以三角形三边的变换解几何不等式问题

x + y + z ≥ 9 3r
3 3 3
3
自然想到用面积的海伦公式和半周长乘以r 自然想到用面积的海伦公式和半周长乘以r的关系转化这 个不等式， 个不等式，你来证明看看
第五讲 几何不等式
2、例题选讲 、
引申：回顾此题， 引申：回顾此题，这里余切的次数与我们结论 又什么关系呢？ 又什么关系呢？ 探求： 探求：
A B C （1） ctg + ctg + ctg ≥ ? 2 2 2 2 A 2 B 2C （2） ctg + ctg + ctg ≥? 2 2 2
你能得到什么规律？ 你能得到什么规律？
第五讲 几何不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式
3、小结 、
几个例题的有如下特点： 几个例题的有如下特点： 。 （ 1） 问题涉及到的关系都是关于三角形边或角的对称或 轮换关系，不涉及三角形本身的特殊性的要求； 轮换关系，不涉及三角形本身的特殊性的要求； （ 2 ） 涉及到三角形三边关系的几何问题时可以考虑用变 变换后的轮换特征不会变， 换 ， 变换后的轮换特征不会变 ， 但是减弱了原题中三角形三 边的不等关系； 边的不等关系； （ 3 ） 涉及到三角形三内角之半的关系的时候可以考虑用 变换转化。 变换转化。
C
a = y + z b = z + x c = x + y
z E x A x I F 图 1
z D y y B
第五讲 几何不等式
海伦公式
S = (x + y + z)xyz
思考：这里变换后的三条线段x、y、z还有什 思考：这里变换后的三条线段x 么特别的要求吗？ 么特别的要求吗？
第五讲 几何不等式
2、例题选讲 、
例1 a、b、c是△ABC的三边，S为其面积，求证：≥。(第三 ABC的三边 的三边， 为其面积，求证： IMO，1961年 届IMO，1961年) 。 分析：本题是外森别克不等式。一般可以将面积表示成边 分析：本题是外森别克不等式。 与正弦积的形式，将不等式作差，化简三角式即可证明。 与正弦积的形式，将不等式作差，化简三角式即可证明。这 我们利用三角形边的变换来处理。 里，我们利用三角形边的变换来处理。 不等式可以加强： 不等式可以加强：
并确定等号成立的条件。（IMO－24，1983） 。 。（IMO 1983） 并确定等号成立的条件。（ 分析：利用三角形边的变换代入原不等式并化简，我们可 分析：利用三角形边的变换代入原不等式并化简， 以得到： 以得到： y2 z2 x2
z
+
x
+
y
≥ x+ y+z
如何证明这个不等式，你来证明看看 如何证明这个不等式，
第五讲 几何不等式
2、例题选讲 、
例3 在△ABC中，求证： ABC中 求证：
A 3 B 3C ctg + ctg + ctg ≥9 3 2 2 2
3
分析：如何转化角的关系是本问题的关键。注意到这里都 分析：如何转化角的关系是本问题的关键。 是关于三内角的半角关系，联想到内切圆特征。 是关于三内角的半角关系，联想到内切圆特征。用变换关系 中的三条线段结合内切圆半径，可以将原不等式转化为： 中的三条线段结合内切圆半径，可以将原不等式转化为：
22涉及到三角形三边关系的几何问题时可以考虑用变涉及到三角形三边关系的几何问题时可以考虑用变换换变换后的轮换特征不会变变换后的轮换特征不会变但是减弱了原题中三角形三但是减弱了原题中三角形三边的不等关系
第五讲 几何不等式（三） 三、以三角形三边的变换解几何不等式问题
1、三角形三边的变换关系 、
从任何一个三角形都有一个内切圆，可以得到： 从任何一个三角形都有一个内切圆，可以得到：
a2 + b2 + c2 ≥ 4 3S + (a b)2 + (b c)2 + (c a)2
你来证明看看
第五讲 几何不等式
2、例题选讲 、
例2 设a、b、c是△ABC的三边，证明： ABC的三边 证明： 的三边，
a b(a b) + b c(b c) + c a(a c) ≥ 0
2 2 2