高三第三次质量检测数学试题

高三第三次质量检测数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1．本试卷共4页，包含选择题(第1题～第10题，共10题)、填空题(第11题～第16题共6题)、解答题(第17题～第21题，共5题)三部分。

本次考试时刻为120分钟,考试终止后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案。

．
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清晰。

一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分．共50分,在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的.
1．函数y=sinx(x ∈R)图象的对称轴方程中有一个是
A ．x=0
B ．x=2
π C ．x=π D ．x=2π 2．圆(x-1)2 +(y+2)2=9截y 轴所得的弦长为
A B ． C ． D ．
3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为
A ．(-1，0)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(2，3)
4．在(x －1)(x+1)6的展开式中x 3的系数是
A ．-5
B ．5
C ．-35 D.35
5．在等差数列{}n a 中，n a ≠0，当n≥2时，1n a +－2n a +1n a - =0,若21n S -=46，则n 的
值为
A ．23
B ．24
C ．11 D.12
6．已知扇形的面积为25，则该扇形周长的最小值为
A ．20
B ．
C ．10
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知a-b=c·cosB —c·cosA ，则 △ABC 的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为
A
．119 B ．338 C ．3295
D ．57190 9．已知球O 是棱长为12的正四面体S-ABC 的外接球，D ，E,F 分别是棱SA ，SB ，SC 的 中点，则平面DEF 截球O 所得截面的面积是
A ．36π
B ．40π
C ．48π
D ．54π
10．椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点分别为F 1,F 2 ,弦AB 过F 1 ，若△ABF 2的内切圆周长为 π，A,B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则| y 2－y 1|的值为
A ．53
B ．103
C ．203
D ．5 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分,不需要写出解答过程,请把答案直截了当填写在答题卡相应位置上．
11．为了解高三学生的躯体状况。

抽取了部分男生的体重，将
所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知
图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第4组
与第5组的频率分别为0.1875和0.0625，第2组的频数为
12，则抽取的男生人数是 ．
12．已知向量a ，b 满足|a |=3，|b | =4，
a 与
b 的夹角是23π， 则|a +2b | = ． 13．在如图所示的九宫格中，用红、黄、蓝三种颜色涂其中三格，每种颜色 只涂一格，且红色不与另外两种颜色相邻(有公共边的方格称为相邻)，则不
同的涂法种数为 ．(用数字作答)
14．如图，已知双曲线2
214
x y -=的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2， 将坐标系的左半平面沿y 轴折起，使双曲线的左焦点F 1折至
F 点，若F 在平面A 2B 1B 2内的射影恰好是双曲线的右顶点，
则直线B 2F 与平面A 2B 1B 2所成角的正切值为 ．
15．已知方程lg(x －1)+lg(5－x)=lg(a －x)有两个不同的实数解，则实数a
的取值范畴是： ．
16．已知函数f(x)=2221x ax a -+-+，g(x)=ax 2
－22192b b +-x +l(a ∈Z ，b ∈N)．若存在0x 使，f(0x )是f(x)的最大值，g(0x )是g(x)的最小值，则满足条件的所有实数对(a ，b) 为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分，第一小问、第二小问各6分)
已知函数f(x)=cos 4x+23sinxcos x －sin 4x ． (I)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若x ∈[0,2
π]，求f(x)的最大值、最小值． 18．(本小题满分14分，第一小问8分，第二小问6分)
如图，已知直线l ：y=kx －1与抛物线C ：x 2=－2py(p ＞0)交于
A,B 两点，0为坐标原点3
17(,)24
OA OB +=--. (I)求直线l 和抛物线C 的方程；
(Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动，当△ABP 面积最大时，求点P 的坐标．
19．(本小题满分14分，第一小问、第二小问各4分，第三小问6分)
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC=
2π，AB ∥CD ，
PC ⊥面ABCD ，PC=AD=DC=12
AB ，E 为线段AB 的中点． (I)求证：平面PAC ⊥平面PDE ；
(Ⅱ)求异面直线PE 与AC 所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角A 一PE —D 的大小．
20．(本小题满分14分，第一小问2分，第二小问、第三小问各6分)
已知函数f(x)=52168x x
+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (I)写出2a ，3a 的值;
(Ⅱ)试比较n a 与54
的大小，并说明理由； (Ⅲ)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1
n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)． 21．(本小题满分16分，第一小问、第二小问各4分，第三小问8分)
已知函数f(x)=x 3－3ax(a ∈R)．
(I)当a=l 时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值 范畴；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．
高三第三次质量检测数学试题
数学参考答案及评分标准
说明：
1、 本解答仅给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对比评分标准制定相应的评分细则。

2、 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中显现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半，假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不给分。

3、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4、 给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查差不多知识和差不多运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．A 7．D 8．C 9．C 10．A
二、填空题：本题考查差不多知识和差不多运算。

每小题5分，满分30分。

11．48； 12．7； 13．212； 14； 15．29(5,)4； 16．（2，3） 三、解答题
17．(1)()()()2222cos sin cos sin cos f x x x x x x x =-++
cos22x x =……………………………………………………………2分
2sin 2,6x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭………………………………………………………………4分 因此2.2T ππ==………………………………………………………………………6分 (2)因为0,2x π≤≤72,666
x πππ≤+≤…………………………………………………8分 因此1sin 21,26x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭…………………………………………………………10分 因此()f x 的最大值为2,最小值为-1. ……………………………………………12分
18．由21,
2y kx x py =-⎧⎨=-⎩得,2220,x pkx p +-=
设()
()1,122,,,A x y B x y 则 ()21212122,222,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--…………………………………2分 因为()()
21212,2,22OA OB x x y y pk pk +=++=---
=317,,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
……………………………………………………………4分 因此232,21722.4pk pk ⎧-=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩
解得 21,3.2p k =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………6分 因此直线l 的方程为31,2
y x =-抛物线C 的方程为2.x y =-…………………………8分 （2）方法一：由231,2,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得，11(2,4),(,),24A B ---设21(,),2,2P t t t --<<………10分 因为AB 为定值，当P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，
d ==…………………………………………………………12分 因为12,2t -<<因此当34
t =-时，d 最大， 现在39(,).416P --……………………………………………………………………………14分 方法二：设00(,),P x y 依题意，抛物线过P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大，…10分
'2y x =-，因此00332,,24
x x -==-…………………………………………………………12分 2009,16y x =-=-因此39(,).416
P --………………………………………………………14分 19．(1)2,AB CD =且E 是AB 的中点，而,AB CD
因此,AE CD 且AE CD =，因此四边形AECD 是
平行四边形，又AD CD =，因此四边形AECD 是菱形，
因此DE AC ⊥，………………………… 2分
因为PC ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD
因此DE PC ⊥，因此DE ⊥平面PAC ，
又DE ⊂平面PDE ，
故平面PAC ⊥平面PDE .………………… 4分
(2)取BC 的中点F ，连结EF ，则EF AC ，
因此PEF ∠（或其补角）是异面直线PE 与
AC 所成的角.……………………………….6分
连结PF ，因为EC EB =，因此EF BC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，因此,EF PC ⊥故EF ⊥D E C F B O A G P
平面PBC ，PF
PBC 因此EF PF ⊥设1PC =，则PE EF ==，在Rt △PFE 中，1cos ,22PEF ∠==即异面直线PE 与AC 所成的角为60.…………………………8分 (3)设,AC BD O =PO ，过A 作AG PO ⊥交PO 的延长线于G ，
由（1）知 平面PAC ⊥平面PDE ，
连结,GE
因为,AE PE ⊥因此
GE PE ⊥，……………………………………………… 11分
因此AEG ∠－D 的平面角设1,PC =因为Rt △AOG ∽Rt △POC
，因此1
PC AO AG PO ⋅===, 在Rt △AEG
AG AEG AE ==AEG ∠=. 因此二面角A －PE －D 的大小为……………………………………………16分 20．(1)152168n n n a a a ++=-，因为11,a =因此2373,.84a a ==……………………………… 2分
（2）因为10,0,n n a a +>>因此1680,0 2.n n a a -><<…………………………………3分
15548()52553444168432(2)22n n n n n n n
a a a a a a a +--+-=-==⋅---,……………………………………………5分 因为20,n a ->因此154n a +-
与54
n a -同号，………………………………………………6分 因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -< …，50,4n a -<即5.4n a <……………………………………………………………………8分 （3）当2n ≥时，1111
531531()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=⋅⋅-=⋅⋅-- 113125224
n n b b --<⋅⋅=-，……………………………………………………………………10分 因此2131212222n n n n n b b b b ----<⋅<⋅<<=，……………………………………………12分 因此3121(12)11114(21)422124
n n n n n S b b b --⎛⎫=+++<++⋅⋅⋅+==- ⎪-⎝⎭…………14分 21．（1）∵当a=1时()233f x x '=-，令()f x '=0，得x =0或x =1………………………2分 当()0,1x ∈时()0f x '<，当()
(),01,x ∈-∞+∞时()0f x '> ∴()f x 在()0,1上单调递减，在()[),01,-∞+∞上单调递增，
∴()f x 的极小值为()1f =-2.………………………………………………………………4分
（2）∵()233f x x a '=-3a ≥-………………………………………………………………6分
∴要使直线x y m ++=0对任意的m R ∈总不是曲线y =()f x 的切线，当且仅当-1<-3a, ∴13
a <.…………………………………………………………………………………………8分 (3)因()()33g x f x x ax ==-在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，…………9分 ① 当0a ≤时，()f x '0≥，()f x 在[]0,1上单调递增且()00f =,
∴()()()g x f x f x ==，∴()()113F a f a ==-.…………………………………………10分 ② 当0a >时 (
)(
2333f x x a x x '=-= i .
当1，即1a ≥时()()()g x f x f x ==-，()f x -在[]0,1上单调递增，现在()()131F a f a =-=-……………………………………………………………………12分 ii.
当01<，即01a <<时，()()g x f x =
在⎡⎣
上单调递减，在⎤⎦上单调递增.
10 当()1130f a =-≤即113
a ≤<时，()()()g x f x f x ==-
在⎡⎣
上单调递增，在⎤⎦
上单调递减，故(
)
2F a f =-=……………………………………14分 20当()1130f a =->即103a <<
时，
（ⅰ）当()113f f a -≤=-即1
04
a <≤时， ()()113F a f a ==- （ⅱ）
当()113f f a ->=-即1
143a <<时，(
)
2F a f =-=综上(
)113,(),4121),431,[1,).a a F a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-+∞⎪⎪⎩
………………………………………………。