上虞区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

上虞区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 若椭圆+
=1的离心率e=
，则m 的值为（
）
A ．1
B ．
或C ．
D ．3或
2．
=（ ）
A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
3． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ）
A ．{3，4}
B ．{1，2，5，6}
C ．{1，2，3，4，5，6}
D ．∅
4． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆
xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1()3(22=-++y x 2
π
=
∠APB 31≤≤n x x
x f 3log 4
)(-=
内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
)4,3(A ．
B ．
C ．
D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(q
p ∨⌝)(5． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）
A ．e
x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣1　
6． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （
）
7． 已知全集为，且集合，，则等于（ ）R }2)1(log |{2<+=x x A }01
2
|{≥--=x x x B )(B C A R A ．
B ．
C ．
D ．)1,1(-]1,1(-)2,1[]
2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.
8． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件9． 给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
②线性回归直线一定经过样本中心点，；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）=；
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小．其中正确的说法的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．12 C ．12
- D ．11．设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．（，1）
B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C ．（﹣，）
D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
12．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体M AB FMC E -积为，多面体的体积为，则（ ）1111]1V BCE ADF -2V =2
1
V V A ．
B ．
C ．
D ．不是定值，随点的变化而变化
4
1
3
1
2
1
M
二、填空题
13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的
两人说对了．
14．已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，ABC S A B C 2
2
2
4S a b c +=+则取最大值时
．
sin cos()4
C B π
-+
C =15．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
16．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．
17．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
18．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41-如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
20．如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1DC ；
（Ⅱ）若CD=2，求BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，A 1B 的长度最小，并求出最小值．
21．已知函数（）．()()x
f x x k e =-k R ∈（1）求的单调区间和极值；()f x （2）求在上的最小值．
()f x []1,2x ∈
（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．
()()'()g x f x f x =+35,22
k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
[]0,1x ∀∈()g x λ≥λ22．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为
，（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ．
（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求弦长|AB|．
24．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．
上虞区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】解：当椭圆+
=1的焦点在x 轴上时，a=，b=
，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+=1的焦点在y 轴上时，a=
，b=
，c=
由e=，得=
，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x 轴和y 轴进行分类讨论．　
2． 【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx ﹣sinx ）′=sinx ﹣cosx ，
∴
=
=2．
故选A ．　
3． 【答案】B
【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴A ∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}，∴∁I （A ∩B ）={1，2，5，6}，故选B ．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．　
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以
p 2
π
=
∠APB AB ()()
113
2
2
=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()x
x
x f 3
log 4-=
()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 3
4
333>-=
f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆
P 2
π
=
∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
1)1()3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
x x
x f 3log 4
)(-=5． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．　
6． 【答案】D 【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．7． 【答案】C
8． 【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ），∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinB=2cosAsinB ，∵sinB ≠0，∴cosA=，∴A=
，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=或A=，
故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
9．【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；
②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；
③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】
=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30
试题分析：原式()()
=
考点：余弦的两角和公式.
11．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1），
故选：A．
12．【答案】B
【解析】
考
点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
二、填空题
13．【答案】乙 ，丙【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

14．【答案】4
π
【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及
ab 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
2b 2a 正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
.111sin ,,(),
2224abc
ab C ah a b c r R
++15．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A 关于茶杯口的对称点为A ′，则A ′A=4cm ，BC=6cm ，∴A ′C=8cm ，∴A ′B==10cm ．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
16．【答案】　60°　．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴=3，
∴cos＜＞==
∵
∴与的夹角为60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
17．【答案】　0.9　
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
18．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵,EC EF DE ⋅=2DEF
DEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分
DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴．
AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴，∴，又∵，∴．ED
EP EF EA =EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅∵,，∴ ，∵，∴，解得.EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=EC 2:3:=BE CE 3=BE 4
27=EP ∴．∵是⊙的切线，∴4
15=-=EB EP BP PA O PC PB PA ⋅=2∴，解得．……………………10分29427(4152+⨯=PA 4315=PA 20．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC 中，由已知可得：AC ⊥DE ．在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，即可证明DE ⊥平面A 1DC ，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A 1BC 的法向量为，利用，BE 与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，利用
=（0＜x ＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC 中，DE ∥BC ，AC ⊥BC ，则AC ⊥DE ，
∴在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，
又∵A 1D ∩DC=D ，∴DE ⊥平面A 1DC ，
∵DE ∥BC ，∴BC ⊥平面A 1DC ，
∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1DC ．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A 1（0，0，4）B （3，2，0），C （0，2，0），D （0，0，0），E （2，0，0）．
则，，
设平面A 1BC 的法向量为
则，解得，即
则BE 与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，在（2）的坐标系下有：A 1（0，0，6﹣x ），B （3，x ，0），∴==（0＜x ＜6），即当x=3时，A 1B 长度达到最小值，最小值为．
21．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，
()f x (1,)k -+∞(,1)k -∞-，无极大值；（2）时，时
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值2k ≤()(1)(1)f x f k e ==-最小值23k <<，时，；（3）.
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值3k ≥2()(2)(2)f x f k e ==-最小值2e λ≤-【解析】
（2）当，即时，在上递增，∴；
11k -≤2k ≤()f x []1,2()(1)(1)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，∴；12k -≥3k ≥()f x []1,22
()(2)(2)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，在上递增，
112k <-<23k <<()f x []1,1k -[]1,2k -
∴．
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值（3），∴，()(221)x
g x x k e =-+'()(223)x g x x k e =-+由，得，'()0g x =32x k =-
当时，；32
x k <-'()0g x <当时，，32
x k >-'()0g x >∴在上递减，在递增，()g x 3(,2k -∞-3(,)2
k -+∞故，323()()22
k g x g k e -=-=-最小值又∵，∴，∴当时，，35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
[]30,12k -∈[]0,1x ∈323()()22k g x g k e -=-=-最小值∴对恒成立等价于；()g x λ≥[]0,1x ∀∈32()2k g x e
λ-=-≥最小值又对恒成立．32()2k g x e
λ-=-≥最小值35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦∴，故．1
3
2min (2)k e k --≥2e λ≤-考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.
22．【答案】
【解析】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…
这40辆小型车辆的平均车速为：
（km/t ）
…
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m 1=0.01×5×40=2（辆）
车速在[65，70）的车辆数为：m 2=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a ，b ，车速在[65，70）的车辆设为c ，d ，e ，f ，则所有基本事件有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ）（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ）（e ，f ）共15种
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ），共14种
所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．
23．【答案】
【解析】解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，得ρ2sin2θ=8ρcosθ．
∴y2=8x即为C的直角坐标方程；
（II）把直线l的参数方程，（t为参数），代入抛物线C的方程，整理为3t2﹣16t﹣64=0，
∴，．
∴|AB|=|t1﹣t2|==．
【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，
故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’
（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，
∴x∈[﹣1，4]，
∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．。