弘德教育-洛伦兹力计算的基本问题2

洛伦兹力中的基本问题
二具体问题分类
4. 圆形有界磁场磁聚焦和磁扩散
（1）带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相
等，则粒子的出射速度方
向与圆形磁场上入射点
的切线方向平行，如甲图
所示。

（2）平行射入圆形有界
磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【例4】（2009·浙江卷）
如图所示，在x o y平面内
有与y轴平行的匀强电场，
在半径为R的圆内还有
与x o y平面垂直的匀强磁
场，在圆的左边放置一带
电微粒发射装置，它沿x
轴正向发射出一束具有
相同质量m、电荷量q和速度v的正电微粒。

微粒分布在0<y< 2R 的区间内。

已知重力加速度大小为g。

（1）从A点射出的粒子平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度E和磁感应强度B的大小和方向；
（2）请指出这束带电粒子与x轴相交的区域，并说明理由。

解：（1）带电微粒平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力的大小相等，方向相反。

设电场强度大小为E，由mg=qE
可得电场强度大小
mg
E
q
=方向沿y轴正方向。

带电微粒进人磁场后受到
重力、电场力和洛仑兹力的作
用。

由于电场力和重力相互抵
消，它将做匀速圆周运动。

如
图(a)所示，考虑到带电微粒是
从C点水平进入磁场，过O点
后沿y轴负方向离开磁场，可
得圆周运动半径r = R
设磁感应强度大小为B，由
2
v
qvB m
R
=，
可得磁感应强度大小
mv
B
qR
=方向垂直x O y平面向外。

（2）这束带电微粒都通过坐标原点。

理由说明如下：
方法一：从任一点P 水平进人磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q 点，如图(b)所示。

这样，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示的虚线半圆，此半圆的圆心是坐标原点。

所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。

方法二：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动。

如图(b)所示，设P 点与0´点的连线与y 轴的夹角为θ，其圆周运动的圆心Q 的坐标为(-R sin θ，R cos θ)，圆周运动轨迹方程为222(sin )(cos )x R y R R θθ++-= 而磁场边界是圆心坐标为(0，R )的圆周， 其方程为222()x y R R +-=
解上述两式，可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为
00x y =⎧⎨
=⎩或sin (1cos )
x R y R θ
θ=-⎧⎨=+⎩ 坐标为(-R sin θ，R (1+cos θ))的点就是P 点，须舍去。

由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。

（3）这束带电微粒与x 轴相交的区域是x >0。

理由说明如下：带电微粒初速度大小变为2v ，则从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径r ´为
r ´=
(2)2m v
R qB
= 带电微粒在磁场中经过一段半径为r ´的圆弧运动后，将在y 轴的右方(x > 0区域)离开磁场并做匀速直线运动，如图(c)所示。

靠近M 点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x 轴正方向的无穷远处：靠近N 点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。

所以，这束带电微粒与x 轴相交的区域范围是x > 0。

【练习4】
1如图所示，质量m ＝8.0×10－25 kg 、电荷量q ＝1.6×10－15 C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x
方向夹
角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v 0＝2.0×107 m/s 。

现在某一区域内加一垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.1 T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上，并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

求：(π＝3.14)(1)粒子从y 轴穿过的范围；(2)荧光屏上光斑的长度；(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN 上的粒子运动的时间差；(4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。

解析：设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得
qv 0B ＝m v 02R ，即R ＝mv 0
qB ＝0.1 m
当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿-x 方向，所加磁场为圆形，半径为R ＝0.1 m 。

(1)如图所示，初速度沿y 轴正方向的粒子直接过y 轴。

速度方向与x 轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心角∠OO 2B 为150°， 则∠OO 2A ＝120°
粒子从y 轴穿过的范围为0～3R ，即0～0.17 m 。

(2)初速度沿y 轴正方向的粒子，y C ＝R 由(1)知∠O 2OA ＝θ＝30°
y B ＝R ＋R cos θ
则荧光屏上光斑的长度l ＝y B －y C ＝0.09 m 。

(3)粒子运动的周期T ＝2πR v 0
＝2πm
qB ＝π×10－8 s
从B 点和C 点射出的粒子在磁场中运动的时间差t 1＝512T －14T ＝1
6T 出磁场后，打到荧光屏上的时间差t 2＝R
2v 0
从最高点和最低点打到荧光屏MN 上的粒子运动的时间差t ＝t 1＋t 2＝7.7×10－9 s 。

(4)如图阴影部分所示。

2如图x o y 平面内有向里的匀强磁场，磁感应强度B =0.1T ，在y 轴上有一粒子源，坐标为（0，0.2m ），粒子源可以在x o y 平面内向各个方向均匀射出质量m =6.4×10-27kg 、带电量q =+3.2×10-19C 、速度v =1.0×106m/s 的带电粒子，一足够长薄感光板从图中较远处沿x 轴
负方向向左缓慢移动，其下表面和上表面先后被粒子击中并吸收粒
子，不考虑粒子间的相互作用，（取π=3），求：（1）带电粒子在磁场中运动的半径及下表面被粒子击中时感光板左端点位置；（2）在整个过程中击中感光板的粒子运动的最长时间；
（3）当薄板左端运动到（-0.2m，0）点的瞬间，击中上、下板面的粒子数之比．
解：（1）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R
由牛顿第二定律得：Bqυ=m
2
v
R
解得：R=
mv
Bq
=1m
由几何关系知，离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）离子在磁场中运动的周期为T，则T=22
R m
v Bq
ππ
==π×10-6s
t时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ 则θ=2
3
t
T
ππ
=
这些离子构成的曲线如图1所示，并令某一离子在此时刻的坐标为
（x，y），则
sin
(1cos) x r
y r
θ
θ
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入数据并化简得：y
（0≤ x
（3）将第（2）问中图2中的OA段从沿y轴方向顺时针方向旋转，在x轴上找一点C，以R为半径作圆弧，相交于B，则两圆弧及y 轴所围成的面积即为在t=0向y轴右侧各个方向不断放射各种速度
的离子在t=5
3
π
×10-7时已进入磁场的离子所在区域．
由几何关系可求得此面积为：
S=
5
12
πR2+
1
6
πR2-
1
2
R
×
2
=
7
12
πR2
-
4
R2．
则：S=(
7
12
π
2
5 磁场的临界与极值问题
（1）所有问题都有可能伴随临界和极值问题；
（2）产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦
对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

【例5】如图所示，在xOy坐标系的第一
象限内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向
里，磁场区域上边界刚好与直线y＝2a重
合，磁感应强度为B.一个带负电的粒子在
坐标为(x,0)的A
点以某一速度进入磁场区
域，进入磁场时的速度方向与x轴负方向的夹角为30°，粒子的质量为m，电荷量为q.不计粒子的重力．
(1)若粒子离开磁场时的位置在C点，其坐标为(x,2a)，求粒子运动的速度大小v与x的对应条件．
(2)粒子进入磁场的速度满足什么条件时可使离子在磁场区域运动的时间最长？并求出最长时间是多少？
解析(1)依题意作过A、C两点的圆，此
圆对应的圆心设为O1，如图虚线所示．设
该圆的半径为r，则由几何关系容易得到，
∠AO1C＝120°，作垂直AC的半径O1N与
AC交于M，则有MN＝MO1＝r 2.
其中r＝a
sin 60°＝23 3a
故要使带电粒子能到达C点，x应满足条件x≥
3 3a
由牛顿第二定律有Bqv＝mv2
r，解得r＝
mv
Bq
解得：v＝23Bqa 3m
(2)当带电粒子从x轴射出时运动的时间最长，如图所示为粒子恰好能从x轴射出磁场区域时的运动轨迹，圆心设为O2，PO2Q与x轴垂直，设该圆的半径为r′，由几何关系有：r′＋r′cos 30°＝2a
解得r′＝4(2－3)a
又因为Bqv′＝
mv′2
r′得v′＝
Bqr′
m＝
4Bq 2－3 a
m
所以v≤v′＝
4Bq 2－3 a
m
粒子在磁场区域运动的最长时间t＝
5
3π
2π·
2πm
Bq＝
5πm
3Bq
【练习5】
1如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁
感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向
里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速
度v正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.(1)求粒子的比荷
q
m及粒子在磁场中的运动时间t；(2)如果要使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
解析(1)粒子的轨迹半径：r＝R cot 30°①
粒子做圆周运动：qvB＝m
v2
r②
由①②两式得粒子的比荷
q
m
＝
3
v
3BR③
运动周期T ＝2πr
v
④ 在磁场中的运动时间t ＝1
6T
⑤
由①④⑤式得t ＝3πR
3v
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度 偏转的角度最大。

由图可知sin θ＝R
r
⑥
平移距离d ＝R sin θ ⑦
由①⑥⑦式得d ＝
33
R 2在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距A 点a 3的D 点垂直AB 方
向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC 间离开磁场，求粒子速率
应满足什么条件及粒子从AC 间什么范围内射出． 解：如图6所示，设粒子速率为1v 时，其圆轨迹正好与AC 边相切于E 点．由图知，在E AO 1∆中，
11R E O =，113R a A O -=，
由A
O E O 11030cos =
得
1
132
3R a R -=，解得a R )32(31-=，则
a R a A O AE )332(2
321
1-=-==
． 又由1
2
11R v
m Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-=
=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．
如图7所示，设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与BC 边相切于F 点，与AC 相交于G 点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则
a AG AD R 32===．
又由2
2
22R v m Bqv =得m aqB
v 32=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁
场，其速率应小于等于2v ．
综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足
m
aqB
v m aqB 3)32(3≤
<-． 粒子从距Ａ点a a 3~)33
2(-的EG 间射出．
图6 D
B
1
o
A
B。