高中数学3.2.1几个常用函数的导数教案新人教A版选修1-1

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甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学
几个常用函数的导数教课设计
新人教 A 版选修 1-1
教课要点和难点
1．要点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。

教课方法：
自己着手用导数的定义求几个常用函 数的导数，感知、理解、记忆。

教课过程： 一、复习
1、函数在一点处导数的 定义；
2、导数的几何意义；
3、导 函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。

二、新课
推导以下函数的导数 1、求 f ( x)
c 的导数。

解：
y
f (x x) f ( x)
c c ，
x
x
y x f ' (x)
lim lim 0
x 0 x
x
2、求 f (x)
x 的导数。

解：
y f ( x x) f ( x)
x x x ，
x
x
1
x
f ' (x)
lim y
lim 1 1 。

x 0 x
x
y ' 1 表示函数 y
x 图象上每一点处的切线的斜率都为
1.若 y x 表示行程对于时
间的函
数，则 y '
1能够解说为某物体做刹时速度为
1 的匀速运动。

思虑： (1). 从求 y x ， y 2x ， y 3x ， y 4x 的导数怎样来判断这几个函数递加的快
慢？
(2).函数 y
kx(k
0) 增的快慢与什么相关？
能够看出，当 k>0 时，导数越大，递加越快；当 k<0 时，导数越小，递减越快 .
3. 求函数 y
f (x) x 2 的导数。

解：
y f (x
x) f (x) ( x
x)2 x 2
2x
x ，
x
x
x
2 / 3
y '
f ' ( x) lim y lim(2 x
x) 2x 。

x 0 x x 0
y ' 2x 表示函数 y
x 2 图象上每点（ x,y ）处 的切线的斜率为
2x ，说明跟着 x 的变化，切线的
斜率也在变化：
(1) 当 x< 0 时，跟着 x 的增添， y x 2 减少得愈来愈慢；
（ 2 ）当 x>0 时，跟着 x 的增添， y x 2 增 加得愈来愈快。

4. 求函数 y f ( x)
1 的导数。

x
解：
y f ( x
x) f (x)
1 1
x ( x x) 1
x
x x x
x
x
x(x
x) x
x 2
x x
y '
f ' ( x) lim y lim( x 2 1 )
1
x 0 x x 0
x x x 2
思虑： (1) 怎样求该曲线在点（ 1，1）处的切线方程？
k
f ' (1) 1 ，因此其切线方程为 yx 2 。

(2)改为 点（ 3， 3），结果怎样？ 三、例题
1. 试求函数 y f ( x)
x 的导数。

解 ：
y f ( x x) f ( x)
x
x x
x
x
x
(
x
x
x )( x
x x )
x( x
x
x )
＝
1
x x
x )
(
y '
f ' ( x) lim
y lim
x
1 x
1
x
x
x 0
x
2 x
2. 已知点 P （ -1， 1），点 Q （ 2，4）是曲线 y x 2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲 线的切线
方程。

解： y '
2x ，设切点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 y '
x x
2x 0 .
因 为 PQ 的斜 率 k
4 1 PQ ，
2 1, 又切线平行于
1
因此 k
2x 0 1 ，即 x 0
1 ，切点 M (1,1
)，
2 2 4 所求直线方程为 4x
4 y 1 0 。

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四 练习
假如函数
f ( x) 5 ，则 f ' (1) （ ）
1.
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线 y
2x 2 1在点（ 0， 1）的切线斜率是（
）
A.-4
B.0
C.2
D. 不存在
3.曲线 y
1 x
2 在点 (1, 1 ) 处切线的倾斜角为（ ）
2 2
5
A.
B. 1
C. D.
4
4
4
答案：
3.C
五、小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能娴熟使用；
2.在此后的求导运算中，只需不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。