四川省德阳市广汉中学高二数学理测试题含解析

四川省德阳市广汉中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）
A.(-2,-1);
B.(2,1);
C.(2,-1);
D.(1,-2).
参考答案：
B
略
2. 下列命题中正确的是( )
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．的最小值是
参考答案：
D
【考点】基本不等式．
【专题】计算题．
【分析】根据基本不等式的使用范围：正数判断A不对，利用等号成立的条件判断B不
对，根据判断C正确、D不对．
【解答】解：A、当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2，故A不对；
B、∵=≥2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故B不对；
C、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，∴，故C 正确；
D、、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，则，故D不对；
故选D．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的验证．
3. 函数，的最大值是（）
A．B． -1
C．0 D．1
参考答案：
D
4. 若，，，则3个数，，的值( )
A. 至多有一个不大于1
B. 至少有一个不大于1
C. 都大于1
D. 都小于1
参考答案：
B
【分析】
利用反证法，假设的值都大于1,则,这与=矛盾,据此即可得到符合题意的选项.
【详解】假设的值都大于1,则,这与==矛盾,
∴假设不成立,即的值至少有一个不大于1.
本题选择B选项.
【点睛】应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
5. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表．的导函数
的图象如图所示．
下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是 ( )
A．4个B．3
个C．2个D．1个
参考答案：
D
画出原函数的大致图象，得：
①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．
②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；
③为假命题，当t=5时，也满足x∈[-1，t]时，的最大值是2；
④为假命题，可能有有2个或3个或4个零点．故选D
6. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是
（）
A．a≥3B．a=3 C．a≤3D．0＜a＜3
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在（0，2）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，
∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，
即在（0，2）内恒成立，
∵，
∴a≥3，
故选A
7. 若函数在内单调递减，则实数的范围为（）
A B．Ｃ． D
参考答案：
D
略
8. 在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】余弦定理；等比数列的性质；正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】先根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列能够得出b2=ac，再由余弦定
理cosA=以及条件即可求出cosA，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．
【解答】解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列
可知b2=ac ①
由余弦定理可知cosA=②
又∵a2=c（a+c﹣b）
∴a2=ac+c2﹣bc ③
联立①②③解得
cosA=
A∈（0，180°）
∴∠A=
故选D．
【点评】本题主要考查了等比数列在解三角形中的应用．等比中项的利用是解本题的关键．
9. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移
（）个单位长度得到．
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位．
【解答】解：分别把两个函数解析式简化为：
═2sin（2x+），
=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）+]，
可知只需把函数的图象向右平移个长度单位，
得到函数的图象．
故选：A．
10. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（）
A 内心
B 外心
C 垂心
D 重心
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{n+2n}中的第4项是．
参考答案：
20
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】根据题意，可得数列的通项a n=n+2n，将n=4代入通项计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，
则其第4项a4=4+24=20；
故答案为：20．
12. 关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是____．
参考答案：
13. 下面给出一个“直角三角形数阵”
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij (i≥j，i，j∈N*)，则a83等于________．
参考答案：
14. 如图所示，有5组数据：，，，，，去掉
__________组数据后剩下的4组数据的线性相关系数最大.
参考答案：
C
分析：各组数据所表示的点越集中靠在同一条直线上，相关系数越大，观察图象可知应去掉点C组数据.
详解：仔细观察点，，，，，可知点ABDE在一条直线附近，而C点明显偏离此直线上，由此可知去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关关系数最大,故答案为C.
点睛：本题主要考查散点图与相关系数的关系，属于简单题.
15. _________________
参考答案：
略
16. 某校早上开始上课，假设该校学生小李和小张在早上之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小李比小张至少迟5分钟到校的概率为______．（用数字作答）
参考答案：
17. 某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；
几何体的直观图如下所示：
四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，
三角形SBD是边长为的等边三角形，
所以此四面体的四个面中面积最大的为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分16分）如图所示，在平面直角坐标系中，过椭圆内一点的一条直线与椭圆交于点，且，其中为常数.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当点恰为椭圆的右顶点时，试确定对应的值；
（3）当时，求直线的斜率.
参考答案：
（1）因为，所以，即，所以离心率. …4分（2）因为，所以直线的方程为
，………6分
由，解得
，
………8分
代入中，得
.
………10分
（3）因为，所以，设，
则
，
………12分
又，两式相减，得，即，从而，即
. ………16分
19. 已知抛物线C2：（）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆C1：（）的离心率为，且过抛物线C2的焦点.
（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；
（2）过定点引直线l交抛物线C2于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B 作抛物线C2的切线，，且与椭圆C1相交于P、Q两点，记此时两切线，的交点为D.
①求点D的轨迹方程；
②设点，求的面积的最大值，并求出此时D点的坐标.
参考答案：
解：（1）∵抛物线的通径长为
∴，得
∴抛物线的方程为
∵抛物线的焦点在椭圆上
∴，得
∵椭圆的离心率为
∴
∴椭圆的方程为
（2）设，
其中，，
∵点、、三点共线
∴
∴（*）
设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得
，由，可得
即
同理可得，切线的方程为
联立两方程解得，点坐标为
①设点，则，
代入（*）式得，点的轨迹方程为：
②由切线和椭圆方程，消去得：
∴，
∴
∵点到切线的距离为
∴的面积为
∴当，时，有最大值为
此时，由（*）可得
∴点坐标为
20. 在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数）.以坐标原点
为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.
参考答案：
（1）直线的参数方程是（为参数），
消去参数可得直线的普通方程为
曲线的极坐标方程是，化为，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将（为参数）代入方程，得
，
即.由，解得，所以
∵，∴，解得或或1，
都满足，所以或或.
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求点G到平面PAB的距离．
参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）运用直线平面的垂直的性质，判定定理证明，
（2）运用等积法得出v G﹣PAB=V A﹣PGB=a2×h=a2×a，即可求h的值．【解答】（1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，
又ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴GB⊥AD，
∴GB⊥平面PAD．
（2）解；设点G到平面PAB的距离为h，△PAB中，PA=AB=a
∴面积S=?a?a=a2，
∵v G﹣PAB=V A﹣PGB=a2×h=a2×a，
∴h=a．
22. 已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．
(I)求双曲线的方程；
(Ⅱ)求双曲线的离心率．
参考答案：
（Ⅰ）因为离心率，则，相同的焦点，即，，双曲线，得，
双曲线方程
（Ⅱ）因为离心率，所以.。