高三数学一模考试12月试题 文含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校双流区棠湖2021届高三数学一模考试〔12月〕试题文〔含解
析〕
第I 卷(选择题一共60分〕
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕
2z i =+，其中i 是虚数单位，那么=z ()
B.1
C.3
D.5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数模的定义求解.
【详解】
=z = A.
【点睛】此题考察复数的模，考察根本分析求解才能，属根底题.
{}2,1,0,1,2M =--，{}220
N x x x =--<，那么M
N =〔〕
A.
{}2,1--
B.
{}1,0- C.
{}0,1
D.
{}1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
先求解集合N 中的不等式，再求交集即可。

【详解】{|12};{0,1}N
x x M N =-<<∴⋂=；
应选：C
【点睛】此题考察集合的根本运算，求两个集合的交集，属于根底题。

3.某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体积为〔〕
A.
23
B.
43
C.
83
【答案】C 【解析】 【分析】
由中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可． 【详解】该三视图复原成直观图后的几何体是如图的四棱锥
A BCDE -为三视图复原后的几何体，
CBA 和ACD 是两个全等的直角三角形；A C=C D=B C=2，几何体的体积为：1822233
⨯⨯⨯=， 应选：C
【点睛】此题考察由三视图求体积，解决此题的关键是复原该几何体的形状． 4.某程序框图如下列图，那么执行该程序后输出的a 的值是〔〕
A.1-
B.
1
2
C.1
D.2
【答案】A 【解析】 【分析】
由中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【详解】代入2a
=，12018i =<，那么11
122
a =-=，112i =+=；
再次代入得1a =-，3i =；继续代入得2a =，4i =；不难发现出现了循环，周期为3
那么当2018i =时，1a =-，2018120192018i
=+=>，跳出循环得到1a =-
应选
A
【点睛】此题主要考察的是程序框图，在循环构造中找出其循环规律，即可得出结果，较为根底
5.在△ABC 中，6
B π
=
，c=4
，cosC =
，那么b=〔〕
A.
B.3
C.
32
D.
43
【答案】B 【解析】 【分析】
由利用同角三角函数根本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值．
【详解】∵6
B π
=
，c=4
，cosC =
，
∴2sin 3
C
==
， ∴由正弦定理sin b c
sinB C
=
，可得：412
23
b =
，解得：b=3．
应选：B ．
【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了转化思想，属于根底题．
,a b 是非零向量，那么“存在实数λ，使得λa
b 〞是“a b a b
+=+〞的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合向量一共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.
【详解】存在实数λ，使得λa
b ，
说明向量,a b 一共线，当,a b 同向时，a b a b
+=+成立，
当,a b 反向时，a b a b
+=+不成立，所以，充分性不成立.
当
a b a b
+=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa
b 成立，必要性成立，
即“存在实数λ，使得λa b 〞是“a b a b
+=+〞的必要而不充分条件.
应选：B .
【点睛】此题主要考察向量一共线的充分条件与必要条件，向量的运算法那么等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .假设点F 是AC 的中
点，那么线段BC 的长为〔) A.
83
B.3
C.
163
D.6
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果.
【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ， 由抛物线y 2
=8x ，得焦点F 〔2，0〕， ∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，那么AF =8，
∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A
.
62
AF k ∴=
=-AF 所在直线方程为)2y x -.
联立方程：)228y x y x
⎧=-⎪⎨
=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==
，那么28
233
BF BH ==+=. 故816
833
BC CF BF AF BF =-=-=-=.
应选：C .
【点睛】此题主要考察抛物线的HY 方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
{}n a 的前n 项和为n S ，假设23109a a a ++=，那么9S =〔〕
A.3
B.9
C.18
D.27
【答案】D 【解析】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .
∵2
3109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d +=
∴53a =
∴199
9()
272
a a S ⨯+=
=
应选D. 9.(附加题〕()f
x 是R 上的奇函数，且()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()22f x x =，那么
72f ⎛⎫
⎪⎝⎭
=〔〕 A.
12
B.12
-
C.1
D.﹣1
【答案】A 【解析】
【分析】
先根据函数奇偶性确定函数周期性，再根据周期将自变量化到[-1,0]，代入解析式得结果. 【详解】因为
()1y f x =+为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，又()f x 是
R 上的奇函数，所以
()()11f x f x -+=--，
即
()()
1?1f x f x +=--，
()()()3114f x f x f x T +=-+=-=，，从而72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1 2f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
211=222⨯-=（），选A.
【点睛】此题考察运用函数奇偶性求周期性并利用周期性求解函数值，考察转化求解才能.
1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，假设
1,BE x A F y ==，那么四面体O AEF -的体积()
A.与,
x y 都有关 B.与,x y 都无关
C.与x 有关，与y 无关
D.与y 有关，与x 无关
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等体积法以及锥体体积公式判断选择. 【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，
所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的间隔的值， 因为BB 1∥平面ACC 1A 1，
所以，点E 到平面AOE 的间隔为定值， 又AO∥A 1C 1，
所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的间隔也为定值， 即△AOF 的面积是定值，
所以，四面体O AEF -的体积与,
x y 都无关，选B 。

【点睛】此题考察三棱锥的体积、点到平面的间隔以及点到直线的间隔，考察根本分析判断才能，属中档题.
{}n a 满足：1a a =，11
()2n n n
a a n a *+=
+∈N ，那么以下关于{}n a 的判断正确的选项是〔) A.0,2,a n ∀>∃≥
使得n a < B.0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<
C.0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠
D.0,,a
m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可.
【详解】对于选项A ，由于0a
>，故0n a >
恒成立，那么112n n n a a a +=
+≥=，
故不存在n
a 的项，选项A 说法错误；
对于选项B ，由于
12112n n n a a a +=+，结合选项A
可知n a ≥，故1211
12n n n
a a a +=+<，即1n n a a +<，选项B 说法错误； 对于选项C
，构造函数
(1()2x f x x x =
+≥，那么()211
'02f x x
=-≥，那么函数()f x
在区间)+∞
上单调递增，那么不存在m N *
∈满足m
n a
a <，选项C 说法错误；
对于选项D
，令1a
121112a a a a =
+===，此时数列{}n a 为常数列，故0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=，选项D 说法正确.
应选：D .
【点睛】此题主要考察数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足
2(01),2
()1(1)x
x
x x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，假设函数()()F x f x m =-有6
个零点，那么实数m 的取值范围是 A.2
11
(,)16e -
B.211(,0)(0,)16e -
C.210,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.2
1[0,
)e 【答案】C 【解析】 【分析】
将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数m 的取值范围. 【详解】函数()()F x f x m =-有6个零点，
等价于函数()y f x =与y m =有6个交点，
当01x ≤
<时，2211
()()2
416
x f x x x =-=--
，
当1x ≥时，1()x
x f x e -=，2'()e x x
f x -=
， 当[1,2]x ∈时，()f x 递增，当(2,)x ∈+∞时，()f x 递减，
()f x 的极大值为：2
1
(2)f e =
，
作出函数()f x 的图象如以下列图，
()y f x =与y m =的图象有6个交点，须21
0m e <<
，表示为区间形式即210,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 应选：C .
【点睛】此题主要考察导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，总分值是20分〕
,x y 满足10
00x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，那么2z x y =+的最小值是______．
【答案】12
- 【解析】
【详解】由约束条件1000x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
作出可行域如图，
令2z
x y =+,那么2y x z =-+，
由图可知,当直线
2y x z =-+过B 时，z 有最小值.
010x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.11,22B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴2z
x y =+的最小值是11
1222
2⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭.
故答案为：1
2
-
. 点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画HY 函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错；三、一般情况下，目的函数的最大或者最小会在可行域的端点或者边界上获得.
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为2y x =，那么离心率等于___.
【解析】 【分析】
根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得b
a
＝2，最后得离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：b
y x a
=±
， 所以，
b
a
＝2，
离心率为：c e a ==== 【点睛】此题考察双曲线渐近线方程以及离心率，考察根本分析求解才能，属根底题.
cos cos(
)2
=+y x x π
的定义域为0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π，那么值域为___________． 【答案】1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由诱导公式及正弦的二倍角公式化简
cos cos 2y x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
可得：1sin 22y x =-，结合该函数的定义
域即可求得[]sin 20,1x ∈
，问题得解.
【详解】由
cos cos 2y x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
得：1cos sin sin 22y x x x =-=-
当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴[]sin 20,1x ∈，∴1,02y ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，
∴该函数值域为1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
故答案为：1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【点睛】此题主要考察了诱导公式及正弦的二倍角公式，还考察了三角函数的性质，考察转化才能及计算才能，属于中档题.
A ，
B ，
C ，
D 在同一球面上，C AB =B =
C 2A =，假设球的外表积为
254
π，那么四面体
CD AB 体积的最大值为．
【答案】
23
【解析】
【详解】试题分析：依题意222,AC BC AB =+所以090ABC ∠=，设AC 的中点为E ，球心为O,球
的半径为R ，过
,,A B C
三点的截面圆半径为
1
1,2
r AE AC ==
=由球的外表积为
254
π知，
22544
R ππ=
，解得54R
=
.因ABC ∆的面积为1
12
AB BC ⋅=,所以要四面体ABCD 体积最大，那
么D 为射线OE 与球面交点，所以球心到过,,A B C 三点的截面的间隔为34
d ==，所以
35244DE =+=，所以四面体ABCD 体积最大为121233⨯⨯=
考点：1.球的几何性质；2.几何体的外表积、体积.
三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 17.ABC ∆中，
4
A π
=
，3
cos 5
B =
，8AC =. 〔1〕求ABC ∆的面积； 〔2〕求
AB 边上的中线CD 的长.
【答案】〔1〕28〔2〕2
CD
= 【解析】 【分析】
〔1〕由3cos 5B =
即可求得4sin 5B =，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得sin 10
C =
，
利用正弦定理即可求得
AB =
〔2〕在ACD ∆中，由余弦定理列方程即可得解。

【详解】解：〔1〕3
cos ,5B =且(0,)B π∈，
∴4sin 5B ==．
在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC AB
B C
=
，
即
84510
=
AB =．
所以ABC ∆
的面积为11sin 828222S AB AC A =
⋅⋅=⋅⋅= 〔2〕在ACD ∆
中，
2
AD =
，所以由余弦定理得
22265
8282
CD =+-⨯=
，
所以CD =
．
【点睛】此题主要考察了正弦定理及余弦定理，还考察了两角和的正弦公式，考察了同角三角函数根本关系，考察计算才能，属于中档题。

A 、
B 、
C 三个城同时进展了多天的空气质量监测，测得三个城空气质量为优或者良的数据一共有180
个，三城各自空气质量为优或者良的数据个数如下表所示：
在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城空气质量为优的数据的概率为0.2.
〔I 〕现按城用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进展后续分析，求在C 城中应抽取的数据的
〔II 〕
23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.
【答案】〔1〕9；〔2〕38
. 【解析】
【试题分析】(1)由
0.2180
x
=计算出x ,再由总数计算出y z +,按比例计算得应抽人数.(2)由〔1〕知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.
【试题解析】 〔1〕由题意得0.2180
x
=，即36x =. ∴
1802832363054y z +=----=，
∴在C 城中应抽取的数据个数为30
549180
⨯=. 〔2〕由〔1〕知
54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，
∴满足条件的数对
(),y z 可能的结果有()23,31，()24,30，()25,29，()26,28，()27,27，
()28,26，()29,25，()30,24一共8种.
其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数〞对应的结果有()28,26，()29,25，()30,24一
共3种.
∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为
38
. 19.如图，在四棱锥-P ABCD 中，PAD ∆和BCD ∆都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且
24==AD AB ，BC =
〔1〕求证：CD ⊥PA ；
〔2〕E ，F 分别是棱PA ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积． 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕15
2
【解析】
〔1〕由即可证得：
AB BD ⊥，且30ADB ︒
∠=，再利用
BCD
是等边三角形即可证得：
CD AD ⊥，再利用面面垂直的性质即可证得：CD ⊥平面PAD ，问题得证.
〔2〕利用平面BEF //平面PCD 可得：BF //CD ，结合CD AD ⊥
可得BF AD ⊥，即可求得：DF =3，从而
求得PEFD
S
=
四边形，利用〔1〕可得四棱锥
-C PEFD 的高CD =，再利用锥体体积公式计
算即可.
【详解】证明：〔1〕因为BCD ∆是等边三角形，所以BC BD CD ===
又
4=AD ，2AB =，
所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=．
又
BCD 是等边三角形，所以306090ADC ADB BDC ︒∠=∠+∠=+=，
所以CD AD ⊥
．
又平面PAD ⊥平面
ABCD ，平面PAD
平面
ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD
所以CD ⊥平面PAD ． 所以CD ⊥PA ．
〔2〕因为平面BEF //平面PCD ， 所以BF //CD ，EF //PD ，又CD AD ⊥
所以BF
AD ⊥．
又在直角三角形ABD 中，DF =3︒=， 所以
1==AE AF ．
所以1144sin 6011sin 6022=
⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=
PEFD
S
四边形 由〔1〕知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥-C PEFD 的体积115
32
PEFD V
S CD =⋅=四边形．
【点睛】此题主要考察了面面垂直的性质、线线垂直的断定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考察了转化思想及空间思维才能，属于中档题.
C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为
〔Ⅰ〕求椭圆C 的HY 方程及离心率； 〔Ⅱ〕过点
()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，假设点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由
点M 构成的曲线L 关于直线
1
3
y =
对称．
【答案】〔Ⅰ〕22132x y +=，离心率e =
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕由，得a =c ＝1，所以
c e a =
==
，由222a b c =+，所以b =方程及离心率；〔Ⅱ〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，(),m m M
x y ，分两种情况，借助韦达定理和向量的运
算，求出点M 构成的曲线L 的方程为2x 2
+3y 2
﹣2y ＝0，即可证明。

【详解】〔Ⅰ〕由，得1a c ==，所以
3c e a =
==，
又222a b c =+，所以b =
所以椭圆C 的HY 方程为22132x y +=，离心率3
e =
. 〔Ⅱ〕设
()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，
①直线l 与x 轴垂直时，点,A B 的坐标分别为(
0,，(．
因为()0,m
m
MA x y =
-，()0m
m
MB x y =-，()0,0m m
MO x y
=--，
所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=．
所以0,0m
m x y ==，即点M 与原点重合;
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，
由22
1321x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得
()2
232630k
x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． 所以122
632k
x x k -+=
+. 那么122
4
032
y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =
--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--，
所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=
++-++-=．
所以123m x x x +=，123m y y y +=．2
232m k
x k -=+，24
3032
m y k =
>+， 消去k 得()2
223200m
m m m x y y y +-=>．
综上，点M 构成的曲线L 的方程为2
22320x
y y +-=
对于曲线L 的任意一点(),M
x y ，它关于直线13y =
的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭
． 把2,
3M x y ⎛
⎫
'- ⎪⎝⎭
的坐标代入曲线L 的方程的左端：2
222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫
+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
所以点M '也在曲线L 上． 所以由点M 构成的曲线L 关于直线
1
3
y =
对称. 【点睛】此题考察椭圆的HY 方程，直线与椭圆的位置关系，考察韦达定理，点的轨迹方程，考察计算才能，属于中档题．
()ln 1f x x x ax a =++-.
〔1〕求证：对任意实数a ，都有min [()]1f
x ≤；
〔2〕假设2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？假设
存在，恳求出k 的最大值；假设不存在，请说明理由.〔 2.71828e =〕
【答案】〔1〕见证明；〔2〕见解析 【解析】 【分析】
〔1〕利用导数求得
min [()]f x (1)
1a a e -+=--，令
min
()[()]t a f x =，再利用导数即可求得
max [()](1)1t a t =-=，问题得证。

〔2〕整理
()(1) 2 1f x k x k >+--得：ln (2)x x x k x +>-，令：
()ln (1)2t x x x k x k =+-+，由()ln 20t x x k '=+-=得2k x e -=，对2k e -是否大于2分类，
当2
2k e -≤时，即2ln 2k ≤+时，利用导数即可证得()(2)22ln 20t x t >=+>，当22
k e ->时，利用导数即可求得22min ()()2k k t x t e k e --==-，要使不等式ln (2)x x x k x +>-恒成立转化
成22min
()()20k k t x t e k e --==->成立，令2()2k m k k e -=-，利用导数即可求得(4)0m >，
(5)0m <，即可求得max 4k =，问题得解。

【详解】解：〔1〕证明：由易得()(1)ln 1f x a x x x =-++，所以()1ln f x a x '=++
令
()1ln 0f x a x '=++=得：(1)a x e -+=
显然，(1)
(0,)a x e
-+∈时，()f x '<0，函数f 〔x 〕单调递减；
(1)(,)a x e -+∈+∞时，()f x '>0，函数f 〔x 〕单调递增
所以min [()]f x (1)(1)()1a a f e a e -+-+==--
令min ()
[()]t a f x =，那么由(1)()10a t a e -+'=-+=得1a =-
(,1)a ∈-∞-时，()t a '>0，函数t 〔a 〕单调递增； (1,)a ∈-+∞时，()t a '<0，函数t 〔a 〕单调递减
所以max
[()](1)1111t a t =-=+-=，即结论成立.
〔2〕由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-
令()
ln (1)2t x x x k x k =+-+，所以()ln 2t x x k '=+- 由()
ln 2t x x k '=+-=0得2k x e -=
①假设22k e -≤，即2ln 2k ≤+时，在(2,)x ∈+∞上，有()0t x '
>，故函数()t x 单调递增
所以()
(2)22ln 20t x t >=+> ②假设22k e ->，即2ln 2k >+时，
在2
(2,)k x e -∈上，有()0t x '<，故函数()t x 在2(2,)k x e -∈上单调递减
在2
(,)k x e
-∈+∞上，有()0t x '>.故函数()t x 在2(,)k x e -∈+∞上单调递增
所以，在(2,)x ∈+∞上，22min ()()2k k t x t e k e --==-
故欲使ln (2)x x x k x +>-，只需22min ()()20k k t x t e k e --==->即可
令22()2,()2k k m k k e m k e --'=-∴=- 由2()20k m k e -'=-=得2ln2k =+
所以，2ln 2k >+时，()0m k '<，即()m k 单调递减
又422(4)2480m e e -=⨯-=->
故max
4k =
【点睛】此题主要考察了转化思想及利用导数求函数的最值，还考察了分类思想及化归才能，考察计算才能及观察才能，属于难题。

〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分.
l
：1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数),曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．
(1)设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB |；
(2)假设把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的
12倍,纵坐标压缩为原来的32
倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的间隔的最小值．
【答案】(1)|
|1AB =(2)6(21)4
-
【解析】 【分析】
(1)将直线与曲线的参数方程化为一般方程，联立方程组求出交点坐标，计算出
AB 的长
(2)根据题意求出曲线变化后的点坐标，代入点到直线的间隔公式，运用三角函数知识求出最小值 【详解】〔1〕
的普通方程为
()31y x =-，1C 的普通方程为221x y +=
联立方程组
)22
311
y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得与1C 的交点为()
1,0A ,13,22B ⎛- ⎝⎭
,那么1AB =. 〔2〕2C 的参数方程为1232x cos y sin θθ
⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
〔θ为参数).故点P 的坐标是13cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,从而点P 到直线33cos sin 322
32sin 244θθπθ--⎤⎛
⎫=
-+ ⎪⎥⎝
⎭⎦, 由此当sin 14πθ
⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭时,d 获得最小值,)
621.
【点睛】此题考察了参数方程与一般方程的转化，并运用参数方程求解弦长问题以及最值问题，需要掌握解题方法，较为根底
()21(0)f x x x m m =+-->.
(1)当2m =时，求不等式
()1f x ≤的解集；
(2)令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为
A ，
B ，
C ，假设三角形ABC 的面积为
12，求m 得值.
【答案】〔1〕
{153
x x ⎫
-≤≤⎬⎭
〔2〕3m =
【解析】 【分析】
(1)当2m =时，不等式
()1f x ≤可化为2121x x +--≤，分类讨论，即可求解不等式的解集；
(2)由题意，得到函数()g x 的解析式，得到()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别，根据面积列出方程，即可求解.
【详解】(1)当2m =时，不等式
()1f x ≤可化为2121x x +--≤，
①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-；
②当12x -≤
≤时，不等式化为31x ≤，解得：113
x -≤≤
； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ，
综上，不等式的解集为
{153x x ⎫
-≤≤⎬⎭
.
(2)由题设得41()31x m
x g x x m
x m x m x m ---<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
， 所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(
,0)3
m
C ， 于是三角形
ABC 的面积为2
(3)123
S m m =+=，
得3m =，或者6m =-〔舍去〕，故3m =.
【点睛】此题主要考察了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，纯熟求得函数的图象与两坐标轴的交点是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.。