2021届福建省永安市第三中学高三9月月考数学试题(解析版)

2021届福建省永安市第三中学高三9月月考数学试题
一、单选题
1．设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ）
A ．{}5,8
B ．{}3,,6
C ．{}4,7
D ．{}3,5,6,8
【答案】A
【解析】集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.
2．已知全集U =R 集合{}13A x x =<≤，{}|2B x x =>，则(
)U
A B =（ ）
A ．{}
12x x <≤ B ．{}
12x x ≤<
C ．{}
12x x ≤≤
D ．{}
13x x ≤≤
【答案】A
【解析】根据集合的基本运算，先求补集，再求交集． 【详解】
解：由U =R 及{}|2B x x =>可得{}2U
B x x =≤，
又∵{}
13A x x =<≤， ∴(
){}12U
A B x x ⋂
=<≤，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
3．一元二次函数2y ax bx c =++的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ） A ．0,0b c == B ．0a b c ++= C ．0b c += D ．0bc =
【答案】D
【解析】一元二次函数2
y ax bx c =++的图像的顶点在原点的充要条件为0,0,b c ==再利用定义法解决. 【详解】
若一元二次函数2
y ax bx c =++的图像的顶点在原点，则02b
a
-=，且0c ，所以顶点在
原点的充要条件是0,0,b c ==故A 是充要条件，B 、C 既不充分也不必要，D 是必要条件，非充分条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含关系来判断，本题是一道基础题.
4．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：
①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③
C ．②④
D ．③④
【答案】B
【解析】先判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】
解：∵|sin x |≤1，∴：∃x ∈R ，使sin x =
错误，即命题p 是假命题， ∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0恒成立，即命题q 是真命题， 则①命题“p ∧q ”是假命题；故①错误， ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题；故②正确， ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题；故③正确， ④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是真命题．故④错误， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．
5．函数()1
2
f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2
B ．()2,+∞
C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
【答案】C
【解析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果. 【详解】 由21020
x x -≥⎧⎨
-≠⎩，解得x ≥1
2且x ≠2．
∴函数()1212f x x x =-+
-的定义域为()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：C . 【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.
6．下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】如图，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解． 【详解】
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．
如图，C 选项中，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，y ＝y 1，y ＝y 2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7．已知二次函数()2
22y x k x =+--，则下列说法不正确的是（ ）
A ．其图象开口向上，且始终与x 轴有两个不同的交点
B ．无论k 取何实数，其图象始终过定点()0,2-
C ．其图象对称轴的位置没有确定，但其形状不会因k 的取值不同而改变
D ．函数的最小值大于2- 【答案】D
【解析】利用判别式∆的符号可判断出A 选项的正误；令0x =求出y 值，可判断出B 选项的正误；根据抛物线的形状由首项系数决定可判断出C 选项的正误；求出二次函数的最小值，利用不等式的性质可判断出D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数对应的二次方程()2
220x k x +--=，其判别式()2
280
k ∆=-+>恒成立，故抛物线始终与x 轴有两个不同的交点，故A 选项正确； 对于B 选项，当0x =时，函数值2y =-，故B 选项正确；
对于C 选项，抛物线的形状只与二次项系数a 有关，无论k 取何实数，该函数图象的形状都与2y
x 的图象形状相同，故C 选项正确；
对于D 选项，函数的最小值()
2
min
824
k y
---=
，其中()2
828k ---≤-，所以
min 2y ≤-，故D 选项错误.故选D.
【点睛】
本题考查二次函数基本性质相关命题的判断，解题时要熟悉二次函数的基本性质，考查推理能力，属于中等题.
8．如果2()(2)1f x ax a x =--+在区间1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上为减函数，则a 的取值（ ）
A ．(0,1]
B ．[0,1)
C ．[0,1]
D ．(0,1)
【答案】C
【解析】最高次系数含有参数，分系数为0和不为0两种情况讨论，再结合二次函数的
性质即可求出答案． 【详解】
解：由题意，当0a =时，可得()21f x x =-+，在R 上是单调递减，满足题意； 当0a <时，显然不成立；
当0a >时，要使()f x 在1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上为减函数，
则
21
22
a a -≥，解得：1a ≤，∴01a <≤； 综上： 01a ≤≤， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二次函数单调性的应用，属于基础题．
二、多选题
9．（多选题）下列关系中，正确的有（） A ．{}0∅
B ．1
3
Q ∈
C ．Q Z ⊆
D ．{}0∅∈
【答案】AB
【解析】运用子集、真子集、属于的概念对四个选项逐一判断即可. 【详解】
选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:
1
3是有理数，故13
Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. 【点睛】
本题考查了子集关系、真子集关系的判断，考查了常见数集的识别，考查了属于关系的识别.
10．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“
1
1a
<”的 充 分不 必 要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.
C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件
D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD
【解析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由1
1a
<,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确；
选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.
选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出2
2
4x y +≥,然后再判断由2
2
4x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；
选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 【详解】
选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由1
1a
<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合
1
1a
<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；
选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出2
2
4x y +≥,本选项是不正确的；
选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出
0a ≠,最后判断本选项是否正确.
故选ABD 【点睛】
本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.
11．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）．
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的周期4T
=
C ．()20220f =
D ．()f x 在()4,2--单调递减
【答案】ABC
【解析】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即
()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，
令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确. 【详解】
由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--， 即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；
由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=， 则()f x 的周期4T
=，B 正确；
()2022(45052)(2)0f f f =⨯+==，故C 正确；
又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T =，则()f x 在()4,2--单调递增，
故D 错误. 故答案为：ABC 【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
12．已知函数()(
)23,0
3,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数
B ．()()220204f f -+=
C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则
6
1
9i
i x
==∑
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭
【答案】BCD
【解析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】
解：由题意可知当3
x-时，()
f x是以3为周期的函数，
故()
f x在[4，6]上的单调性与()
f x在[2-，0]上的单调性相同，
而当0
x<时，2
39
()()
24
f x x
=-++，
()
f x
∴在[2-，0]上不单调，故A错误；
又(2020)(2)2
f f
=-=，故(2)(2020)4
f f
-+=，故B正确；
作出()
y f x
=的函数图象如图所示：
由于()
y f x b
=-在(,6)
-∞上有6个零点，故直线y b
=与()
y f x
=在(,6)
-∞上有6个交点，
不妨设1
i i
x x
+
<，1
i=，2，3，4，5，
由图象可知1x，2x关于直线
3
2
x=-对称，
3
x，
4
x关于直线
3
2
x=对称，
5
x，
6
x关于直线
9
2
x=对称，
∴6
1
339
2229
222
i
i
x
=
=-⨯+⨯+⨯=
∑，故C正确；
若直线1
y kx
=+经过点(3,0)，则
1
3
k=-，
若直线1
y kx
=+与23(0)
y x x x
=--<相切，则消元可得：2(3)10
x k x
+++=，
令0
∆=可得2
(3)40
k
+-=，解得1
k=-或5
k=-，
当1
k=-时，1
x=-，当5
k=-时，1
x=（舍)，故1
k=-．
若直线1
y kx
=+与()
y f x
=在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1
k=．
因为方程()1
f x kx
=+恰有3个实根，故直线1
y kx
=+与()
y f x
=的图象有3个交点，
1
1
3
k
∴-<<-或1
k=，故D正确．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．
三、填空题 13．1
2
12
03
170.027
2(21)79--⎛⎫⎛⎫
--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
___________. 【答案】45-
【解析】根据指数幂的运算性质直接求解即可． 【详解】 解：原式()12132
2350.3
713⨯⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫=--+- ⎪
⎝⎭
15
0.34913
-=-+-
1055033
=-+ 45=-，
故答案为：45-． 【点睛】
本题主要考查分数指数幂与根式，考查数学运算，属于基础题． 14．已知命题:0,
,sin 02p x x x π⎛
⎫
∀∈-≥ ⎪⎝
⎭
，则p ⌝为________. 【答案】0000,
,sin 02x x x π⎛⎫
∃∈-< ⎪⎝
⎭
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，直接可得结果. 【详解】
由题可知：命题:0,,sin 02p x x x π⎛⎫
∀∈-≥ ⎪⎝⎭
根据全称命题的否定是特称命题 所以p ⌝：0000,
,sin 02x x x π⎛⎫
∃∈-< ⎪⎝
⎭
故答案为：0000,,sin 02x x x π⎛⎫
∃∈-< ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属基础题.
15．已知函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围为_______ .
【答案】[]0,1
【解析】由题意可知，不等式2210ax ax ++≥对任意的x ∈R 恒成立，分0a =和
0a ≠两种情况讨论，结合题意得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值
范围. 【详解】
由于函数()f x =
的定义域为R ，∴不等式2210ax ax ++≥对任意的
x ∈R 恒成立，
当0a =时，10≥恒成立，即0a =符合题意； 当0a ≠时，则2
0440a a a >⎧⎨
∆=-≤⎩，得0
01
a a >⎧⎨≤≤⎩，解得01a <≤. 综上，a 的取值范围是[]0,1. 故答案为：[]0,1. 【点睛】
本题考查利用函数的定义域求参数的取值范围，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
16．已知函数1
(12)3,1()2,1
x a x a x f x x --+<⎧=⎨⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可． 【详解】
解：当1x 时，1()21x f x -=， 当1x <时，()(12)3f x a x a =-+，
函数1
(12)3,1()2,1x a x a x f x x --+<⎧=⎨⎩
的值域为R ， (12)3a x a ∴-+必须取(),1-∞，
即满足：1201231
a a a ->⎧⎨-+⎩，解得1
02a <，
故答案为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题考查分段函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，属于中档题．
四、解答题
17．已知全集U =R ，集合{}
2
|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.
（1）求()U A C B ⋂；
（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取
值范围.
【答案】（1）{|12x x -≤<或}45x <≤.；（2）5|14a a ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. 【解析】（1）求出A 以及
U
B 后可得()U A
C B ⋂.
（2）根据集合等式关系可得B C A ⊆⊆，故可得各集合中范围的端点的大小关系，
从而可求实数a 的取值范围. 【详解】
（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >， (){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤.
（2）由C
A A =得C A ⊆，则1
450
a a a ≥-⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，解得504a <≤，
由C
B B =得B
C ⊆，则2440a a a ≤⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
，解得12a ≤≤，
∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭
． 【点睛】
本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.
18．设命题p ：实数x 满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足
()()2
16220x
x --≤．
（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()1,2；（2）[]1,2．
【解析】（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围； （2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，由()()120x x --<，得{}
12P x x =<<. 由(
)(
)
216220x
x
--≤，所以{}
14Q x x =≤≤. 因此x 的取值范围是()1,2；
（2）可得{}
2p x a x a =<<，{}
14Q x x =≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；
当P ≠∅即0a >时，
124a a ≥⎧⎨≤⎩[]1
1,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩
， 故a 的取值范围是[]1,2.
【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数的取值范围以及集合间的基本关系与充分、必要条件的关系应用，属于基础题.
19．已知函数()()(23)6f x x a x =-+-
（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）最大值0，最小值49
8-
；（Ⅱ）5823
a <<. 【解析】（Ⅰ）根据1a =-，得到2
5
49
()(1)(23)62()4
8
=++-=+-f x x x x ，由二次函数性质，即可得出结果；
（Ⅱ）由题意得到方程2
2(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根，得到
2(32)8(38)0320238
02
a a a
a ⎧
⎪∆=---+>⎪
-⎪>⎨-⎪
-+⎪>⎪⎩，求解，即可得出结果. 【详解】
（Ⅰ）若1a =-，则2
2
5
49()(1)(23)62532()4
8
f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：5
4
x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤
- ⎥⎝⎦
上单调递增； 因此min 549
()()48
f x f =-=-
；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；
（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程
22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根，
则2(32)8(38)03202
38
02
a a a
a ⎧
⎪∆=---+>⎪
-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<．
【点睛】
本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 20．已知()()1log 011a
x
f x a a x
+=>≠-， (1)求()f x 的定义域；
(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围．
【答案】（1）()1,1-；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】(1)求对数函数的定义域，只要真数大于0即可；(2)利用奇偶性的定义，看
()f x -和()f x 的关系，得到结论；(3)由对数函数的单调性可知，要使()0f x >,需
分0a >和0a <两种情况讨论，即可得到结果. 【详解】 (1)由
>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝log a
＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y ＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1； 若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，
()
()
1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .
21．已知函数f （x ）=4sinxcos （x+π
6
）+1． （1）求f （
12
π
）的值；
（2）求f （x ）的最小正周期； （3）求f （x ）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值． 【答案】（1）3； （2）π； （3）最小值为-1，最大值为2.
【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）＝2sin （2x 6
π
+
），即可计算； （2）根据周期公式求解即可； （3）由x 在[0，2
π
]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值． 【详解】
函数f （x ）=4sinx （cosxcos π6-sinxsin π
6
）+1， =23sinxcosx-2sin 2x+1， =3sin2x+cos2x ， =2sin （2x+π
6
）， （1）f （
π12）=2sin （π212⨯+π6
）=2sin π3=3 （2）周期T=2π
π2=； （3）由x 在[0，π
2
]上，
∴2x+π6∈[π6，7π6]，
当2x+π6=7π6，即x=π2，f （x ）取得最小值为-1；
当2x+π6=π2，即x=π
6
，f （x ）取得最大值为2．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题 22．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球. （Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望. 【答案】（1）108:343
（2）
3 4 5 6
【解析】试题分析：（1）由题可先算出取出红球和黑球的概率，再求取3次2个红球1个黑球的概率，可知为独立重复试验（有放回），运用独立重复试验的概率公式可求；（注意规范解题格式）
（2）由题意（无放回），先分析出的可能取值，再分别求出对应的概率，可列出分布列（为超几何分布），代入期望公式可得．
试题解析：（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则
（2）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：
，,
，．
3 4 5 6
从而得分的数学期望．
【考点】（1）独立重复试验的概率；（2）离散型随机变量分布列（超几何分布）及期望．。