第08章+粘性流体动力学基础

u

umax
(1
y2 H2
)
（8--20）
速度分布为抛物线规律，这是层流的
重要特性。
H
H
y2
4
Q 2 0
udy 2 0
umax (1 H 2 )dy 3 umax H
23
讨论：
1.已经求得速度分布，如何求流量？
2.平均速度如何求？
v
Q A

4 3
umax
H
2H

2 3
umax
t

3
不可压缩 v (v )v F 1 p 2v
t

（8-14）
16
讨论 1.方程（8-12）的求解：
三个速度和压力，加上连续性方程，方程封 闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况 下有解析解。
2.方程（8-12）为偏微分方程，求解时应给定边 界条件和初始条件。
3. 物面上为无滑移条件（切向速度为零） 与理想流体不同。
d duxdt / dt dux
dt dy
dy
剪切变形速度与速度 梯度联系起来了
牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速
度成正比，比例系数为流体的粘性系数μ 。
10
把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面
剪切变形就有 也即

xy
yx

d
dt
(d1
dt
d2 )
dt
第八章 粘性流体动力学基础
课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边 速度小?
本章主要内容： 1.导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维
---斯托克斯（Navier-Stokes）方程 2.讨论该方程的个别精确解。
——用纳-斯方程求解简单的流动问题。 1
§8-1 粘性流体的运动微分方程式（N—S方程）
的流层两点压力分别为:
p1 250KN / m2
粘性系数和密度分别为:
p2 80KN / m2
0.9pa s 1260kg / m3
Dt
x
y
z
DVy Y 1 ( yx Pyy zy )
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上 的力有：质量力、压力，粘性切应力。
取一六面体流体微团 1. 流体微团上受力:
表面力： 法向应力 切向应力
质量力：F Xi Yj Zk
dz z
dx dy y
x
2
zx

zx
z
pz dz

pz dz z
zy

zy
z
dz
z
py
zydy

dz 2

( zy

zy
z
dz)dy
dz 25
0
略去高阶小量后得： yz zy
同理可以证明另外两式成立，即
xz zx yx xy
应力张量中只有六个分量是独立的。
pyxxx
xy
xz
p yy
yz

zx zy pzz
px
dz
xz
z
dx
xy

xy
x
dx
x
y
px

pxdydx x
7
稍加整理，消去ρ dxdydz得ｘ方向的方程式，
DVx X 1 ( pxx yx zx )
Dt
x y z
同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式
DVx X 1 ( pxx yx zx )
面力是二阶小量， 质量力是三阶小量
对形心取矩，忽略了 质量力引起的力矩：
力矩方程为：
pz

pz z
dz
zy

zy
y
dy
z
py
dx
yz
形心 dy
zy
pz
yz

yz
y
dy
py

p y y
dy
y
yzdz
dy 2

(
yz

yz
y
dy)dz
dy 2
yx
dz xy
xz

xz
x
dx
yz
dx
xy

xy
x
dx
px
yz

yz
y
dy
xz
yx

yx
y
dy
py

p y y
dy
pdx y
px x
dx
zx
zy
pz
x
y
3
下标1、2 ：分别为切应力的位置和切应力的方向
构成点的应力张量，共有九个分量：
3.最大速度与平均速度的关系如何？
4.由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内 层流流动时横界面上最大速度？
5. 由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失 表现为哪个流动参量的下降？
6. 这里能否根据速度分布得到压力分布？
24
结论 无限大两平行平板间不可压缩、无剪切、有压 差驱动的定常层流：
1. 速度分布为抛物线
2h
2 x
剪切流动 + 压差流动
+

h


(
u y
)
yh

(U
2h

1

p x
h)

h


(
u y
)
y
h


(U 2h

1

p x
h)
下板表面切应力
上板表面切应力
28
例8-1 两平行平板相距h＝10mm，上板相对下板 以U＝1.5ｍ/s的速度向上运动，垂直距离为１m
这就建立了切应力与速度之间的关系，即补 充了三个方程。
法向应力与线变形速度之关系: 对于理想流体，在同一点各方向的法向应力
（即压力）是相等的，即ｐｘ= ｐy = ｐz = －ｐ
流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流 体微团法线方向有线变形速度，它将使粘性流体中 的法向应力有所改变（与理想流体相比），产生附 加法向应力。
17
§8-2 二元平板间粘性流体的流动 粘性不可压缩流体里流过间距为２Ｈ的两静 止无限大平行平板。 流动状态：定常层流，无剪切，有压力差驱动。 讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布
本问题是N-S 方 程的精确解之一 O
18
在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略 去不计，Ｎ－Ｓ方程和连续方程可简化为：
12
将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力 等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得 法向应力的表达式：
px
p 2 vx
x
p 2 x

py
p 2 vy
y


p

2
y


pz
p 2 vz
z
p 2 z
对于不可压缩流体，上式最后一项为零。
15
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z

X

1
p x

(
2vx x2

2vx y2

2vx z 2
)
vy t

vx
vy x

vy
vy y

vz
vy z
Y

1
p y

将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
d 2u 1 dp
dy 2 dx
(e)
考虑到（8-13）和（8-14）将偏微分改为常微分
上式左边为ｙ的函数，右边为ｘ的函数，因此
dp C
（8--17）
dx
21
(e)式的积分结果为：
u 1 dp
dxBiblioteka dydy1
2
dp dx
y2
C1 y

(８--８）
可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的 法向应力是不相等的，它们的总和为：
13
px

py

pz

3 p

2 ( vx
x

vy y

vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？速度散度div(v)
对于不可压缩流体，故有：
1 p 3 ( px py pz )
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力(8-7)和法向应力(8-8) 式代入(8-5)式得
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z

X

1

p x
2vx

3
x
(div
v)

1

p x

const.
积分
u( y)

1
2
p x
y2
c1 y c2
y h
u

0

1
2
p x
h2
c1h c2
yh
u
U

1
2
p x
h2
c1h c2
y
U
得
c1 U / 2h
c2
U
/2
1
2
p x
h2
2h
ux
U 0 27
u( y) U ( y h) 1 p h2 y2
pyxxx
xy
xz
p yy
yz

zx zy pzz
第一个下标：切应力所处的坐标面
第二个下标：切应力的方向
（8－1）
九个应力分量中，六个切向应力两两相等
xy yx
yz


zy

（8－2）
xz
zx

4
证明：取单位厚度微团, 通过其形心并平行于 ｘ轴线的力矩平衡关系如下:
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
3.应力与变形速度之间是否有某种关系？
流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团 的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流
dvx
dy
（８-６）
9
某瞬时一方形微团ABCD，经过时间dt后变为棱 形A’B’C’D’ ，微团的剪切变形速度为:
(d)
代入(ｃ)得 ： u 0
x
所以 V＝V(ｙ) （8--15）
流速仅为ｙ的函数，与ｘ无关，即沿ｘ轴
任何一横截面上，速度分布都相同。
将(ｄ)代入(ｂ)可得:
p 0
y
O
所以 p p(x) （8--16） 20
压力仅为ｘ的函数，与ｙ无关，即沿ｘ轴的 任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面 上具有不同的压力。
2. 最大速度为平均速度的1.5倍
3. 流量可由平均速度与过水断面面积之积 得出。
4.流动损失为压力差
25
N-S方程的精确解之二
无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流
y
U
2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方程
u v w 0, x y z
u 0, u u( y) x
（8－1）
6
2. N-S方程的推导
ｘ方向的平衡方程：

pxdydz

(
px

px x
dx)dydz

yx dzdx

(
yx

yx
y
dy)dzdx
zxdydx ( zx

zx
z
dz)dydx

Xdxdydz
dxdydzax
xz

xz
x
dx
xy
C2
应用物面边界条件：
y 0, du 0 dy
C1 0
y H,u 0
O
C2


1
2
dp dx
H
2
u 1 dp (H 2 y2 )
2 dx
（８--１８）
22
ｘ轴上速度为最大值，即ｙ= 0，u = umax
所以
umax


1
2
dp dx
H2
（8-19）
将上式代入（８-１８）式可得
(
2vy x2

2vy y2

2vy z2
)
（8--12）
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z

Z

1
p z

(
2vz x2

2vz y2

2vz z 2
)

Ｎ－Ｓ方程的矢量形式：
可压缩 v (v )v F 1 p 2v ( v) （8-13）
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
Y

1

p y
2vy

3
y
(div
v)

(8-11)
vz t
vx
vz x
vy
vz y

vz
vz z

Z

1

p z
2vz

3
z
(div
v)

这就是N——S方程
运动方程
u t
u
u x

v
u y

w
u z


1

p x

2u ( x 2

2u y 2

2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y

w
u z


1

p x

(
2u x2

2u y2

2u z2 )
简化为
2u y 2
vx
vx x
vy
vx y


1

p x

(
2vx x2

2vx y 2
)
(a)
vx
vxy x
vy
vxy y


1