高二数学11月月考(期中)试题 文-人教版高二全册数学试题

2015－2016学年度上学期11月月考数学试卷
（高二文科）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2
－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{1}
B ．{2}
C ．{0，1}
D ．{1，2}
2．抛物线2
41x y =
的焦点坐标是（ ） A ．（161，0） B ．（0，16
1） C ．（0，1） D ．（1，0）
3．若5
sin 13
α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）
A ．125
B ．125-
C ．512
D ．512
-
4．设函数f (x )定义在实数集上，f （2－x ）＝f （x ），且当x ≥1时，f （x ）＝l nx ，则有（ ） A ．)21
()2()31(f f f <<
B ．)31
()2()21(f f f <<
C ．)2()3
1
()21(f f f <<
D ．)3
1()21()2(f f f <<
5．函数f (x )＝⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-+0,120
,322x nx x x x 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．函数y ＝a x +1
－3（a ＞0，a ≠1）过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＝－2（m ＞0，n ＞0）上，则
n
n 1
1+的最小值为（ ） A ．3 B ．22 C ．
3
2
23+ D ．
3
2
23- 7．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝（ ）
A ．
17
2
B ．
19
2
C ．10
D ．12
8．圆8)2()1(2
2=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．短轴长为5，离心率3
2
=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（ ） A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
10．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且
3
4
π
απ
<
<，则双曲线的离心率的取值范围是
A ．)2,1(
B ．)2,2(
C ．（1，2）
D ．)2,1(
11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的
值等于（ ）
A ．2
B ．－2
C ．
4
9
D ．4
9-
12．函数22
1
1)(x nx x f -=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设变量x ，y 满足约束条件
20
20280
x x y x y ，则目标函数3y z x 的最大值为______． 14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几
何体的体积为 m 3
．
15．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝1nx ＋a 相切，则a 的值
为___________．
16．若在曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称
这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”。

下列方程：
①
221
x y -=；②
2||
y x x =-，
③3sin 4cos y x x =+； ④2||14x y +=
-对应的曲线中存在“自公切线”
的有
__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．已知函数2
1
()3sin cos cos ,2
f x x x x x R =--
∈． (Ⅰ)求函数f (x )的最小值和最小正周期；
(Ⅱ)已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量
(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．
18．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设E 是棱CC 1的中点．
⑴求证：BD ⊥AE ； ⑵求证：AC ∥平面B 1DE ； ⑶求三棱锥A －B 1DE 的体积．
19．已知抛物线方程为x 2
＝4y ，过点M (0，2)作直线与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线的交点为P ． ⑴求x 1x 2的值； ⑵求点P 的纵坐标； ⑶求△PAB 面积的最小值．
20．已知函数a x a x x f 2
1
31)(23+-=（a ∈R ）．
(Ⅰ)当a ＝1时，x ∈，求f (x )的最值．
(Ⅱ)若对任意x ∈上的最大值． ⑶证明对一切x ∈（0，+∞），都有ex
e nx x
2
11-
>
成立．
2015-2016学年度上学期11月月考数学（高二文）试卷答案
1.【答案】D
【解析】试题分析：求出集合N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 试题解析：解：∵N={x|x 2
﹣3x+2≤0}={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}， ∴M∩N={1，2}， 故选：D ． 2.【答案】C
【解析】根据抛物线的性质，得到抛物线的焦点坐标是（0,1）故选C. 3.【答案】D
【解析】由5sin 13α=-
，且α为第四象限角，则212
cos 1sin 13
αα=-=，则sin tan cos ααα=
5
12
=-，故选D ． 4、【答案】C
【解析】试题分析：由f （2﹣x ）=f （x ）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f （x ）=lnx 得到函数的图象，从而得到答案．
试题解析：解：∵f（2﹣x ）=f （x ）∴函数的对称轴为x=1
∵x≥1时，f （x ）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大 故选C ．
考点：对数值大小的比较． 5.【答案】C
【解析】法一：令f(x)＝0得，
或
∴x ＝3或x ＝e 2.
法二：画出函数f(x)的图像可得其图象与x 轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点． 6、【答案】C
【解析】试题分析：函数y=a x+1
﹣3（a ＞0，a≠1）过定点A （﹣1，﹣2），可得m+2n=2.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
试题解析：解：函数y=a x+1
﹣3（a ＞0，a≠1）过定点A （﹣1，﹣2），
∵点A 在直线mx+ny=﹣2（m ＞0，n ＞0）上，∴﹣m ﹣2n=﹣2，即m+2n=2. 则+==
=
．
故选：C ． 7. 【答案】B
【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +
⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =1
2
，∴101119
9922
a a d =+=
+=，故选B. 8、【答案】C
【解析】圆8)2()1(2
2
=+++y x 中圆心()1,2--，半径22r =121
22
d --+=
=2的点共有3个
考点：1.直线和圆相交的位置关系；2.点到直线的距离 9、【答案】B 【解析】222523
,232
c b e a b c a a ====+∴=,根据椭圆定义知△ABF 2的周长为4a=6,选B.
考点：椭圆定义及a,b,c 基本关系. 10、【答案】B 【解析】根据34
π
απ
<
<得到b
a
的取值范围是3)，所以离心率的取值范围是)2,2(选
B.
考点：双曲线离心率，a,b,c 的关系. 11、【答案】D
【解析】∵2'
()3(2)ln f x x xf x =++，∴''1
()23(2)f x x f x
=++
，令2x =，则''1(2)43(2)2
f f =++
， 即'
92()2f x =-
，∴'
9(2)4
f =-．故选：D ． 考点：导数的加法与减法法则． 12、【答案】B
【解析】试题分析：由已知中函数的解析式
，我们利用导数法，可以判
断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案． 试题解析：解：∵（x ＞0）
∴
（x ＞0）
则当x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数； 当x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数； 当x=1时，f （x ）取最大值，f （1）=；
故选B
考点：对数函数的图像与性质． 13. 9 14. 4
【解析】试题分析：由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．
试题解析：解：由三视图可知， 这是一个简单的组合体，
上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2 下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2 ∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m 3
， 故答案为：4 15、2
16.【答案】②③
17、【答案】解：(Ⅰ)
2131
()3cos cos 2cos 2122
f x x x x x x =--
=-- sin(2)16
x π
=-- ∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. （5分）
（Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π
=-
-=， 即sin(2)16
C π
-=
∵ 0C π<<，112666C π
π
π-
<-
<
，∴ 262C ππ-=，∴ 3
C π
=．
∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b
A B
=， 得2,b a = ∵ 3c =，由余弦定理，得22
92cos
3
a b ab π
=+-， 故3,23a b ==( 10分)
18
【证明】连接BD ，AE.因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥， 因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC
AC C =，
故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥.(4分) ⑵.连接1AC ，设1
1AC B D G =，连接GE ，
则G 为1AC 中点，而E 为1C C 的中点，故GE 为三角形1ACC 的中位线，
//AC GE ，GE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，故//AC 平面1B DE .(8分)
⑶.由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离， 故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，
而111
11121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，三棱锥1A B DE -的体积为23.(12分)
19（1）由已知直线AB 的方程为2+=kx y ，代入
y x 42=得0842=--kx x ，032162>+=∆k ，∴k x x 421=+， 821-=x x .(3分)
（2）由导数的几何意义知过点A 的切线斜率为21
x ， ∴切线方程为)(241121x x x x y -=-，化简得
42211x x x y -
=① 同理过点B 的切线方程为
422
22x x x y -
=② 由4242
2
2
2211x x x x x x -
=-，得221x x x +=，③ 将③代入①得2-=y ，∴点P 的纵坐标为2-.(7分) （3)设直线AB 的方程为2+=kx y ， 由（1）知k x x 421=+，821-=x x ，
∵点P 到直线AB 的距离为14222++=
k k d ，
线段AB 的长度为
2
2122122114)(1k x x x x k x x AB +⋅-+=+-=
2
2124k k +⋅+=.
28)2(41241
4221232
2222≥+=+⋅+⋅++⋅=∆k k k k k S PAB
，
当且仅当0=k 时取等号，∴△PAB 面积的最小值为28.(12分)
20(1)最大值7/6,最小值-1/6
（Ⅱ）f ′（x ）=（x+a ）（x ﹣a ），令f ′（x ）=0，x 1=﹣a ，x 2=a ， （1）当a=0时，f （x ）在上的最大值F max （x ）=max{F （a ），F （2a ）} ∵
∴当时，F （a ）﹣F （2a ）≥0，F max （x ）=F （a ）=lna 当
时，F （a ）﹣F （2a ）＜0，F min （x ）=F （2a ）=2ln2a(7分)
（3）问题等价于证明，
由（2）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取得．设，则，
易得，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），
都有成立．(12分)。