和平县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

和平县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
2． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（
）
A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8
）
D ．55（8）
4． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（
）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
　5． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（
）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
6． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123
x x π
π⎛⎫∈--
⎪⎝⎭
，，，12x x
≠时，()()12f x f
x =，则()12f x x +等于（
）A
B
D 7． 设集合,集合,若 ,则的取值范围3|
01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩
⎭
(){}2|220B x x a x a =+++>A B ⊆
（ ）
A ．
B ．
C.
D ．1a ≥12a ≤≤a 2≥12
a ≤<8． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
9． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（
）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
10．若a ＜b ＜0，则（ ）A ．0＜＜1B ．ab ＜b 2
C ．＞
D ．＜
11．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体M AB FMC E -积为，多面体的体积为，则（ ）1111]1V BCE ADF -2V =2
1
V V A ．
B ．
C ．
D ．不是定值，随点的变化而变化
4
1
3
1
2
1
M
12．函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
二、填空题
13．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ．14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是
（写出所有你认为正确的命题）．
15．计算：×5﹣1= ．
16．直线l ：
（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是
．　
17．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．　
18．设某双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为
136
272
2=+y x ，则此双曲线的标准方程是
.)4,15(三、解答题
19．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．
ξξ
20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．
21．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
22．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所
示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．
23．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

24．（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变
C 2sin cos 10ρθρθ+=1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨
=⎩
α换后得到曲线．
32x x
y y '=⎧⎨'=⎩
2C
（1）求曲线的参数方程；
2C （2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
M 2C M C
和平县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
2．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
3．【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．
故答案选D．
4．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭．7． 【答案】A 【解析】
考
点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键.
8．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；
该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
10．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴0＜＜1，正确；
ab＜b2，错误；
＜＜0，错误；
0＜＜1＜，错误；
故选：A．
11．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
12．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．
故答案为：C
二、填空题
13．【答案】　35　．
【解析】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），
∴数列{a n}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去）
∴a n=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2．
∴a1=﹣1，
∴S10=10a1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
14．【答案】③④
【解析】
BM ED
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误
的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．,AN AC 60 DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．
15．【答案】　9　．
【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，∴
×5﹣1=9，故答案为：9．
16．【答案】　[4
，16]　．
【解析】解：直线l ：
（t 为参数），化为普通方程是=，即y=tan α•x+1；
圆C 的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=64；画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2
=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4
，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
17．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *），
∴y ′=（n+1）x n ，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =
，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1），
∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）
=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
　18．【答案】15
42
2=-x y 【解析】试题分析：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，故焦点坐标为由双曲136
272
2=+y x y 927362=-=c ()3,0±线的定义可得,故，，故所求双()()()()4340153401522222=++---+-=a 2=a 5492=-=b 曲线的标准方程为．故答案为：．15422=-x y 15
42
2=-x y 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴
所求概率为（6分）2244225516125
C C P C C =-⋅=（Ⅱ） ，，，（9分）0,1,2,ξ=23253(0)10C P C ξ===1123253(1)5C C P C ξ⋅===22251(2)10
C P C ξ===
（10分）∴ （12分）3314012105105
E ξ=⨯+⨯+⨯=20．【答案】
【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（
，0）．
∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，
∴a ﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A （﹣2，4），B （4，0），
∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）．
又∵|AB|=
，
∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=13．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD 上找中点N ，连接CN ，则CN ∥平面AMP ；
证明：因为M 为BC 的中点，四边形ABCD 是矩形，
所以CM 平行且相等于DN ，
所以四边形MCNA 为矩形，
所以CN ∥AM ，又CN ⊄平面AMP ，AM ⊂平面AMP ，
所以CN ∥平面AMP ．
（Ⅱ）证明：过P 作PE ⊥CD ，连接AE ，ME ，
因为边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=2
，M 为BC 的中点
所以PE ⊥平面ABCD ，CM=，
所以PE⊥AM，
在△AME中，AE==3，ME==，AM==，
所以AE2=AM2+ME2，
所以AM⊥ME，
所以AM⊥平面PME
所以AM⊥PM．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
　23．【答案】
【解析】（1）为
，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线
斜率一定存在。

故有直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当
时，，满足假设时，成立，则当时，
24．【答案】（1）（为参数）；（23cos 2sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩【解析】
试
题解析：
（1）将曲线（为参数），化为1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩
α，由伸缩变换化为，221x y +=32x x y y '=⎧⎨'=⎩1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入圆的方程，得到，211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22
2:194x y C ''+=可得参数方程为；3cos 2sin x y αα=⎧
⎨=⎩考点：坐标系与参数方程．。