传热学数值计算大作业2014011673

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数值计算大作业
一、用数值方法求解尺度为100mm ×100mm 的二维矩形物体的稳态导热问题。

物体的导热系数λ为1.0w/m ·K 。

边界条件分别为： 1、上壁恒热流q=1000w/m2; 2、下壁温度t1=100℃； 3、右侧壁温度t2=0℃; 4、左侧壁与流体对流换热，流体温度tf=0℃，表面传热系数 h 分别为1w/m2·K 、10 w/m2·K 、100w/m2·K 和1000 w/m2·K;
要求：
1、写出问题的数学描述；
2、写出内部节点和边界节点的差分方程；
3、给出求解方法；
4、编写计算程序(自选程序语言)；
5、画出4个工况下的温度分布图及左、右、下三个边界的热流密度分布图；
6、就一个工况下（自选）对不同网格数下的计算结果进行讨论；
7、就一个工况下（自选）分别采用高斯迭代、高斯——赛德尔迭代及松弛法（亚松弛和超松弛）求解的收敛性（cpu 时间，迭代次数）进行讨论；
8、对4个不同表面传热系数的计算结果进行分析和讨论。

9、自选一种商业软件（fluent 、ansys 等）对问题进行分析，并与自己编程计算结果进行比较验证（一个工况）。

（自选项）
1、写出问题的数学描述设H=0.1m
微分方程 22220t t
x y
∂∂+=∂∂
x=0，0<y<H ：()f t
h t t x
λ
∂-=-∂ 定解条件 x=H ，0<y<H ：t=t 2 y=0，0<x<H ：t=t
1
t 1
t 2
h ；t f
q=1000 w/m 2
y=H ，0<x<H ：t
q y
λ
∂-=∂ 2、写出内部节点和边界节点的差分方程内部节点：
()
()
1,,1,,1,,1
2
2
220m n m n m n
m n m n m n t t t t t t x y -+-+-+-++
=∆∆
左边界： (),1,,1,1,,,022m n m n m n m n
m n m n f m n t t t t t t x x h y t t y y y x
λλλ-++---∆∆∆-+++∆=∆∆∆
右边界： t m,n =t 2
上边界： 1,,1,,,1,022m n m n m n m n
m n m n t t t t t t y y q x x x x y
λ
λλ-+----∆∆∆+++∆=∆∆∆ 下边界： t m,n =t 1
3、求解过程
利用matlab 编写程序进行求解，先在matlab 中列出各物理量，然后列出内部节点和边界节点的差分方程，用高斯-赛德尔迭代法计算之后用matlab 画图。

代码（附件于文本档案中）使用100×100的网格数。

4、编写计算程序(自选程序语言) matlab 代码附附件文本档案中
5、画出4个工况下的温度分布图及左、右、下三个边界的热流密度分布图；当h=1时，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图：
此时，下边界平均热流密度为266.8284 W/m²，右边界平均热流密度为-462.8706 W/m²，左边界平均热流密度为-10.2150 W/m²，下边界平均热流密度为1000 W/m ²。

物体平均温度为77.0639℃。

程序计算时间长度为41.8960s。

当h=10时，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图：
此时，下边界平均热流密度为263.9854 W/m²，右边界平均热流密度为-507.5412W/m²，左边界平均热流密度为-84.8137 W/m²，下边界平均热流密度为1000 W/m²。

物体平均温度为78.4058℃。

程序计算时间长度为21.3020s。

当h=100时，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图为：
此时，下边界平均热流密度为304.8856 W/m²，右边界平均热流密度为-598.6677W/m²，左边界平均热流密度为-371.0580 W/m²，下边界平均热流密度为1000 W/m²。

物体平均温度为77.0089℃。

程序计算时间长度为15.2290s。

当h=1000时，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图为：
此时，下边界平均热流密度为408.3915 W/m²，右边界平均热流密度为-623.0208W/m²，左边界平均热流密度为-605.3508 W/m²，下边界平均热流密度为1000 W/m²。

物体平均温度为73.1784℃。

程序计算时间长度为10.8260s。

6、就一个工况下（自选）对不同网格数下的计算结果进行讨论；
当h=1000时：
使用50×50网格数，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图为
此时，下边界平均热流密度为340.6835 W/m²，右边界平均热流密度为-578.3104W/m²，左边界平均热流密度为-636.4214 W/m²，下边界平均热流密
程序计算时间长度为2.7400s。

使用100×100网格数，温度分布图和热流密度分布图如下：
温度云图三维图为：
此时，下边界平均热流密度为408.3915 W/m²，右边界平均热流密度为-623.0208W/m²，左边界平均热流密度为-605.3508 W/m²，下边界平均热流密
程序计算时间长度为10.8260s
结论：采用多数的网格数可以增加温度分布图的精确度，也使温度和热流密度计算得更加精准，使云图更加的准确，但是同样会使程序运算的时间加长。

7、就一个工况下（自选）分别采用高斯迭代、高斯——赛德尔迭代及松弛法（亚松弛和超松弛）求解的收敛性（cpu时间，迭代次数）进行讨论；
在h=1000工况下：
采用高斯迭代法，cpu时间为20.4491，迭代次数为1762次。

采用高斯——赛德尔迭代法，cpu时间为10.8260s，迭代次数为974次。

采用松弛法，cpu时间为7.9332s，迭代次数为761次。

斯迭代、高斯——赛德尔迭代及松弛法（亚松弛和超松弛）三种迭代法对应的迭代次数是逐渐减少的，也就是说三种方法在迭代的速度上是逐个增加的；
三种迭代法计算得到的解与严格计算方程组后的精确解在结果所示精度下是相同的，说明三种迭代法的求解精度是不低的。

8、对4个不同表面传热系数的计算结果进行分析和讨论。

当h=1时，下边界平均热流密度为266.8284 W/m²，右边界平均热流密度为-462.8706 W/m²，左边界平均热流密度为-10.2150 W/m²，下边界平均热流密度为1000 W/m²。