广东省汕头市东厦中学2021-2022学年高二上学期第二次段考文科数学试题 Word版含答案

高二级其次次联考文科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|lg(1)0}A x x =-≤，{|13}B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．[1,3]
-
B ．[1,2]-
C ．(1,3]
D ．(1,2]
2.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A.3
y x =
B.cos y x =
C.1y x
=
D.ln ||y x =
3.经过圆2
2
20x y y ++=的圆心C ，且与直线2340x y +-=平行的直线方程为（ ） A.2320x y ++= B.2330x y ++=
C.2330x y +-=
D.3220x y --=
4.过(1,1)A -，(1,3)B ，圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）
A.2
2
(2)10x y +-= B.22
(2)10x y ++= C.2
2
(2)10x y ++=
D.2
2
(2)10x y -+=
5.设变量x ，y 满足约束条件22,1,,x y x y y x +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最大值为（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
6.阅读下面的程序框图，则输出的S 等于（ ）
A.14
B.20
C.30
D.55
7.已知0a >，且1a ≠，函数log a y x =，x
y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B. C. D.
8.将函数sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移12
x π
=
个单位后所得的图象的一个对称轴是（ ）
A.6
x π=
B.4
x π=
C.3
x π=
D.2
x π=
9.已知两直线m 、n ，两平面α、β，且,m n αβ⊥⊂.则下面四个命题中正确的有（ ）个. ①若//αβ，则有m n ⊥；
②若m n ⊥，则有//αβ； ③若//m n ，则有αβ⊥；
④若αβ⊥，则有//m n . A.0
B.1
C.2
D.3
10.若点(2,4)A 与点B 关于直线:30l x y -+=对称，则点B 的坐标为（ ） A.(5,1)
B.(1,5)
C.(7,5)--
D.(5,7)--
11.已知一个球的表面上有A 、B 、C 三点，且23AB AC BC ===，若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为（ ） A.20π
B.15π
C.10π
D.2π
12.当点P 在圆2
2
1x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A.2
2
(3)4x y ++= B.22
(23)41x y -+= C.2
2
(3)1x y -+=
D.2
2
(23)41x y ++=
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为 .
14.已知直线1l ：(3)(5)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=垂直，则k 的值是 . 15.如图是一个几何体的三视图，依据图中的数据，计算该几何体的表面积为 .
16.直线:()(2)20l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；
（2）若33a =，5c =，求b .
18.已知数列{}n a 的前n 项和，232
n n n
S -=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T .
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC BC ===，2AB DC =，//AB DC ，
90BCD ∠=︒.
（1）求证：PC BC ⊥； （2）求多面体A PBC -的体积.
20.2021年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2021年以来最严峻的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市2021年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 2.5PM 的数据如表：
（1）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（提示数据：7
1
1372i i
i x y
==∑）
（2）利用（1）所求的回归方程，猜测该市车流量为12万辆时 2.5PM 的浓度. 参考公式：回归直线的方程是^
^
^
y b x a =+， 其中^
11
2
2
211()()
()n
n i i i i i i n
n
i i i i x y nx y x x y y b x x x nx
====-⋅--=
=
--∑∑
∑
∑，^
^^
a y
b x =-.
21.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，且1
12
AB AD CD ==
=.现以AD 为一边向形作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.
（1）求证：//AM 平面BEC ； （2）求证：BC ⊥平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.
22.已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：2
2
(2)(3)1x y -+-=交于M ，N 两点.
（1）求k 的取值范围；
（2）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN .
高二级其次次联考文科数学试卷
一、选择题 1-5：DDBDC 6-10：CAACB
11、12：AB
二、填空题 13.82n a n =-
14.1或4
15.33π
16.
17.解：（1）由2sin a b A =，依据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，且sin 0A ≠所以1
sin 2
B =，由AB
C ∆为锐角三角形得6
B π
=
.
（2）依据余弦定理，得2
2
2
2cos 2725457b a c ac B =+-=+-=. 所以，7b =
18.解：（1）当2n ≥时，
22133(1)(1)
3222
n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，
当1n =时，由111a S ==，符合上式， 所以{}n a 的通项公式为32n a n =-.
（2）由32n a n =-，可得111(32)(31)n n n b a a n n +==-+111
()33231n n =--+， 12n n T b b b =++
+=111111[(1)()()]34473231n n -+-+
+-=
-+31
n
n +. 19.解：（1）PD ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ， ∴PD BC ⊥，
90BCD ∠=︒，
∴BC CD ⊥，
PD CD D +=，
∴BC ⊥面PCD ， 又PC ⊂面PCD ， ∴PC BC ⊥. （2）连接AC ，
PD ⊥平面ABCD ，
∴13A PBC ABC V S PD -∆=
⋅⋅=1111842232323
AB BC PD ⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 20.试题解析：（1）由数据可得：1
(1234567)47
x =++++++=，
1
(28303541495662)437
y =++++++=，
7
7
21
1
1372,140i i
i i i x y
x ====∑∑，
^
12
21137212046140112n
i i
i n i i x y nx y b x nx
==-⋅-===--∑∑，
^
^^
434619a y b x =-=-⨯=，
（注：用另一个公式求运算量小些）， 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ619y
x =+. （2）当车流量为12万辆时，即12x =时，ˆ6121991y
=⨯+=.故车流量为12万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米.
21.解：（1）证明：取EC 中点N ，连结MN ，BN . 在EDC ∆中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，1
2
AB CD =
， 所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABNM 为平行四边形. 所以//BN AM ，
又由于BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ， 所以//AM 平面BEC .
（2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥，
又由于平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEFI 平面ABCD AD =， 所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ED BC ⊥.
在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =，可得2BC =
在BCD ∆中，2BD BC ==2CD =，222BD BC CD +=.
所以BC BD ⊥. 所以BC ⊥平面BDE .
（3）由（2）知，BC BE ⊥，BC BD ⊥，
所以1
2
BCD S BD BC ∆=⋅=112=，又由于ED ⊥平面ABCD ，
又F BCD
D BC
E V V --==11
33
BCD S DE ∆⋅=.
所以，D 到面BEC 22.解：（1）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+. 由于直线l 与圆C
1<.
k <<.
所以k 的取值范围为44(
)33
-+. （5）设11(,)M x y ，22(,)N x y .
将1y kx =+代入圆C 的方程2
2
(2)(3)1x y -+-=，整理得2
2
(1)4(1)70k x k x +-++=. 所以1224(1)1k x x k ++=
+，122
71x x k
=+. 1212OM ON x x y y ⋅=+，
21212(1)()1k x x k x x =++++，
2
4(1)
81k k k
+=
++. 由题设可得24(1)
8121k k k ++=+，解得1k =，所以l 方程为1y x =+.
故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以||2MN =.。