新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．已知函数()24x
f x =-，()()()1
g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有
()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．(-3，-1)
D ．(-3，-1]
2．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．12,33
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[1,)+∞
3．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]
0,2，若关于t 的方程||
1102t m ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）
A ．[]0,3
B ．(]3,2--
C ．[]3,1--
D ．[)1,2
4．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当
[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,10-内关于x 的方程
()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A
．⎡⎣
B ．()2,+∞
C ．()1,2
D
．(
5．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-
B ．(,1)-∞-
C ．[1，)+∞
D ．(1,)+∞
6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成
平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为(
)0
n N t n n N <=≥（0t 、0N 为常
数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为
8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ） A ．16小时 B ．11小时 C ．9小时
D ．8小时
7．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3ln 22,4e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
8．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．
A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点
B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点
C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点
D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点
9．已知()11x
f x e =-+，若函数2()[()](2)()2
g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--
B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(1,2)
10．已知函数f (x )＝1,01,0x x x ⎧⎪
⎨>⎪⎩
则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是
（ ） A ．(1，2)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
11．函数()x
f x 2sinx =-在区间[]
10π,10π-上的零点的个数是( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
12．已知函数()22,0
log ,0
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的
取值范围为（ ） A ．(],0-∞
B ．(],1-∞-
C ．[]2,0-
D ．[]4,0-
二、填空题
13．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和
()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．
14．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元. 15．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，
()2
1,02
413,224
x x x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-
-> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()27016a
f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅
有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是__________.
16．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间
[],2e e -，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是
__________.
17．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，
()2f x x =-，当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()()log 1a y f x x a =->的零
点个数为8个，则实数a 的取值范围是______. 18．方程()2
332log log 30x x +-=的解是______.
19．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离
x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144
万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里. 20．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于1
2
的正根，则实数m 的取值范围为____________.
三、解答题
21．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()1
24x f x g x +
-=.
（Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的表达式；
（Ⅱ）若方程()4x
f x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恰有一个实根，求实数m 的取值范围.
22．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足1
41
m x =-
+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
23．为了在“双11”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过200元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若一次购物付款总额超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500的部分给予7折优惠.
（1）若一次性购买x 元商品，实际付款数为()f x ，求()f x 的解析式；
（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为178元和432元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？
24．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为
200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，
21()202C x x x =
+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x
=+-(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 25．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()f t 表示学生注意力指标．该小组发现()f t 随时间t （分钟）的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：
10060(010)10()340(1020)15640(2040)
t a t f t t t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨<≤⎪⎪-+<≤⎩（0a >且1a ≠）．若上课后第5分钟时的注意力指标
为140，回答下列问题： （1）求a 的值；
（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
26．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且
a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近
似为()y a f x =⋅，其中()16
1,04815,4102x x
f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩
，若多次投放，则某一时刻水中的药
剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？
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一、选择题 1．C
解析：C 【分析】
先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】
∵()24x
f x =-，
∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.
因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (]
,1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:
①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.
（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；
（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，
∴112a a <-⎧⎨--<⎩
，
解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.
2．B
解析：B 【分析】
先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】
设3x t =，则0t >，
则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，
则利用判别式和韦达定理得()()22431020310k k ⎧∆=---≥⎪
>⎨⎪->⎩
，
解得：
1233
k <≤； 所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.
3．D
解析：D 【分析】
首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】
函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，
14||4x ∴-， 0||3x ∴，
3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；
又
关于t 的方程||
1()10()2
t m t R ++=∈ 有实数解，
∴||1()12
t m =--有解，
||1
1()12
2
t <+，
21m ∴-<-，
则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
4．A
解析：A 【分析】
作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】
对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，
当[]2,0x ∈-时，()
112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：
由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，
则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.
故选：A. 【点睛】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
5．D
解析：D 【分析】
分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】
解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，
所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】
考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．
6．C
解析：C 【分析】
根据题意求得0t 和0N 的值，然后计算出()49t 的值即可得解. 【详解】
由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N <，
16=，得064t =．
8=知，064N =，所以当49n =时，(
)64
4997
t =
≈， 故选：C ． 【点睛】
本题考查分段函数模型的应用，求出0t 和0N 的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．C
解析：C 【分析】
由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8x
f x x x
=
∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】
由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即
1ln 2x m x
=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =
∈，则()2
1ln x
f x x -'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增，
所以当x e =时，函数()f x 取得最大值
1e
，且()ln83ln 2
888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 22
4m e
≤<，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化
为1ln
2
x
m
x
=在(]
0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x
f x
x
=的单调性与
最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
8．D
解析：D
【解析】
解：因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象
可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f （1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，
函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：
所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，
故选D．
9．A
解析：A 【分析】
利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】
解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．
当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，
则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：
由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．
10．D
解析：D 【分析】
分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】
当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；
当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1
x m x
+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞
故选：D 【点睛】
本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
11．A
解析：A 【分析】
画出函数x y 2=和y sinx =的图象，通过图象即得结果． 【详解】
画出图象函数x
y 2=和y sinx =的图象，根据图象可得函数()x
f x 2sinx =-在区间
[]10π,10π-上的零点的个数是10，
故选A ．
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．
12．A
解析：A 【分析】
画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】
由函数()f x 的图象（如图），可知1
022
a b c ≤<
≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛 解析：()4,0-
【分析】
先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得
m 的取值范围.
【详解】 解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，
又
x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，
()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，
即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，
则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，
∴0
3121m m m <⎧⎪
--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧
⎪<⎪>-⎨⎪⎪<
⎩
，解得40m -<<， ∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．
故答案为：(4,0)-． 【点睛】
利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
14．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大
解析：7 【分析】
设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值. 【详解】
解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为6
8002020002000.1
x x --
⨯=-辆，
由20002000x ->，解得10x <，
∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，
当2800
7400
x =
=时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.
故答案为：7. 【点睛】
本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.
15．【分析】判断出函数的单调性求出函数的最值可得要使关于的方程有且仅有个不同实数根转化为的两根均在区间由二次函数的零点分布列出不等式组解得即可【详解】当时递减当时递增由于函数是定义域为的偶函数则函数在和
解析：716,49⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
判断出函数()y f x =的单调性，求出函数的最值，可得要使关于x 的方程
()()27016
a f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅有8个不同实数根，转化为2
7016a t at ++=的两根均在区间31,4⎛
⎫
-- ⎪⎝⎭
，由二次函数的零点分布列出不等式组，解得即可． 【详解】
当02x ≤≤时，214y x =-递减，当2x >时，1324
x
y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭递增，由于函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，
则函数()y f x =在(),2-∞-和()0,2上递减，在()2,0-和()2,+∞上递增，
当0x =时，函数()y f x =取得最大值0；当2x =±时，函数()y f x =取得最小值1-．
当02x ≤≤时，[]211,04y x =-∈-；当2x >时，1331,244x
y ⎛⎫⎛⎫=--∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 要使关于x 的方程()()2
7016a
f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈，有且仅有8个不同实数根，
设()t f x =，则2
7016a
t at ++
=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．
则有
2
7
4
3
1
24
7
10
16
937
0 16
416
a
a
a
a
a
a a
⎧
∆=->
⎪
⎪
⎪-<-<-
⎪
⎨
⎪-+>
⎪
⎪
⎪-+>
⎩
，即为
7
4
3
2
2
16
9
9
5
a a
a
a
a
⎧
><
⎪
⎪
⎪<<
⎪
⎨
⎪<
⎪
⎪
⎪<
⎩
或
，解得
716
49
a
<<．
因此，实数a的取值范围是
716
,
49
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
故答案为：
716
,
49
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次函数的零点分布是解题的关键，属于中档题．
16．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰
解析：
11
,
2
e e
⎧⎫
--
⎨⎬
⎩⎭
【分析】
先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[]
,2
e e
-上图象，最后结合图象确定与动直线1
y kx
=+恰有4个交点的情况，再求出对应数值.
【详解】
因为()
f x是以2e为周期的R上的奇函数，
所以(0)0,()()()()()0
f f e f e f e f e f e
==-=-∴=-=，
当()
0,
x e
∈，()ln
f x x
=，所以当(),0
x e
∈-，()()ln(-)
f x f x x
=--=-，
作出区间[]
,2
e e
-上图象如图，则直线1
y kx
=+过(,0)
A e或(2,0)
B e时恰有4个交点，此时
11
,
2
k k
e e
=-=-
故答案为：11,2e e ⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.
17．【分析】由题意可得为偶函数由当时可得时的图像可将在的图像向右平移（为正整数）个单位在轴左边的图像与右边的图像关于轴对称作出的图像和函数的图像通过图像可得实数的取值范围【详解】定义在上的函数满足可得为 解析：()3,5
【分析】
由题意可得()f x 为偶函数，由当3x ≥时，()()2f x f x =-，可得3x ≥时的图像，可将()f x 在[]0,3的图像向右平移2k （k 为正整数）个单位，在y 轴左边的图像与右边的图像关于y 轴对称，作出()f x 的图像和函数()log 1a y x a =>的图像，通过图像可得实数a 的取值范围. 【详解】
定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-， 可得()f x 为偶函数， 图像关于y 轴对称，
又当03x ≤≤时，()2f x x =-， 当3x ≥时，()()2f x f x =-，
可得3x ≥时的图像，可将()f x 在[]0,3的图像向右平移2k （k 为正整数）个单位， 在y 轴左边的图像与右边的图像关于y 轴对称， 作出()f x 的图像和函数()log 1a y x a =>的图像， 当0x >时，只需()log 1a y x a =>与()y f x =有4个交点，
故log 31log 51a a
<⎧⎨>⎩，解得35a <<，
故实数a 的取值范围是()3,5. 故答案为：()3,5 【点睛】
本题考查了函数的零点个数求参数的取值范围、考查了函数的奇偶性、周期性的应用，考查了数形结合的思想，属于中档题.
18．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题
3 【分析】
设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】
设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得13
2
t =-，21t =， 当132t =-
，即33log 2x =-
，解得x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，
3.
3. 【点睛】
本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.
19．3【分析】由条件设将条件代入可解得的值可以得到两项费用之和的表达式利用均值不等式可求得答案【详解】设由和分别为万元和万元即时可得则两项费用之和为：所以当且仅当即时取得等号故答案为：3【点睛】本题考查
解析：3 【分析】
由条件设,n
P K mx x
=
=，将条件4,144P K ==代入，可解得,m n 的值，可以得到两项费用之和的表达式，利用均值不等式可求得答案. 【详解】
设,n
P K mx x
=
=,由P 和K 分别为4万元和144万元. 即18x =时4P =，144K =，可得，72,8n m ==.
则两项费用之和为：()7280y P K x x x
=+=+>.
所以72848x x +
≥=，当且仅当728x x =，即3x =时取得等号. 故答案为：3 【点睛】
本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．
20．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根
解析：（-∞，-1
2
） 【分析】 方程有两个大于1
2
的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】
解：根据题意，m 应当满足条件
2(1)40112211(1)042
m m m m m ⎧
⎪∆=-+>⎪
-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：1
2m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-1
2
）. 故答案为：（-∞，-12
）. 【点睛】
本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.
三、解答题
21．（Ⅰ）()44x
x
f x -=+，()4
4x
x g x -=-；（Ⅱ）5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
【分析】
（Ⅰ）由()()12
4
x f x g x +-=，结合()f x 的偶函数，()g x 是奇函数，得到
()()12
4
x f x g x -+
-=，两式联立求解.
（Ⅱ）()4x
f x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
恰有一个实根，即()214
410x
x m m --⋅-=在10,2
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
上恰有一个实根，令()4,1,2x
z z =∈，转化为()2
110m z mz ---=在()1,2上恰有一个
实根，令()()2
11h z m z mz =---，用二次函数的性质求解.
【详解】
（Ⅰ）由()()12
4x f x g x +-=.
得()()124
x f x g x -+
---=，.
因为()f x 的偶函数，()g x 是奇函数， 所以()()12
4
x f x g x -+
-=，
解得()44x
x
f x -=+，()4
4x
x g x -=-.
（Ⅱ）因为()4x
f x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
恰有一个实根， 即444x x x m m -+=⋅-，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
恰有一个实根，
即()214410x x
m m --⋅-=在10,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上恰有一个实根，
令()4,1,2x
z z =∈，
则()2
110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，
令()()2
11h z m z mz =---
又()12h =-，则有()2250h m =->或
()()244012
211020
m m m m m h ⎧∆=+-=⎪
⎪<
<⎪-⎨
⎪-<⎪<⎪⎩，
解得52
m >
， 综上m 的取值范围为5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
22．（1）25
1081
y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元
时，利润最大. 【分析】
（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；
（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】
（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252m
m
+⨯ 所以()8252825m
y m m x m
+=⋅
-++825m x =+-. 182541x x ⎛
⎫=+-- ⎪
+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以25
1081
y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，
由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤
=-++⎢
⎥+⎣⎦
10999≤-= 当且仅当
25
11
x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；
当04a <<时，令()25
1091
f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <
()()()()()1212211212252525
10910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=---++=--
⎪ ⎪++++⎝⎭
(]()()()()
122112121225
,0,,401125,10
11x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-
+
()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..
所以x a =时，y 有最大值；
答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】
关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，
251081y x x =-
-+()2510911x x ⎡⎤
=-++⎢
⎥+⎣⎦
10999≤-=；当04a <<时，令()25
1091
f x x x =-
-+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题
23．（1）()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪
=<≤⎨⎪+>⎩
；（2）560.6元.
【分析】
（1）根据题意分段写出()f x 的表达式，最后写成分段函数形式； （2）根据实际付款各计算出所购商品标价，相加后利用()f x 计算， 【详解】
解（1）当0200x ≤≤时，()f x x = 当200500x <≤时，()0.9f x x =
当500x >时，()()0.95000.75000.7100f x x x =⨯+-=+
()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪
∴=<≤⎨⎪+>⎩
（2）当0200x ≤≤时，()0200f x ≤≤， 当200500x <≤时，()180450f x <≤， 当500x >时，()450f x >
又知小丽实际付款为178元，所以小丽购买了178元的商品，
小丽妈妈实际付款为432元，则小丽妈妈购买的商品价格总额应大于200小于等于500，所以，由0.9432x =得480x =，
则小丽和她妈妈购买的商品价格总额为178480658+=元，若一次性购买这些商品，则应付款为()6580.7658100560.6f =⨯+=元
答：若小丽和她妈妈一次性购买先前分两次买的商品，则应付款为560.6元.． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的应用，解题方法是根据所给函数模型写出函数解析式，然后
由函数解析式进行计算求解．考查学生应用能力．
24．（1）2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
；（2）当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.
【分析】
（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分080x <<和80x ≥即可求出；
（2）当080x <<时，利用二次函数性质求出最大值，当80x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.
【详解】
解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元， 依题意得：
当080x <<时，2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =⨯-+-=-
+-， 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x
=⨯-+--=-+， 所以2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
； （2）当080x <<时，21()(30)2502
L x x =-
-+， 此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元. 当80x ≥
时，10000()400()400400200200L x x x =-+
≤-=-=， 此时10000,100x x x
==，即()(100)200L x L ≤=万元， 由于250200>，
所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.
25．（1）4a =；（2）上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．理由见解析；（3）
853
分钟. 【分析】
（1）由5t =时对应的函数值为140，得a 的方程，解方程可得a 的值；
（2）先求35t =时对应的函数值，再与140比较大小；
（3）实际上解不等式()140f t ≥，分三段依次求解，最后将三段解集求并集.
【详解】
（1）由题意得，当5t =时，(t)14C f =， 即51006014010
a
⋅-=，解得4a =． （2）因为(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯+=， 所以(5)(35)f f >，
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
（3）①当010t <≤时，由（1）知，()1004
6014010t f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立；
③当2040t <≤时，(t)15640140f t =-+≥， 解得100203t <≤．综上所述，10053
t ≤≤． 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持
10085533-=分钟． 【点睛】
本题考查函数的应用，比较基础，第三问关键点是注意对t 的分类讨论，最后合成并集. 26．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3
【分析】
（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；
（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间.
【详解】
（1）因为()644,0448202,410
x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，
当04x ≤≤时，令64448x
-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤，
所以有效治污时间能持续8小时；
（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤， 所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛
⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦， 所以()
161455314y x x =-+-≥=-，
取等号时
16
14
14
x
x
-=
-
，即10
x=，
所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3.
【点睛】
易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项：（1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.。