）的整数，/• m —x—2 x —2 m—22=—1, —4, 1 , 2或4. A符合条件的m有5个.3. （2019，吉林，导学号5892921）下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.第3题图根据以上信息，解答下列问题.（1）冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400 m所需时间;（2）两个方程中任选一个，写出它的关系式；⑶解⑵中你所选择的方程，回答老师提出的问题.【思路分析】（1）（2）冰冰列的方程是时间相等，所以x和x+ 20应是每天修路的长度；庆庆所列方程用的等量关系是乙队每天比甲队多修20 m,所以y表示修路的时间. ⑶选一个方程求解即可.解：（1）甲队每天修路的长度甲队修400 m路所需时间第8页(2)冰冰：甲队修400 m 路所需时间=乙队修 600 m 路所需时间; 庆庆：乙队每天修路长度-甲队每天修路长度=20. ⑶选冰冰的： 型二-60^.解得x = 40. x x + 20经检验，x = 40是原分式方程的根.答：甲队每天修路 40 m.选庆庆的：600-驴20.解得v =10.经检验，y = 10是原分式方程的根.40.在点A 的左侧，如图③. (1) 两名同学谁的说法正确，请说明理由；(2) 求x 的值. 第4题图【思路分析】 ⑴根据图①中点A 的位置，得x>0，以此为依据，推断点 B 相对于原点的位置，就可以判断出谁的说法正确.⑵据“AB 比OA 长2”可以列方程求x 的值.解：(1)甲同学的说法正确.1 理由：题图①中点 A 在原点右侧，•••丄> 0. A x > 0. x • x + 8> 0, 3x > 0.A 牛8>0. 3x所以点B 应在原点右侧且 AB 比OA 长2.所以甲同学的说法正确.x + 8 1 1 (2)根据题意，得药-"="+ 2.2 方程两边乘3x ,得x + 8—3 = 3+ 6x.解得x =：.5 经检验，x = 2是原分式方程的解.所以 x 的值为2. 5 51 080 1 080本.单独使用 A 型包装箱需要 -------- 个，单独使用 B 型包装箱需要 ------- 个，又B 型包装箱比x x +15答：甲队每天修路 40 m.4.如图①，在数轴上，点 1A 表示的数为丄王老师让同学们在数轴上再标出一点 xB ，点B 表示数 且AB 比OA 长2•甲同学认为点B 应在点A 的右侧，如图②；乙同学认为点A型包装箱少用6个.由此可列出方程.8. （2019,石家庄43中模拟）某自行车厂准备生产共享单车 4 000辆，在生产完1 600辆后, 采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务.若设原来每天生产共享单车x辆，则根据题意可列方程为（B）。
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
中考数学复习课《分式方程》说课稿
中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。
中考数学复习指导：分式方程常见错解例析
分式方程常见错解例析求解分式方程，通常要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、检验增根等重要的运算过程，因此，它比求解整式方程更容易出现这样或者那样的错误，为帮助同学们尽快走出解题误区，现将分式方程解题中的几种常见错误分类举例如下，供大家学习和参考.（一）误区一：解方程时忘记验根例1．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.∴原方程的解为.评析：本题最后没有进行验根从而将增根误认为是原方程的根，从而导致解题错误（用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，需要用方程中各个分母的最简公分母去乘方程的两边，如果去分母后所得的解恰好使得最简公分母的值为零，则这个解即为原方程的增根，应该将其舍去）.因此，为避免错误，解分式方程最后必须进行验根.正解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.检验：把代入得.∴是原方程的增根，原方程无解.（二）误区二：解方程时约简漏根例2．解方程：.错解：等号两边通分相减，得，方程两边同除以，得，∴.去括号，得，解之，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在方程两边同除以多项式时失去了根，从而导致解题错误（只有当时，上述解法才成立；而当时，原方程还有一解为）.因此，在没有其它条件约定的情况下，方程两边不能同时除以含未知数的整式.正解：等号两边通分相减，得，去分母，得，移项并整理，得，即：，∴，.经检验，都不是原方程的增根，∴原方程的解为，.（三）误区三：解方程时忽略分母有意义的条件例3．解方程:.错解：等号两边同乘以，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∴原方程的解为全体实数.评析：本题由于没有考虑分式的分母不能为零从而导致解题错误（一个分式有意义的条件是分式的分母不能为零，如果分母为零，则分式就会没有意义）.正解：去分母，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∵当时，方程中的分母，此时分式无意义，∴原方程的解为的所有实数.（注意：本题同样可以采用验根的方法来排除这种情况）（四）误区四：去分母时忘记加括号例4．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，移项并合并同类项，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将分式的分子用括号括起来，从而导致解题错误（分式中的分数线本身具有括号作用，去掉分母时就必须把分子中的多项式用括号括起来）.正解：等号两边同乘以，得，去括号并整理，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.（五）误区五：去分母时漏乘不含分母的项例5．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，即.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将等号右边的整数2也乘以最简公分母，从而导致解题错误（在将分式方程去分母转化为整式方程的过程中，方程两边所乘的最简公分母应乘遍等号前后的每一项）.正解：等号两边同乘以，得，解之，得经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.。
中考复习分式方程组的解法总结与应用
中考复习分式方程组的解法总结与应用随着中考的临近，学生们开始积极备考各科目。
其中，数学作为一门重要科目，其中的分式方程组也是考试重点之一。
本文将总结分式方程组的解法，并分析其应用场景。
一、分式方程组的解法1. 消元法：在解分式方程组时，常使用消元法，即通过消除一个或多个变量，将方程组转化为只有一个变量的方程。
消元法有以下几种常见的技巧：（1）交叉相乘消元法：对方程组中的每一对等式，将其相应的分数去分母，并使两个等式相等。
然后将等式两边的分子项交叉相乘，得到新的等式，通过对新等式进行整理，可以解得变量的值。
（2）代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，去除一个变量，进而解方程组。
代入法需要观察方程组中的特殊关系，选择合适的方程进行代入。
2. 定理法：分式方程组的解法还可以借助一些定理来简化计算。
常用的定理有：（1）分式方程可统一分母：当分式方程组的分母都相同时，可以通过将等式两边的分子相等来解方程。
（2）等式加减消分式：如果分式一边的加减运算得到一个整数或一个等式，可以通过加减消分式来解方程。
二、分式方程组的应用1. 实际问题求解：分式方程组在实际问题中的应用十分广泛。
比如，某学校的三个班级参加一次足球比赛，每个班级的男生人数和女生人数之比分别为2:3、5:4、7:6。
如果三个班级一共有60名男生，求出每个班级的男生和女生人数。
2. 几何问题求解：分式方程组的应用还可以涉及几何问题。
比如，已知一个矩形的长是宽的三倍，且长和宽之和为20，求出这个矩形的长和宽。
结语：通过对分式方程组的解法进行总结与应用分析，相信同学们可以更好地复习和掌握这一知识点，为中考取得好成绩奠定基础。
希望本文能对同学们的学习有所帮助。
1(学生4份) 第6 讲分式方程应用题讲解
1第 6 讲 分式方程应用题知识精讲：分式方程的应用主要是列方程解应用题。
一般地，列分式方程解应用题按下列步骤进行：1审清题意：①找出已知量和未知量等基本量；②弄清基本量之间的关系；③仔细推敲体现等量关系的关键字句以及挖掘题目中所隐含的等量关系； 2设未知数；3利用等量关系列出分式方程； 4解这个分式方程；5检验，看所得的方程的解是否满足所列方程且符合题意； 6写出答案。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
经典例题【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路40602程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得x x 6828-=x5.1828，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。
分式方程中考复习学案
分式方程是数学中的一个重要概念，它是由有理函数与一个未知数构成的等式。
在解分式方程时，我们需要遵循特定的步骤和方法，以确保得出正确的答案。
本学案将帮助学生复习分式方程的重要概念、解题方法和相关例题。
第一部分：基础知识回顾1. 什么是分式？怎样表示一个分式？分式是两个整数的比值，由分子和分母组成，分子在上，分母在下，用横线分开。
2. 什么是分式方程？分式方程是一个包含分式的方程，其中未知数出现在分式中。
3. 分式方程的解法步骤是什么？步骤一：清理分母，将分式方程化为无分母的方程。
步骤二：整理方程，将未知数合并在一边，常数合并在另一边。
步骤三：消去未知数的系数，得出方程的解。
第二部分：解分式方程的方法1. 方法一：通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
首先，找到方程中所有分母的最小公倍数，然后用最小公倍数去分别乘以分式方程的两边，从而消去分母。
2. 方法二：消元法消元法是解决分式方程的另一种方法。
首先，将方程中的分式转化为等值的整式，然后利用解线性方程组的方法求解。
3. 方法三：取倒数法取倒数法也是解决分式方程的一种常用方法。
首先，将方程两边取倒数，然后将倒数化为整式方程，最后利用解线性方程的方法求解。
第三部分：例题分析1. 例题一：求解方程(3/x) + (4/x^2) = 7/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数x^2，得到方程6(3x + 4) = 7x^2。
整理后得到7x^2 - 18x - 24 = 0，通过解二次方程得到x = 6和x = -24/7。
2. 例题二：求解方程(2/(x-1)) - (3/(x+2)) = 5/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数(x-1)(x+2)，得到方程12(x+2) - 10(x-1) = 5(x-1)(x+2)。
整理后得到5x^2 - 9x - 34 = 0，通过解二次方程得到x ≈ 4.326和x ≈ -1.526。
第四部分：总结与反思分式方程在数学中扮演着重要的角色，掌握解分式方程的方法对提高数学能力至关重要。
初三中考数学复习-分式与分式方程
典例 3
把分式
x
，
x y
y x y
，
2 x2 y2
的分母化为 x2-y2 后，各分式的分子之和是
A．x2＋y2＋2 C．x2＋2xy−y2＋2
B．x2＋y2-x＋y＋2 D．x2−2xy＋y2＋2
3．下列分式中，是最简分式的是
xy A． x2
x y C． x2 y2
B． 2 2x 2y
D． 2x x2
典例 5 某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个．设 原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为
7
A．
20x 10 x4
15
C． 20x 10 15 x
B．
20x 10 x4
15
D． 20x 10 15 x
典例 6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用 700 元购进甲、乙两种商品 260 个，其中甲种商品比乙种商
品少用 100 元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高 20%，那么乙种商品单价是
A． 2 元
B． 2.5 元
C． 3 元
D． 5 元
5．某单位向一所希望小学赠送 1080 本课外书，现用 A，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B 型包
装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6 个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本课外书．若
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
中考数学专题训练第6讲分式1(解析版)
分式题型一 分式的概念1．（2021·浙江平阳·九年级期中）已知要使分式32x x +-有意义.则x 的取值应满足（ ）A ．2x ≠B ．3x ≠-C ．3x =-D ．2x =【答案】A 【分析】要使分式32x x +-有意义.则20x -≠.所以2x ≠．故选：A ． 2．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题.其中答对的是（ ） A ．若x 2＝4.则x ＝2 B ．若分式2232x x x --+的值为零.则x ＝2C ．x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则k ＝2D ．若3x 2＝6x .则x ＝2 【答案】C【分析】解：A 、x 2＝4.则2x =±.选项错误.不符合题意；B 、分式2232x x x --+的值为零.则220320x x x -=⎧⎨-+≠⎩.21,2x x x =⎧⎨≠≠⎩.无解.选项错误.不符合题意；C 、x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则110k +-=.解得2k =.选项正确.符合题意；D 、3x 2＝6x .解得0x =或2x =.选项错误.不符合题意；故选C3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学九年级开学考试）如果分式||11x x -+的值为0.那么x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1【答案】B 【分析】分式||11x x -+的值为0.10x ∴-=.1x =.解得1x =±.又10x +≠.1x ∴≠-.1x ∴=.故选：B ． 4．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零.则x 的取值是（ ）A ．2x =或1x =B ．2x =且1x =C ．2x =D ．1x =-【答案】C【分析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠.解得x =2或x =1.且x ≠±1∴2x =．故选C ．5．（2021·广西百色·中考真题）当x ＝﹣2时.分式2232796x x x -++的值是（ ）A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．15【答案】A【分析】解：2232796x x x -++()()22393x x -=+()()()23333x x x +-+=()333x x -=+ 把2x =-代入上式中.原式()3231523--==--+.故选A.6．（2021·四川省隆昌市第一中学九年级月考）3311a a a a --=++ ）A ．1a ≠-B ．3a ≥-且1a ≠C ．1a >-D ．3a ≥【答案】D【分析】解：根据题意得.30-≥a .10a +> ∴3a ≥.1a >- ∴3a ≥.故选D ． 7．（2021·云南昭通·二模）1x-.则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x ≤且0x ≠ C ．1x <且0x ≠ D ．1x <【答案】D【分析】由题意可得：10x -≥10x -≠.解得：1x <.故选：D 8．（2021·浙江瓯海·三模）若a b＝12.则a bb+的值是（ ） A ．3 B ．23C ．32D ．2【答案】C【分析】解：∵ab＝12.∴2b a =.将2b a =代入a bb +中.得2322a a a +=.故选：C ． 9．（2021·浙江浙江·九年级期末）下列分式一定有意义的是（ ）A ．11x -B ．1xC ．211x - D ．211x + 【答案】D【分析】∵当x =1时.|1-x |=0,∴A 不符合题意；∵当x =0时.分母为0.∴B 不符合题意；∵当x =1或-1时.21x -=0,∴C 不符合题意；∵220+110x x ≥，≥≠.∴D 符合题意；故选D 10．（2021·广东·执信中学模拟预测）不论x 取何值.下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】解：A 、当x =-1时.x +1=0.故不合题意；B 、当x =±1时.x 2-1=0.故不合题意；C 、分子是1.而1≠0.则11x +≠0.故符合题意；D 、当x =-1时.()210x +=.故不合题意；故选C ．题型二 分式的性质、约分、通分11．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级月考）若把x .y 的值同时缩小x 为原来的13倍.则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x + D ．222xy x - 【答案】C【分析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y ⨯⨯+++.选项说法错误.不符合题意；B. 61263=3616233y y x x y x +++=+++.选项说法错误.不符合题意；C. 22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==.选项说法正确.符合题意；D. 22222213112261())(33()3xx x y x y x y x ⨯==---⨯.选项说法错误.不符合题意.故选C12．（2021·重庆一中九年级开学考试）把代数式3xyx y+中的x 、y 同时扩大五倍后.代数式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变 C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的5倍【答案】D 【分析】解：3xyx y+中的x 、y 都扩大为原来的5倍.得3557515555()x y xy xy x y x y x y ⨯⋅==+++.故选：D ． 13．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x -- B ．11x+ C ．11x -+ D ．11x -【答案】D 【分析】解：1111=1(1)11x x x x -==----+-.故选项A 、B 、C 均不符合题意.选项D 符合题意.故选：D ．14．（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中.不正确的是（ ） A ．2233a a-=- B ．66b ba a-=- C ．3344a ab b=- D ．8833a ab b--=-- 【答案】C 【分析】解：A 、2233a a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项A 不符合题意；B 、66b ba a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分母的符号.分式的值不变.正确.故选项B 不符合题意；C 、3344a ab b=-.符号改变了一处.改变了分母的符号.分式的值发生改变.不正确.故选项C 符合题意； D 、8833--=a ab b. 符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项D 不符合题意；故选：C ． 15．下列各式中.正确的有（ ）①263333()22=b b a a ；②222224()=++x x x y x y ；③a b a b a b a b -++=---；④1x y x y -+=--；⑤0x y x y +=+；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①2633327()28b b a a =.故不符合题意；②222224()2x x x y x xy y =+++.故不符合题意；③a b a ba b a b-+-=--+.故不符合题意；④1x y x y -+=--.故符合题意；⑤1x y x y +=+.故不符合题意；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y .故符合题意；所以正确的有2个．故选：B ．16．下列分式中属于最简分式的是（ ） A ．42xB ．11xx -- C ．211x x -- D ．221xx + 【答案】D 【分析】解：A 、42=2x x.不是最简分式.故此选项不符合题意；B 、111x x -=--.不是最简分式.故此选项不符合题意；C 、211x x --=11(1)(1)1x x x x -=+-+.不是最简分式.故此选项不符合题意；D 、221xx +是最简分式.故此选项符合题意.故选：D ． 17．（2021·河北唐山·一模）若221()3m n m n m n -=≠-.则m n +=（ ） A ．3 B ．-3 C ．13D ．13-【答案】C【分析】∵()()22,m n m n m n m n m n m n +--=≠--.∴2213m n m n m n -=+=-.故选：C ． 18．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）分式222()a b a b --化简为最简分式的结果为（ ） A ．a b + B ．-a b C ．a ba b+- D ．a ba b-+ 【答案】C【分析】解：222()a b a b --=2()()()a b a b a b +--=a ba b+-．故选C ．19．（2021·广东·广州市第十六中学二模）分式3x y xy +.232yx .26xy xy 的最简分母是（ ） A ．3x B ．xC ．26xD ．226x y【答案】D 【分析】解：3x y xy +.232y x .26xy xy的分母分别是3xy 、22x 、26xy .故最简公分母为226x y ．故选：D ．20．（2021·河北唐山·一模）要把分式232a b 与2a bab c-通分.分式的最简公分母是（ ） A ．222a b c B ．332a b C ．332a b c D ．336a b c【答案】A【分析】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数.∵系数2与1的公倍数是2.2a 与a 的最高次幂是2a .b 与2b 的最高次幂是2b .对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式.∴公分母为：222a b c ．故选择：A ．21．能使分式2321020224x x x x ---+-的值为正整数的所有x 的值的和为（ ） A ．10 B ．0 C ．8- D ．10-【答案】D【分析】∵20x ≥.∴220x +>.()()()22322102102010224222x x x x x x x x -+---==-+---+.若分式的值为正整数.则210x -=-.1-.2-.5-.所以8x =-.1.0.3-.所以()810310-+++-=-.故选D. 22．关于分式的约分或通分.下列哪个说法正确（ ） A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x ﹣1 C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x -﹣211x -的结果是1【答案】D 【分析】解：A 、211x x +-＝11x - .故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2﹣1.故本选项错误；C 、22x x ＝2x .故本选项错误；D 、221x x -﹣211x -＝1.故本选项正确；故选D ．题型三 分式的运算23．（2021·四川蓬安·九年级月考）卵细胞是人体中最大的细胞.直径约为0.0002米.直径用科学记数法表示为（ ）米． A ．0.2×10﹣3 B ．0.2×10﹣4 C ．2×10﹣4 D ．2×10﹣3【答案】C【分析】解：直径约为0.0002米.用科学记数法表示为2×10﹣4米．故选：C ． 24．（2021·河南·郑州外国语中学九年级开学考试）化简22111a a a+--的结果正确的是（ ） A ．2311a a +- B ．2311a a -- C ．11a + D ．11a - 【答案】C 【分析】221212(1)111(1)(1)1(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++=-==--+--+-+；故选：C ． 25．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如果a ﹣b ＝3那么代数式（222a b a+﹣b ）•aa b-的值为（ ） A 3B ．3C ．3 D ．3【答案】A【分析】解：原式222()22a b ab aa a ab +=-⋅-2()2a b a a a b-=⋅-2a b -=. 当23a b -=.原式233==故选：A ． 26．（2021·湖北·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．-a bB ．a b +C ．1a b- D ．1a b+ 【答案】A【分析】解：2b a b a a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭=22a b aa ab -⨯+ =()()a b a b a a a b +-⨯+ =-a b ．故选：A ．27．（2021·山东乳山·模拟预测）如果2320a a +-=.那么代数式2231933a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】解：2231933a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭＝2333(3)(3)(3)(3)a a a a a a a ⎡⎤--+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦.23(3)(3)a a a a a -=⋅+-213a a =+ 由a 2+3a ﹣2＝0.得到a 2+3a ＝2.则原式＝12.故选B ． 28．已知实数a .b 满足1a b ⋅=.那么221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】解：∵•1a b =.∴()2221a b ab ==.∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ． 29．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）化简2111a a a +--的结果为（ ）A ．211a a +-B ．211a a+-C ．1a +D ．1a -【答案】C【分析】解：原式=2111a a a ---=211a a --=()()111a a a +--=1a +．故选C ． 30．（2021·河北桥东·二模）当2ab =-时.计算2b a ba a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【分析】2b a b a a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22a b a b a a --=÷()()a b a b aa ab -+=⋅-a b =+.把2a b =-代入得22a b b b +=-+=故选A ．31．（2021·河南·二模）下列各式计算正确的是（ ） A 42±B ．11011a a+=+- C ．2333122x y x x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭D ．22()()a b b a b a +-=-【答案】D【分析】42=.故该选项计算错误.不符合题意.B.21111211(1)(1)1a a a a a a a -+++==+-+--.故该选项计算错误.不符合题意.C.233122x y x xy ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭.故该选项计算错误.不符合题意.D.22()()a b b a b a +-=-.故该选项计算正确.符合题意.故选：D ． 32．（2021·山东诸城·二模）下列计算正确的是（ ） A ．1a ba b-+=-- B ．5333= C ．23193x x x -=-- D ．1122a a-=【答案】A 【分析】A.()1a b a b a b a b-+--==---.符合题意；B. 532333不符合题意；C. 23193x x x -=-+.不符合题意；D.1122a a -=.不符合题意．故选A ． 33．（2021·广东高要·二模）下列运算错误的是（ ） A ．224a a a += B ．34a a a ÷= C ．1a bb a-=-- D ．123ccc+=【答案】A【分析】A 、2222a a a +=.原式计算错误.符合题意；B 、34a a a ÷=.正确.不合题意；C 、1a b b a -=--.正确.不合题意；D 、123c c c+=.正确.不合题意；故选：A ．34．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知0b a >>.则分式a b 与11a b ++的大小关系是（ ）A ．11a ab b +<+B ．11a ab b +=+ C ．11a ab b +>+ D ．不能确定【答案】A 【分析】解：()()()()111111a b b a a a a bb b b b b b +-++--==+++.∵0b a >>.∴()1011a a a b b b b b +--=<++.∴11a ab b +<+.故选：A ．题型四 分式方程的概念与解法35．下列关于x 的方程.其中不是分式方程的是（ ） A ．1a ba xa++=B ．11b a a x b x-=+ C ．1x a x a b+-= D ．1x n x mx m x n-++=+- 【答案】C【分析】分式方程是分母含有未知数的等式．A 、1a ba xa++=分母含未知数.是分式方程.不符合题意；B 、11b a ax b x -=+分母含未知数.是分式方程.不符合题意；C 、1x a x a b+-=分母不含未知数.不是分式方程.符合题意；D 、1x n x mx m x n-++=+-分母含未知数.是分式方程.不符合题意；故选：C ． 36．下列结论正确的是（ ） A ．153y y+=是分式方程 B ．方程221624x x x --+-＝1无解 C ．方程223x xx x x x=++的根为x ＝0 D ．解分式方程时.一定会出现增根【答案】B【分析】解：A ．原方程中分母不含未知数.不是分式方程.所以A 选项不符合题意；B ．解方程.得x ＝﹣2.经检验x ＝﹣2是原方程的增根.所以原方程无解.所以B 选项符合题意；C ．解方程.得x ＝0.经检验x ＝0是原方程的增根.所以原方程无解.所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时.不一定会出现增根.只有使分式方程分母的值为0的根是增根.所以D 选项不符合题意．故选：B ．37．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）方程5113x x =-+的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．4x =-D ．4x =【答案】C【分析】解：去分母得：5（x +3）=x -1. 去括号得：5x +15=x -1. 解得：x =-4.检验：把x =-4代入得：（x -1）（x +3）≠0. ∴分式方程的解为x =-4．故选：C ．38．（2021·重庆八中九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组()31212x x x a ⎧-<+⎨≤+⎩的解集为4x <.且关于y 的分式方程2422y a ay y++=--的解是非负整数解.则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．15【答案】C【分析】解不等式()3121x x -<+得.4x <.2x a ≤+不等式组的解集为：4x < 24a ∴+≥2a ∴≥解分式方程2422y a ay y++=--得 2422y a ay y +-=-- 24(2)y a a y ∴+-=-整理得8=3ay -. 20,y -≠ 则82,3a-≠ 2,a ∴≠分式方程的解是非负整数解.803a-∴≥ 8a ∴≤.且8a -是3的倍数. 28a ∴<≤.且8a -是3的倍数.∴整数a 的值为58，5813∴+=.故选：C ．39．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）关于x的分式方程114211a xx x---=++有整数解.且关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解.则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20 【答案】A【分析】解：∵11 623 2(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩∴y＜52.y≥32a-∵关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解∴不等式组的解集为32a-≤y＜52.∴32a-＜52.即a-3＜5.可得a＜8由114211a xx x---=++有整数解,可得：x=22a-,即a为偶数∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．40．（2021·重庆一中九年级期中）若关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.且关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数.则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．﹣6 B．0 C．4 D．12 【答案】D【分析】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩.∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.∴2a+2≤8.即a≤3.解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+.∵关于y 的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数. ∴22a +≥0.且22a +≠1. 解得.a ≥﹣2.且a ≠0. ∴﹣2≤a ≤3.且a ≠0. ∵a 为整数.∴a ＝﹣2或﹣1或1或2或3.∴满足条件的所有整数a 的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D ． 41．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组3214x x x a+⎧>-⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤.且关于y 的分式方程52122y a yy y--+=--有正整数解.则所有满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】解：3214x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≤⎩①②. 解不等式①.得：x ＜6. 解不等式②.得：x ≤a . ∵该不等式解集为x ≤a . ∴a ＜6； 由52122y a yy y--+=-- 分式方程去分母.得：y -a -（5-2y ）=y -2. 解得：y =32a +. ∵分式方程有正整数解.且y ≠2.∴满足条件的整数a 可以取5；3；-1；共3个；故选：B ． 42．（2021·重庆·西南大学附中九年级月考）已知关于x 的分式方程()()232626mx x x x x +=--+-无解.且关于y 不等式组()4434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩有且只有三个偶数解.则符合条件的整数m 有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】解：分式方程无解的情况有两种.分式方程去分母得：(2)2(2)(6)3(2)(2)mx x x x x x ++--=+-.整理得：2(1)2(8)360m x m x -+-+=.情况一：整式方程无解时.即()()24843610m m ∆=--⨯-<且10m -≠时.方程无解. ∴2521000m m -+<. 解得250m <<.即当250m <<时方程无解；情况二：当整式方程有解.是分式方程的增根.即2x =.或6x =.或2x =-. ①当2x =时.4(1)4(8)360m m -+-+=.解得0m =. ②当6x =时.36(1)12(8)360m m -+-+=.解得2m =. ③当2x =-时.4(1)4(8)360m m ---+=.此方程无解. 综合两种情况得.当0m =或250m <≤时.分式方程无解.解不等式得48y m y <-⎧⎨≥-⎩. 根据题意得不等式的解集为84y m -<-. ∵不等式组有且只有三个偶数解为8-.6-.4-. ∴442m -<--≤. ∴02m <≤.综上所述当2m =时符合题目中所有要求．故选：B ．43．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x 的分式方程211x kx x-=--有增根.则k 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．﹣1【答案】D【分析】解：去分母得： ()21--=-x x k .∴22x x k -+=-.∴2x k =+∵分式方程有增根.10x -=.解得x =1.即210k +-=解得：k ＝﹣1.故选D ．44．（2021·重庆酉阳·九年级期末）在321012-,-,-,,,这六个数中.随机取出一个数记为a .那么使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.且使得关于x 的方程1311x a x x+-=--有整数解的所有a 的值之和为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】A【分析】解：要使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.则Δ≥16-4×（-2a ）≥0.解得a ≥-2,∴a 的可能值为-2.-1、0、1、2.解1311x a x x+-=--可得.22a x=+.1,x ≠ 21,2a∴+≠2,a ∴≠- 使得方程有整数解满足条件的a 的值为0、2.综上所述满足条件的a 的值为0、2.0+2=2.故选：A ．45．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试）关于x 的分式方程311x mx x -=--有增根.则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．3 C ．﹣3 D ．2【答案】A【分析】解：去分母.得：x -3=m .由分式方程有增根.得到x -1=0.即x =1.把x =1代入整式方程.可得：m =-2．故选：A ．46．（2021·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解.则k 的取值范围为（ ） A ．2k ≠- B ．6k ≠- C ．2k ≠-且6k ≠- D ．2k <-且6k ≠-【答案】C 【分析】解：3102112kx x x-+=--. 去分母得.3210kx x ++-=. 解得.22x k -=+. ∵关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解. ∴2122k -≠+且20k +≠. 解得.2k ≠-且6k ≠-.故选：C ．题型五 分式方程的应用47．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为x km/h.依题意.下面所列方程正确的是（ ）A．36036033x x-=B．36036033x x-=C．360360313x x-=D．360360313xx-=【答案】A【分析】根据题意可得：列车的平均速度为x km/h.则高铁列车的平均速度为3x km/h.高铁列车所用的时间为：3603x.普通列车的时间为：360x.所列方程为：36036033x x-=.故选：A．48．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km.由于采用新技术.每天多铺设铁路3km.因此提前2天完成计划.根据题意.可列方程为（）A．12012032x x=+-B．12012032x x=+-C．12012032x x=++D．12012032x x=++【答案】B【分析】解：原计划每天修建道路120xm.则实际用了（x﹣2）天.每天修建道路为1202x-m.根据采用新技术.每天多铺设铁路3km得.12012032x x=+-．故选：B．49．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级月考）随着快递业务的增加.某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具.公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件.平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递人数不变.求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件.根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80 D．6000x＝840080x-【答案】A【分析】解：设原来平均每人每周投递快件x件.则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件.依题意得：6000x＝840080x+.故选：A．50．（2021·福建省厦门第六中学三模）某次列车平均提速v km/h.用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km.则方程50s svx x++=所表达的等量关系是（）A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B【分析】解：∵用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km .∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程.∵某次列车平均提速v km/h.路程=速度×时间.∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km.故选B.51．（2021·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走.甲的速度是乙的1.2倍.甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/h x .则下列方程中正确的是（ ） A ．1010121.2x x-= B ．10100.21.2x x-= C ．1010121.2x x-= D ．10100.21.2x x-= 【答案】D【分析】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D ． 52．（2021·重庆市育才中学九年级月考）每年中秋节.某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节.该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒.已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7．今年.由于商家加大了促销宣传力度.预计三种月饼礼盒的营业额都会增加.其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.此时.甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为______． 【答案】1:25【分析】解：∵甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.且乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4∶6∶5.设今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4a .6a .5a .则今年总营业额为15a .∵去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7.∴设去年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4b .9b .7b .则去年总营业额为20b .∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别增加了44a b -.69a b -.57a b -.总营业额增加了1520a b -.∵甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.∴448152015a b a b -=-.解得：0.6b a =.经检验：b＝0.6a 符合题意.∴今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为69690.66 5.4115151525a b a a a a a a a --⨯-===.故答案为：1∶25． 53．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行.今年有A 、B 、C 、D 四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行）.但要求选择A 、C 两个国家的人数相同.选择B 、D 两个国家的人数也相同.选择A 、B 两国的人数总和为100人.A 、D 两国的费用单价相等.B 、C 两个国的费用单价也相等.A 、B 两国的费用单价之和不超过8万元.且选择A 、B 两个国家的员工总费用比选择C 、D 两个国家员工总费用多20万元.则选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为__万元． 【答案】410【分析】解：设有x 人选择A .A 单价为1y 万元.B 单价为2y 万元.依题意可知.B 有(100)x -人.即100x <.128y y +①.1221(100)[(100)]20xy x y xy x y +--+-=.即121050y y x -=-.100x .5050x ∴-.101505x -. 即1215y y -②.①+②得24125y .解得24110y .代入①中.13910y .代入②中.13910y .13910y ∴=.24110y ∴=.A ∴、B 两个国家员工总费用为12(100)xy x y +-.B 单价A >单价.0x ∴=时总费用最大.最大值为410(1000)41010+-⨯=（万元）．故选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为410万元．故答案为：410．54．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装.在加工完160套后.采用了新技术.使得工作效率比原计划提高了20%.结果共用了18天完成任务.问计划每天加工服装多少套？在这个问题中.设计划每天加工x 套.则根据题意可得方程为__________________．【答案】160x +()400160120%x -+=18【分析】根据题意.采用新技术前所用时间为：160x天.采用新技术后所用时间为：()400160120%x -+天.∴所列方程为：160x +()400160120%x -+=18.故答案为：160x +()400160120%x -+=18．55．（2021·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出.中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化.某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后.发现这批图书满足不了学生的阅读需求.图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书.于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则符合题意的方程是___________________． 【答案】3600240040.8x x-= 【分析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元.依题意得：3600240040.8x x -=．故答案为：3600240040.8x x-=． 56．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）2021年4月8日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕.世园会以“绿色城市.健康生活”为主题.吸引了大批游客游览.世园会成人一日票分为平日票和指定日票.其中平日票比指定日票便宜30元/张.某一售票点在5月份售出平日票4万元.指定日票2.6万元.且售出的平日票数量是指定日票的2倍.这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各多少张？【答案】这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．【分析】解：设这一售票点在5月份售出的指定日票为x 张.则平日票为2x 张.由题意得：2600040000302x x-=. 解得：200x =.经检验200x =是原方程的解.∴2400x =.答：这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．57．某公司生产开发了960件新产品.需要经过加工后才能投放市场.现在有A .B 两个工厂都想参加加工这批产品.已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天.而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品.公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费.B 工厂每天120元的加工费．（1）A .B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中.公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导.并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱.并说明理由．【答案】（1）A 每天加工16件.B 每天加工24件；（2）两个工厂合作完成.理由见解析 【分析】解：（1）设A 每天加工x 件产品.则B 每天加工x ＋8件产品.由题意得960960208x x -=+.解得x ＝16件.答：A 每天加工16件产品.则B 每天加工24件产品； （2）A 单独加工完成需要960÷16=60天.费用为：60×（80+5）=5100元.B 单独加工完成需要960÷24=40天.费用为：40×（120+5）=5000元；A 、B 合作完成需要960÷（16+24）=24天.费用为：24×（120+80+5）=4920元．所以既省时又省钱的加工方案是A 、B 合作．58．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级月考）某单位在疫情期间用6000元购进A 、B 两种口罩1100包.购买A 种口罩与购买B 种口罩的费用相同.且一包A 种口罩的单价是一包B 种口罩单价的1.2倍． （1）求A .B 两种口罩一包的单价各是多少元？（2）若计划用不超过11000元的资金再次购进A 、B 两种口罩共2000包.已知A 、B 两种口罩的进价不变.求A 种口罩最多能购进多少包？【答案】（1）A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元（2）A 种口罩最多能购进1000包【分析】(1) 设B 种口罩一包的单价为x 元.则A 种口罩一包的单价为1.2x 元.根据题意.得：3000300011001.2x x+=.解得：x = 5.经检验.x = 5是原方程的解.且符合题意.则1.2 x = 6.答：A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元；(2)设购进A 种口罩m 包.则购进B 种口罩(2000-m )包. 依题意.得：6m +5 (2000 - m )≤ 11000.解得：m ≤ 1000.答：A 种口罩最多能购进1000包．59．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）杭州国际动漫节开幕前.某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销.就用32000元购进了一批这种玩具.上市后很快脱销.动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具.所购数量是第一批购进数量的2倍.但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？（2）如果这两批玩具每套的售价相同.且全部售完后总利润率不低于20%.那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）600套；（2）200元【分析】解：（1）设动漫公司第一次购x 套玩具.由题意得：6800032000102x x-=.解这个方程.200x =.经检验.200x =是原方程的根．∴22200200600x x +=⨯+=.答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．（2）设每套玩具的售价y 元.由题意得：600y 320006800020%3200068000--≥+.解这个不等式.200y ≥.答：每套玩具的售价至少是200元．60．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液.进货时发现.甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元.用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时.甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶.乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶.且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元.超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元【分析】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶.则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶. 由题意可得.18004180056x x =⋅-. 解得30x =.经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为y 元.购进甲品牌洗衣液m 瓶. 则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶. 由题意可得.()30241203120m m +-≤. 解得40m ≤.由题意可得.()()()363028*********y m m m =-+--=+. ∵20k =>.∴y 随m 的增大而增大.∴当40m =时.y 取最大值.240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元． 61．（2021·重庆八中九年级月考）巫溪某村民承包土地发展李子种植.2020年开始大量投产增收.其中早熟李种植面积亩数是晚熟李种植面积亩数的3倍.早熟李、晚熟李分别收益60000元和40000元.而早熟李平均每亩收益比晚熟李少1000元． （1）2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有多少亩？（2）在扶贫专家小组的精准帮助下.优化管理.淘汰了部分低产李子林改种其他经济作物增加收益.2021年.早熟李、晚熟李的种植面积比2020年分别降低了1%3a 和%a .然而平均每亩早熟李和晚熟李的收益在2020年基础上分别增加了%a 和1%2a .2021年两种李子的总收益与2020年两种李子总收益相等.求a 的值．【答案】（1）早熟李种60亩.晚熟李种20亩；（2）50．【分析】解：（1）设2020年晚熟李种植面积有x 亩.则早熟李种植面积为3x 亩. 根据题意.得40006000010003x x-= . 解方程.得20x. 经检验.20x是分式方程式得解.360x ∴= . 即2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩．（2）由（1）可得: 2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩.2020年早熟李平均每亩收益为60000100060=元.晚熟李平均每亩收益为40000200020=元. 由题意可得：2021 年早熟李、晚熟李种植面积分别有1601%3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩、()201%a -亩. 2021 年早熟李平均每亩收益为()10001%a + 元.晚熟李平均每亩收益为120001%2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元. 由2021 年两种李子的总收益与2020 年两种李子总收益相等.得.()()11601%10001%201%20001%600004000032a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令%t a =.则()()11600001140000111000032t t t t ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()()()31125t t t t -++-+= .223225t t t t +-+--=.220t t -=.()210t t -=.0t =或0.5=t .0a =（舍）.50a =．答：50a =．62．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液.已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元.若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液.则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． （1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈.商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠.如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个.且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元.那么该学校最多可购买多少个测温枪？【答案】（1）购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元.则购买一个测温枪需要(20)x +元.依题意.得：4001160202x x=⨯+. 解得：5x =.经检验.5x =是原方程的解.且符合题意.2025x ∴+=．答：购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪.则购买(28)m +瓶洗手液.依题意.得：255(28)1540m m m ++-.解得：50m ．答：该学校最多可购买50个测温枪．63．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫.帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比.今年这种水果的产量增加了1000千克.每千克的平均批发价比去年降低了125.批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元.求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?（2）今年某水果店从果农处直接批发.专营这种水果.调查发现.若每千克的平均销售价为41元.则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元.每天可多卖出180千克．工商部门规定.该水果利润率不得超过40%.设水果店一天的利润为W 元.当每千克的平均销售价为多少元时.该水果店一天的利润最大.最大利润是多少?（利润计算时.其他费用忽略不计.并且售价为整数）【答案】（1）24元；（2）每千克平均售价为33元.最大利润为7020元．【分析】解： （1）由题意.设这种水果去年每千克的平均批发价是x 元.则今年的批发价为1125x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元 .今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元 ∴ 1000001200001000,1125x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭解得x =25经检验x =25是分式方程的解．。
中考数学专题复习课件 --- 第六讲一元一次方程与分式方程
【解析】选A.把x=2代入方程2x+3m-1=0,解得m=-1.
2.(2010 ·东营中考)分式方程 (A)-3 (B)2 (C)3
1 3 的解是( x2 x
)
(D)-2
【解析】选C.原方程去分母,得x=3x-6,解得x=3,经检验x=3是
原方程的根,或者把选项代入原方程检验即可.
3.(2010·河北中考)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了 1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，
去分母，得(2x-8)-4=8, 去括号，得2x-8-4=8, 移项，合并同类项，得2x=20, 系数化为1，得x=10.
【纠错空间】上述解题过程出现了三个常见错误： (1)不会利用分式的符号法则对分式进行等值变形，这个法则 是“分式的分子、分母和分式本身的符号，任意改变两处， 分式的值不变”，按此法则，下列变形应该是：
3
检验：当 x 26 时，x-7≠0,且原方程的左右两边相等，
∴原方程的解为 x 26 .
3
3
x 1.(2010·江西中考)解方程： 2 x2
4 1. x2 4
【解析】 去分母，得(x-2)2+4=x2-4, 解得x=3. 检验：当x=3时，x2-4≠0, ∴x=3是原方程的解.
【解析】设原计划每天修水渠 x 米.
3 根据题意得： 600 3 600 20, x 1.8x
解得：x=80, 经检验：x=80是原分式方程的解. 答：原计划每天修水渠80米.
解分式方程常见的错误
【例】解分式方程 2x 8 4 8.
x7 7x 2x 8 4Байду номын сангаас【错误解析】变形，得 8 , x 7 x 7
第6讲 分式方程及其应用
经检验,x=40 是分式方程的根.
∴B 采样点送检车的平均速度为 40×1.5=60(km/h),
∴B 采样点送检车的行驶时间为 45÷60=0.75(h).
∵3.2+0.75=3.95<4,∴B 采样点采集的样本不会失效.
1.(2021 恩施)分式方程
A.x=1
C.x=
+1=
-
的解是( D )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
[变式 2](2021 连云港)解方程:
+
(x+1)2-4=(x+1)(x-1),
整理,得2x-2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴原方程无解.
=1.
- -
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
∴x=1是增根,应舍去.
-
8.(2021 潍坊)若 x<2,且
0
+|x-2|+x-1=0,则 x=
-
.
1 .
9.(2021 东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展
荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨
季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了任务.设原计划每
1.(2022 方城期中)给出下列方程:
-
+
+
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第6讲 分 式 方 程1.(2019，河北)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 min 完工；若甲、乙共同整理20 min 后，乙需再单独整理20 min 才能完工．(1)乙单独整理多少分钟完工？(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30 min ，则甲至少整理多少分钟才能完工？【思路分析】 (1)将总工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可．(2)设甲整理y min.根据乙整理时间不超过30 min ，列出一元一次不等式解之即可．解：(1)设乙单独整理x min 完工． 根据题意，得2040＋20＋20x ＝1. 解得x ＝80.经检验，x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80 min 完工． (2)设甲整理y min 才能完工． 根据题意，得1－y 40≤3080. 解得y ≥25.答：甲至少整理25 min 才能完工．2. (2019，河北)甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ．设甲队每天修路x m ．依题意，下面所列方程正确的是(A)A. 120x ＝100x －10B. 120x ＝100x ＋10C. 120x －10＝100xD. 120x ＋10＝100x 【解析】 设甲队每天修路x m ，则乙队每天修路(x －10)m.因为甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，所以120x ＝100x －10.3. (2019，河北)在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)A. 13x ＝18x －5 B. 13x ＝18x ＋5 C. 13x ＝8x －5D. 13x ＝8x ＋5【解析】 本题关键是读懂题意，找到3x 的倒数与8x 的倒数之间的等量关系，列出分式方程．分式方程的解法例1 (2019，连云港)解方程：3x －1－2x ＝0.【思路分析】 最简公分母是x (x －1)．不要忘记验根．解：方程两边同乘x (x －1)，得3x －2(x －1)＝0. 解这个整式方程，得x ＝－2. 经检验，x ＝－2是原分式方程的解．针对训练1 把分式方程2x ＋4＝1x 转化为整式方程时，方程两边需同乘(D)A. xB. 2xC. x ＋4D. x (x ＋4)【解析】 去分母是方程两边同乘最简公分母，即各分母中所有不同因式的最高次幂的乘积.针对训练2 (2019，成都)分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是(A)A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝3D.x ＝－3【解析】 去分母，得(x －2)(x ＋1)＋x ＝x (x －2)．化简得2x ＝2.解得x ＝1.经检验x ＝1是原分式方程的根.分式方程的增根例2 (2019，达州，导学号5892921)若关于x 的分式方程x x －3＋3a3－x＝2a 无解，则a 的值为（ 1或12 ）.【解析】 分式方程去分母，得x －3a ＝2a (x －3)．化简，得(1－2a )x ＝－3a .分式方程无解有两种情况：一是(1－2a )x ＝－3a 无解，即a ＝12；二是(1－2a )x ＝－3a 有解，但是增根．分式方程的增根只能是x ＝3.把x ＝3代入(1－2a )x ＝－3a 中，得a ＝1.所以a 的值为1或12.针对训练3(2019，潍坊)当m ＝ 2 时，解分式方程x －5x －3＝m3－x 会出现增根.【解析】 分式方程去分母，得x －5＝－m .分式方程的增根只能是x ＝3.把x ＝3代入x －5＝－m 中，得m ＝2.针对训练4 (2019，眉山)已知关于x 的分式方程x x －3－2＝kx －3有一个正数解，则k 的取值范围为 k ＜6且k ≠3 .【解析】 分式方程去分母，得x －2(x －3)＝k .解得x ＝－k ＋6.∴－k ＋6>0.∴k <6.但当k ＝3时x ＝3是增根，要舍去，∴k <6且k ≠3.分式方程的应用例3 (2019，威海，导学号5892921)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产，进行自动化程序软件升级，用时20 min.恢复生产后工作效率比原来提高了13，结果完成任务时比原计划提前了40 min ，求软件升级后每小时生产多少个零件．【思路分析】 设软件升级前每小时生产x 个零件，则软件升级后每小时生产⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x 个零件．根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x 的分式方程，解分式方程即可得出结论．解：设软件升级前每小时生产x 个零件． 根据题意，得240x －240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x＝4060＋2060. 解这个方程，得x ＝60.经检验，x ＝60是原分式方程的解． ∴60×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝80(个)． 答：软件升级后每小时生产80个零件．针对训练5 (2019，襄阳)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325 km ，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5 h ．求高铁的速度．【思路分析】 高铁速度是动车速度的2.5倍，即动车速度是高铁速度的0.4倍；等量关系是：动车所用时间－高铁所用时间＝1.5 h.解：设高铁的速度为x km/h ，则动车的速度为0.4x km/h. 根据题意，得3250.4x －325x ＝1.5. 解得x ＝325.经检验，x ＝325是原分式方程的解． 答：高铁的速度是325 km/h. 一、 选择题1. (2019，张家界)若关于x 的分式方程m －3x －1＝1的解为x ＝2，则m的值为(B)A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 把x ＝2代入分式方程可得m ＝4.2. (2019，株洲)若关于x 的分式方程2x ＋3x －a ＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为(D)A. 1B. 2C. 4D. 10【解析】 把x ＝4代入分式方程可得a ＝10.3. (2019，毕节)若关于x 的分式方程7xx －1＋5＝2m －1x －1有增根，则m 的值为(C)A. 1B. 3C. 4D. 5【解析】 方程两边乘x －1，得7x ＋5(x －1)＝2m －1.∵原分式方程有增根，∴最简公分母x －1＝0.解得x ＝1.当x ＝1时，7＝2m －1.解得m ＝4.∴m 的值为4.4. (2019，海南)若分式x 2－1x －1的值为0，则x 的值为(A)A. －1B. 0C. 1D. ±1【解析】 ∵分式x 2－1x －1的值为0，∴x 2－1＝0，且x －1≠0.解得x ＝－1.5. (2019，河南)解分式方程1x －1－2＝31－x ，去分母得(A)A. 1－2(x －1)＝－3B. 1－2(x －1)＝3C. 1－2x －2＝－3D. 1－2x －2＝3【解析】 整理分式方程，得1x －1－2＝－3x －1.去分母，得1－2(x－1)＝－3.6. (2019，哈尔滨)分式方程12x ＝2x ＋3的解为(D)A. x ＝－1B. x ＝0C. x ＝35D. x ＝1【解析】 去分母，得x ＋3＝4x .解得x ＝1.经检验，x ＝1是原分式方程的根．7. 新华书店向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个．已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装课外书x 本，则根据题意可列方程为(A)A. 1 080x ＋15＝1 080x －6B. 1 080x ＝1 080x －15－6C.1 080x ＝1 080x －15＋6D.1 080x ＋15＝1 080x ＋6 【解析】 设每个A 型包装箱可以装课外书x 本，则每个B 型包装箱可以装课外书(x ＋15)本．单独使用A 型包装箱需要1 080x 个，单独使用B 型包装箱需要1 080x ＋15个，又B 型包装箱比A 型包装箱少用6个．由此可列出方程．8. (2019，石家庄43中模拟)某自行车厂准备生产共享单车4 000辆，在生产完1 600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务．若设原来每天生产共享单车x 辆，则根据题意可列方程为(B)A. 1 600x ＋ 4 000（1＋20%）x ＝18B. 1 600x ＋4 000－1 600（1＋20%）x＝18C. 1 600x ＋4 000－1 60020%x ＝18D. 4 000x ＋4 000－1 600（1＋20%）x ＝18【解析】 设原来每天生产共享单车x 辆，则采用新技术后每天生产共享单车(1＋20%)x 辆，分别用时1 600x ，4 000－1 600（1＋20%）x ，其和等于18.9. (2019，南宁)一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间与以最大航速逆流航行90 km 所用时间相等．设江水的流速为v km/h ，则根据题意可列方程为(D)A.120v ＋35＝90v －35B.12035－v ＝9035＋vC. 120v －35＝90v ＋35D. 12035＋v ＝9035－v【解析】 根据题意可得轮船的顺水速度为(35＋v )km/h ，逆水速度为(35－v )km/h.根据以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间与以最大航速逆流航行90 km 所用时间相等，列出方程．10. (2019，唐山路北区三模，导学号5892921)某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单价比足球单价贵16元．若可列方程4 0002x ＝2 800x －16表示题中的等量关系，则方程中x 表示(D)A. 足球的单价B. 篮球的单价C. 足球的数量D. 篮球的数量【解析】 因为购买足球的数量是篮球的2倍，所列方程中有x 和2x ，所以x 表示篮球的数量，2x 表示足球的数量；2 800x 和4 0002x 分别表示篮球和足球的单价，两者相差16元.二、 填空题11. (2019，荆州)若关于x 的分式方程k －1x ＋1＝2的解为负数，则k 的取值范围为k ＜3且k ≠1.【解析】 分式方程去分母，得k －1＝2(x ＋1)．解得x ＝k －32.∴k －32<0.∴k <3.又∵当k ＝1时x ＝－1是增根，要舍去．∴k <3且k ≠1.12. (2019，嘉兴)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x 个零件，则根据题意，可列出方程：（ 300x ＝200x －20×(1－10%) ）．【解析】 设甲每小时检测x 个零件，则乙每小时检测(x －20)个零件．甲、乙检测的时间分别是300x 和200x －20，根据等量关系列方程即可．13. (2019，新疆)某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．【解析】 设第一次购进的铅笔，每支的进价是x 元．根据题意，得600x －30＝60054x.解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的根．三、 解答题14. (2019，南通)解方程：1x －2＝1－x 2－x－3.【思路分析】 方程两边同乘x －2，分母是2－x 的项要变号． 解：方程两边乘x －2， 得1＝x －1－3(x －2)． 解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0. 因此x ＝2不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．15. (1)小明解方程21－x －1x＝0的过程如下： 解：方程两边乘x (1－x )，得2x －(1－x )＝0①.去括号，得2x －1－x ＝0②.移项、合并同类项，得x ＝1③.∴原方程的解为x ＝1④.小明解答的过程中开始出错的步骤是 ② (填序号)；原方程的解为（ x ＝13 ）；(2)当x 的取值是(1)中方程的解时，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1－1x 2＋x ÷x 2－2x ＋1x 的值．【思路分析】 (1)第②步开始出错，去括号时后项没有变号．(2)先化简，再代入求值．解：(1)② x ＝13(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x x ＋1－1x （x ＋1）÷（x －1）2x ＝x 2－1x （x ＋1）·x （x －1）2 ＝（x ＋1）（x －1）x （x ＋1）·x （x －1）2＝1x －1.当x ＝13时，原式＝－32.16. (2019，石家庄28中质检)老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用手挡住了一个实数，其形式如下：×3÷6＝322.(1)求被挡住的实数；(2)若这个实数是分式方程1x ＝43x ＋m 的根，求m 的值．【思路分析】 (1)根据逆运算求被挡住的实数．(2)将(1)中结果代入方程，解得m 的值．解：(1)被挡住的实数＝322×6÷3＝3.(2)把x ＝3代入分式方程1x ＝43x ＋m ，得13＝49＋m .解得m ＝－19.17. (2019，山西)2019年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南—北京西”全程大约500 km ，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km ，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 min.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．第17题图【思路分析】 设时间为未知数，用“复兴号”速度＝“和谐号”速度＋40，来列方程求解．解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x h.由题意，得500x ＝50054x＋40.解得x ＝52.经检验，x ＝52是原分式方程的根．52＋16＝83(h)．答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83 h.18. (2019，桂林)某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程．当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【思路分析】 将整个工程看作单位“1”，工作效率可表示为时间的倒数．(1)等量关系是：一号施工队施工5天的工作量＋两队合作(40－5－14)天的工作量＝1.(2)等量关系：工作总量÷工作效率＝工作时间．解：(1)设二号施工队单独施工，完成整个工程需要x 天．根据题意，得140×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1x ×(40－5－14)＝1.解得x ＝60. 经检验，x ＝60是原分式方程的解．答：若二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天．(2)由题意，得1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋160＝24(天)． 答：若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．1. (2019，邯郸一模)某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x 个，可得方程1 500x －5－1 500x ＝10.则题目中用“……”表示的条件应是(B)A. 每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B. 每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C. 每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D. 每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成【解析】 实际每天生产零件x 个，则1 500x 表示实际生产天数，那么1 500x －5应该是原计划生产的天数，可推断出(x －5)表示原计划每天生产的零件个数．2. 若关于x 的分式方程mx －1x －2＋1x －2＝2的解为整数，则满足条件的m 有 5 个．【解析】 解分式方程mx －1x －2＋1x －2＝2，得x ＝－4m －2.∵ x 是不等于2(增根)的整数，∴m －2＝－1, －4，1，2或4.∴符合条件的 m 有5个．3. (2019，吉林，导学号5892921)下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．第3题图根据以上信息，解答下列问题．(1)冰冰同学所列方程中的x 表示 甲队每天修路的长度 ，庆庆同学所列方程中的y 表示 甲队修路400 m 所需时间 ；(2)两个方程中任选一个，写出它的关系式；(3)解(2)中你所选择的方程，回答老师提出的问题．【思路分析】 (1)(2)冰冰列的方程是时间相等，所以x 和x ＋20应是每天修路的长度；庆庆所列方程用的等量关系是乙队每天比甲队多修20 m ，所以y 表示修路的时间．(3)选一个方程求解即可．解：(1)甲队每天修路的长度 甲队修400 m 路所需时间(2)冰冰：甲队修400 m 路所需时间＝乙队修600 m 路所需时间； 庆庆：乙队每天修路长度－甲队每天修路长度＝20.(3)选冰冰的：400x ＝600x ＋20.解得x ＝40. 经检验，x ＝40是原分式方程的根．答：甲队每天修路40 m.选庆庆的：600y －400y ＝20.解得y ＝10.经检验，y ＝10是原分式方程的根．∴400y ＝40.答：甲队每天修路40 m.4. 如图①，在数轴上，点A 表示的数为1x .王老师让同学们在数轴上再标出一点B ，点B 表示数x ＋83x ，且AB 比OA 长2.甲同学认为点B应在点A 的右侧，如图②；乙同学认为点B 应在点A 的左侧，如图③.(1)两名同学谁的说法正确，请说明理由；(2)求x 的值．第4题图【思路分析】 (1)根据图①中点A 的位置，得x >0，以此为依据，推断点B 相对于原点的位置，就可以判断出谁的说法正确．(2)据“AB 比OA 长2”可以列方程求x 的值．解：(1)甲同学的说法正确．理由：题图①中点A 在原点右侧，∴1x ＞0.∴x ＞0.∴x ＋8＞0，3x ＞0.∴x ＋83x ＞0.所以点B 应在原点右侧且AB 比OA 长2. 所以甲同学的说法正确．(2)根据题意，得x ＋83x －1x ＝1x ＋2.方程两边乘3x ，得x ＋8－3＝3＋6x .解得x ＝25.经检验，x ＝25是原分式方程的解．所以x 的值为25.。