专题19航天器的变轨及对接模型-2023年高考物理万有引力与航天常用模型最新模拟题精练(解析版)

高考物理《万有引力与航天》常用模型最新模拟题精练
专题19.航天器)的变轨及对接模型
一．选择题
1.(2023湖南怀化名校联考)如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9km/s 对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s 对应的脱离轨道，a 、b 、c 三点分别位于三条轨道上，b 点为轨道Ⅱ的远地点，b 、c 点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则（
）
A.卫星在轨道Ⅰ上处于平衡状态
B.32
倍C.卫星在a 点的加速度大小为在c 点加速度大小的4倍
D.质量相同的卫星在b 点的机械能等于在c 点的机械能
【参考答案】C
【名师解析】
卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，合力不为零，不处于平衡状态，故A 错误；由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为
1223
R R =根据开普勒第三定律33122212R R T T =，解得213322
T T =B 错误；根据公式
2
GM
a r =可知，卫星在a 点的加速度大小为在c 点的4倍，故C 正确；
卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ需要点火加速，因此在同一点加速动能增大也就是机械能增大，而同一轨道机械能守恒，因此b 点的机械能小于在c 点的机械能，故D 错误。

2.（2022江苏南京二模）2021年5月16日至6月24日，运行在约555km 高度轨道上的“星链一1095”卫星降轨至平均高度为382km 的近圆轨道上，后持续运行于这一与中国空间站相近的高度。

在此期间，中国空间站采取了紧急避碰措施。

关于卫星的降轨，下列说法正确的是（
）A.降轨前，卫星在原轨道上处于平衡状态
B.降轨时，卫星在原轨道上需要先行减速
C.降轨后，卫星在新轨道上运动周期变大
D.降轨后，卫星在新轨道上的速度将大于第一宇宙速度
【参考答案】B
【名师解析】．降轨前，卫星在原轨道做圆周运动，其合外力提供向心力，卫星在原轨道上不处于平衡状态，A 错误；降轨时，卫星的轨道半径降低，做向心运动，万有引力大于向心力，故卫星在原轨道上需要先行减速，B 正确；根据万有引力提供向心力，则有222()Mm G m r r T
π=解得3
2r T GM
=，由此可知，轨道半径越小，周期越小，故降轨后，卫星在新轨道上运动周期变小，C 错误；根据万有引力提供向心力，则有2
2Mm v G m r r =，解得GM v r
=，由于当轨道半径等于地球半径时，卫星在轨道上的速度将等于第一宇宙速度，又降轨后运行的轨道半径大于地球半径，故降轨后，卫星在新轨道上的速度将小于于第一宇宙速度，D 错误。

3.（2022山东烟台模拟）人造地球卫星与地心间距离为r 时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为p GMm E r
=-，其中G 为引力常量，M 为地球质量，m 为卫星质量。

卫星原来在半径为r 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为r 2。

此过程中损失的机械能为（）A.21
11()2GMm r r - B.1211(2GMm r r -C.2111()GMm r r - D.21211(
)GMm r r -【参考答案】A
【名师解析】
根据卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为r 1时有
211
21v G m r Mm r ＝卫星的引力势能为p11
GMm
E r =-
轨道半径为r 2时2
2222v G m r Mm r ＝卫星的引力势能为2
p2GMm
E r =-设摩擦而损失的机械能为E ∆，根据能量守恒定律得
221p12p211 22mv E mv E E +=++∆联立以上各式可得21112GMm E r r ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭
，故A 正确，BCD 错误。

4.（2022湖南衡阳期中）2021年10月16日，“神舟十三号”载人飞船成功与“天和”核心舱对接，发射过程简化示意图如图所示，先把飞船发射到近地圆轨道Ⅰ，继而调整角度和高度，经过多次变轨不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨接近。

Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕地球运行很接近空间站轨道的圆形轨道。

P 、Q 分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，P 、Q 之间的距离为2L ，地球半径为R 。

下列说法正确的是（
）
A.载人飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道上Ⅳ的角速度大
B.33
L R C.载人飞船在轨道Ⅲ上P 处与Q 22
L R D.L R 【参考答案】AB
【名师解析】由万有引力提供向心力22Mm G mr r ω=，解得3
GM r ω=
因为飞船在轨道Ⅰ上的轨道半径小于轨道上Ⅳ的轨道半径，所以载人飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道上Ⅳ的角速度大，故A 正确；载人飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上，由开普勒第三定律有33
2213
R L T T =解得3331T L T R
=B 正确；由万有引力提供向心力()22P Mm G ma L R =-，2
Q Mm G ma R =解得载人飞船在Ⅲ轨道P 处与Q 处的加速度大小之比为()2
2
2P Q a R a L R =-，故C 错误；由万有引力提供向心力得212v Mm G m R R
=，()22222v Mm G m L R L R =--解得载人飞船在Ⅰ轨道和Ⅳ轨道的线速度大小之比为122v L R v R
-=D 错误。

5.（2021辽宁模拟预测13）中国空间站的建设过程是，首先发射核心舱，核心舱入轨并完成相关技术验证后，再发射实验舱与核心舱对接，组合形成空间站。

假设实验舱先在近地圆形过渡轨道上运行，某时刻实验舱短暂喷气，离开过渡轨道与运行在较高轨道上的核心舱安全对接。

忽略空气阻力，以下说法正确的是
A.实验舱应当向前喷出气体
B.喷气前后，实验舱与喷出气体的总动量不变
C.喷气前后，实验舱与喷出气体的机械能不变
D.实验舱在飞向核心舱过程中，机械能逐渐减小
【参考答案】B
【名师解析】
实验舱要向高轨道运行，需要做离心运动，所以要加速，应该向后喷出气体，A 错误；喷气过程没有外力，实验舱与喷出气体系统动量守恒，喷气前后，总动量不变，B 正确；喷气前后，内力做功，总机械能增大，发生变化，C 错误；实验舱飞向核心舱过程中，地球的万有引力做负功，重力势能增大，且实验舱速度增大，机械能增大，D 错误。

6．
（2020山东聊城二模）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号B 运载火箭，搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货物返回舱试验舱，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功；未来两年内，我国还将发射核心舱、轨道舱等在轨组合中国空间站，发射载人飞船、货运飞船，向空间站运送航天员以及所需的物资。

关于火箭的发射以及空间站的组合、对接，下列说法正确的是
A ．火箭发射升空的过程中，发动机喷出的燃气推动空气，空气推动火箭上升
B ．货运飞船要和在轨的空间站对接，通常是将飞船发射到较低的轨道上，然后使飞船加速实现对接
C ．未来在空间站中工作的航天员因为不受地球引力，所以处于失重状态
D ．空间站一定在每天同一时间经过文昌发射场上空
【参考答案】B
【名师解析】火箭发射升空的过程中，发动机喷出的燃气推动空气，燃气对火箭的反作用力推动火箭上升，选项A 错误；货运飞船要和在轨的空间站对接，通常是将飞船发射到较低的轨道上，然后使飞船加速，做离心运动，进入空间站轨道，实现对接，选项B 正确；未来在空间站中工作的航天员仍受到地球引力，但是随空间站一起绕地球做匀速圆周运动，加速度指向地心，所以处于失重状态，选项C 错误；空间站的轨道若经过海南文昌发射场上空，但是周期小于24小时，所以每天可能几次经过文昌发射场上空，若空间站的轨道不经过海南文昌发射场上空，则不经过文昌发射场上空，选项D 错误。

7.（2020年4月浙江台州质量评估）2017年4月20日19时41分，“天舟一号”货运飞船在海南文昌发射，然后与七个月前发射的“天宫二号”空间实验室进行了对接，对接后飞行轨道高度与“天宫二号”原轨道高度相同。

已知万有引力常量为G ，地球半径为R ，对接前“天宫二号”的轨道半径为r 、运行周期为T 。

由此可知
A ．地球的质量为22
2
4r GT πB.地球的第一宇宙速度为32r T R
πC ．对接前“天宫二号”的运行速度为
2R
T πD ．对接后“天舟一号”与“天宫二号”组合体的运行周期大于T
【参考答案】B
【命题意图】本题以“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接为情景，考查万有引力定律、牛顿运动定律、第一宇宙速度及其相关知识点，考查的核心素养是“运动和力”的观点。

【解题思路】由万有引力提供向心力提供向心力，G 2Mm r =mr （2T
π）2，解得地球的质量为M=2324r GT π，选项A 错误；当卫星围绕地球做匀速圆周运动的轨道半径等于地球半径时，对应的速度等于第一宇宙速度，由万有
引力提供向心力提供向心力，G 2Mm R =m 21v R ，而M=2324r GT π绕，联立解得：地球的第一宇宙速度为v 132r T R π，选项B 正确；对接前“天宫二号”的运行速度为v=2r T
π，选项C 错误；根据题述，对接后飞行
轨道高度与“天宫二号”原轨道高度相同可知，轨道半径不变，由万有引力提供向心力提供向心力，G 2Mm r =mr （2T
）2，可知对接后“天舟一号”与“天宫二号”组合体的运行周期不变，选项D 错误。

【关键点拨】解答围绕地球运动的卫星（包括飞船、空间站）类问题，一般方法是：利用万有引力提供向心力，选择合适的向心加速度表达式，列方程解答。

8.（2023辽宁沈阳名校联考）“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室自动交会对接前的示意图如图所示，圆形轨道I 为“天宫二号”运行轨道，圆形轨道II 为“神舟十一号”运行轨道。

此后“神舟十一号”要进行多次变轨，才能实现与“天宫二号”的交会对接，则：（）
A.“天宫二号”在轨道I 的运行速率大于“神舟十一号”在轨道II 上运行速率
B.“神舟十一号”由轨道II 变轨到轨道I 需要减速
C.“神舟十一号”为实现变轨需要向后喷出气体
D.“神舟十一号”变轨后比变轨前机械能减少
【参考答案】C
【名师解析】由题可知，万有引力提供向心力，即，则，由于“天宫二号”的轨道半径大，可知其速率小，则A 错误；“神舟十一号”由轨道II 变轨到轨道I 需要加速做离心运动，要向后喷出气体，速度变大，发动机做正功，使其机械能增加，故选项C 正确，BD 错误。

【名师点睛】本题考查了万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握变轨的原理，以及掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用。

9．（2023湖北名校联盟）2018年12月9日2时28分高分五号卫星在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭发射升空，卫星经过多次变轨后，在距地心为R 的地球冋步轨道上凝望地球。

该卫星首次搭载了大气痕量气体差分吸收光谱仪、主要温室气体探测仪、大气多角度偏振探测仪等，是实现高光谱分辨率对地观测的标志。

高分五号卫星由半径为R A 的圆轨道1经椭圆轨道2变轨到同步轨道3时的情况如图所示，已知高分五号卫星在轨道1上运行的周期为T 1，已知地球半径R 0<R A ，引力常量为G ，则下列说法正确的是（）
A．地球的平均密度为
B．在轨道3上稳定运行时，卫星每天可两次经过地表上同一点的正上方
C．卫星在从A点经轨道2运动到B点的时间为
D．卫星由圆轨道1调整到同步轨道3上，只需要加速一次即可
【参考答案】C
【名师解析】当卫星轨道半径等地球半径时，可求得其密度为，但轨道1的半径不是地球半径，故A错误；因轨道3为同步卫星，其相对地面上的某点不动，故B错误；在轨道2上的周期T：，
由A到B的时间为，可求得，故C正确；D项：卫星由圆轨道1调整到同步轨道3上，只需要加速两次，故D错误。

故选：C。

【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是对宇宙速度理解掌握不到位，导致错选A；二是对探测器变轨时速度加速度等相关物理量理解掌握不到位，导致错选C或D。

10．(2023·河北唐山联考)(多选)荷兰某研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划．登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是()
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【参考答案】ACD
【名师解析】[根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T
Ⅲ>
TⅡ>TⅠ，选项A正确；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则飞船在
轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，选项B错误，C正确；根据G Mm
R2＝mω
2R以及M＝4
3
πR3ρ，解
得ρ＝3ω2
4πG，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确．
11、（2016·天津）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。

假
设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（
）
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【参考答案】C
【名师解析】为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C正确ABD错误。

12．（2023江苏淮安联考）2017年4月,我国第一艘货运飞船天舟一号顺利升空，随后与天宫二号交会对接．假设天舟一号从B点发射经过椭圆轨道运动到天宫二号的圆轨道上完成交会，如图所示．已知天宫二号的轨道半径为r，天舟一号沿椭圆轨道运动的周期为T，A、B两点分别为椭圆轨道的远地点和近地点，地球半径为R，引力常量为G．则
天舟一号
地球
地球天宫二号A
B
A．天宫二号的运行速度小于7.9km/s B．天舟一号的发射速度大于11.2km/s
C ．根据题中信息可以求出地球的质量
D ．天舟一号在A 点的速度大于天宫二号的运行速度
【参考答案】AC
【名师解析】由G 2Mm r
=m 2v r 可得线速度与半径的关系：v GM r ，轨道半径r 越大，速率v 越小。

第一宇宙速度7.9km/s 是近地面卫星（轨道半径等于地球半径）的运行速度，而天宫二号轨道半径大于地球半径，所以天宫二号的运行速度小于7.9km/s ，选项A 正确；11.2km/s （第二宇宙速度）是发射脱离地球引力范围围绕太阳运动的人造行星的速度，而天舟一号是围绕地球运动的，所以天舟一号的发射速度小于11.2km/s ，选项B 错误；根据题中信息可知，天舟一号沿椭圆轨道运动的轨道半长轴为a=12
（R+r ），利用开普勒定律：32'r T =()3
212R r T ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，可得天宫二号绕地球运动的周期T ’，再由G 2Mm r =mr (2'
T π)2，可以求出地球的质量M ，选项C 正确；天舟一号在A 点的速度小于天宫二号的运行速度，选项D 错误。

13.（2023·北京名校联考）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2
做匀速圆周运动，下列说法正确的是A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【参考答案】B
【名师解析】不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点所受万有引力相同，由牛顿第二定律可知，在P 点的加速度都相同，选项B 正确。

卫星在轨道1上P 点的速度小于卫星在轨道2上P 点的速度，选项A 错误。

卫星在轨道1上不同位置所受万有引力不同，其加速度不相同，选项C 错误。

卫星在轨道2上不同位置速度大小虽然相同，但是方向不同，所以动量不相同，选项D 错误。

14．中国国家航天局目前计划于2020年发射嫦娥工程第二阶段的月球车“嫦娥四号”。

中国探月计划总工程师吴伟仁近期透露，此台月球车很可能在离地球较远的月球背面着陆，假设运载火箭先将“嫦娥四号”月球探测器成功送入太空，由地月转移轨道进入100千米环月轨道后成功变轨到近月点为15千米的椭
圆轨道，在从15千米高度降至月球表面成功实现登月。

则关于“嫦娥四号”登月过程的说法正确的是()
A．“嫦娥四号”由地月转移轨道需要减速才能进入100千米环月轨道
B．“嫦娥四号”在近月点为15千米的椭圆轨道上各点的速度都大于其在100千米圆轨道上的速度C．“嫦娥四号”在100千米圆轨道上运动的周期小于其在近月点为15千米的椭圆轨道上运动的周期D．从15千米高度降至月球表面过程中，“嫦娥四号”处于失重状态
【参考答案】A
【名师解析】“嫦娥四号”由地月转移轨道实施近月制动才能进入100千米环月圆轨道上，A正确；由卫星变轨条件可知近月点为15千米的椭圆轨道上远月点的速度小于圆轨道上的速度，B错误；由开普勒第三定律可得“嫦娥四号”在100千米圆轨道上运动的周期大于其在椭圆轨道上运动的周期，C错误；从15千米高度降至月球表面过程“嫦娥四号”需要减速下降，处于超重状态，D错误。

15.小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行。

已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为()
A．4.7πR
g B．3.6πR
g
C．1.7πR
g D．1.4πR
g
【参考答案】A
【名师解析】设登月器和航天站在半径为3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有
GMm
r2＝m 4π2r
T2，r＝3R
T＝2πr3
GM＝6π3R3 GM，
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，GM＝gR2
所以T ＝6π3R g ，①
设登月器在小椭圆轨道运行的周期为T 1，航天站在大圆轨道运行的周期为T 2。

对登月器和航天站依据开普勒第三定律分别有
T 2(3R )3＝T 12(2R )3＝T 22(3R )3②
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t 应满足t ＝nT 2－T 1③(其中，n ＝1、2、3、…)
联立①②③得t ＝6πn 3R g －4π2R g
(其中，n ＝1、2、3、…)当n ＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t ＝4.7π
R g ，故A 正确。

16..“神舟十号”与“天宫一号”多次成功实现交会对接．如图所示，交会对接前“神舟十号”飞船先在较低圆轨道1上做圆周运动，在适当位置经变轨后与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．M 、Q 两点在轨道1上，P 点在轨道2上，三点连线过地心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的有()
A ．“神舟十号”在M 点加速，则一定会在P 点与“天宫一号”相遇
B ．“神舟十号”可以与“天宫一号”同轨加速追及
C ．“神舟十号”在轨道1上M 点的加速度小于在轨道2上P 点的加速度
D ．“神舟十号”变轨后的运行周期大于变轨前的运行周期【参考答案】D
【名师解析】“神舟十号”加速后，万有引力不足以提供向心力，轨道半径增大，B 项错误；“神舟十号”与“天宫一号”相遇过程比较复杂，不仅与加速度的大小、方向有关，还与其他因素有关，A 项错误；根据万有引力定律F ＝G Mm r 2
可知，“神舟十号”在M 点受万有引力较大，加速度较大，C 项错误；由开普勒第三定律R 3T
2＝k 可知，“神舟十号”变轨后的运行周期大于变轨前的运行周期，D 项正确．17.我国是少数几个掌握飞船对接技术的国家之一，为了实现神舟飞船与天宫号空间站顺利对接，具体操作应为（）
A ．飞船与空间站在同一轨道上且沿相反方向做圆周运动接触后对接
B ．空间站在前、飞船在后且两者沿同一方向在同一轨道做圆周运动，在合适的位置飞船加速追上空间站后对接
C ．空间站在高轨道，飞船在低轨道且两者同向飞行，在合适的位置飞船加速追上空间站后对接
D．飞船在前、空间站在后且两者在同一轨道同向飞行，在合适的位置飞船减速然后与空间站对接
【参考答案】C
【名师解析】飞船在轨道上高速运动，如果在同轨道上沿相反方向运动，则最终会撞击而不是成功对接，故A错误；两者在同轨道上，飞船加速后做离心运动，则飞船的轨道抬升，故不能采取同轨道加速对接，故B错误；飞船在低轨道加速做离心运动，在合适的位置，飞船追上空间站实现对接，故C正确；两者在同一轨道飞行时，飞船突然减速做近心运动，飞船的轨道高度要降低，故不可能与同轨道的空间站实现对接，故D错误。

二．计算题
1.（2022北京朝阳二模）“星空浩瀚无比，探索永无止境。

”人类从未停止对宇宙的探索，中国航天事业正在创造更大的辉煌。

（1）变轨技术是航天器入轨过程中的重要一环。

实际航行中的变轨过程较为复杂，为方便研究我们将航天器的变轨过程简化为如图1所示的模型：①将航天器发射到近地圆轨道1上；②在A点点火加速使航天器沿椭圆轨道2运行，轨道1和轨道2相切于A点，A、B分别为轨道2的近地点与远地点，地球的中心位于椭圆的一个焦点；③在远地点B再次点火加速，航天器沿圆轨道3运行，轨道2和轨道3相切于B点。

已知引力常量为G，地球的质量为M，轨道1半径为R，轨道3半径为3R，质量为m的物体与地球间的引力
势能p GMm
E
r
=-（r为物体到地心的距离，取无穷远处引力势能为零）。

a．求航天器在圆轨道1上运行时的速度大小v；
b．开普勒第二定律表明：航天器在椭圆轨道2上运行时，它与地球中心的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

请根据开普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在椭圆轨道2近地点A的速度大小A v。

（2）在航天器到达预定高度后，通常使用离子推进器作为动力装置再进行姿态和轨道的微小修正。

如图2所示，推进剂从P处注入，在A处电离出正离子，B、C之间加有恒定电压U，正离子进入B时的速度忽略不计，经加速形成电流为I的离子束从出口D喷出。

已知单位时间内喷出的离子质量为0
m。

为研究方便，假定离子推进器在太空飞行时不受其他外力，忽略推进器运动的速度。

求推进器获得的推力的大小F。

【参考答案】（1）a GM R ，b ．32GM
R （20
2IUm 【名师解析】
（1）a ．设航天器的质量为m 1，根据牛顿第二定律有
2
112Mm v G m R R =①解得
GM
v R =②
b ．对航天器在A 、B 点附近很小一段时间t ∆内的运动，根据开普勒第二定律有
1
1
322A B v R t v R t ⋅⋅∆=⋅⋅∆③
对航天器从A 到B 的运动，根据能量守恒定律有
2211111
1223A B GMm GMm
m v m v R R -=-④联立③④解得
32A GM
v R =⑤
（2）设正离子的质量为m 2，经过加速后获得的速度大小为v ′，根据动能定理有
2
212qU m v '=⑥
设t 时间内加速的正离子数为N ，推进器对所有正离子的合力大小为F′，根据动量定理有
2F t Nm v ''=⑦根据电流的定义可知
Nq
I t =⑧由题意可知
20Nm m t =⑨
联立⑥⑦⑧⑨解得。