数学_2012年浙江省高考数学冲刺试卷9(理科)(含答案)

2012年浙江省高考数学冲刺试卷9（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设z =1−i （1是虚数单位），则z 2+2
z =( )
A 1+1
B −1+1
C 1−i
D −1−1
2. 某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为( )
A k >4？
B k >5？
C k >6？
D k >7？
3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
A B C D
4. 函数f(x)＝x 2+mx +1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是（ ） A m ＝−2 B m ＝2 C m ＝−1 D m ＝1
5. 函数f(x)=3sin π
2x −log 12
x 的零点个数是( )
A 2
B 3
C 4
D 5
6. 若规定E ={a 1, a 2...a 10}的子集{a k 1，a k 2…a k n }(1≤n ≤10)为E 的k 级子集，其中k =2k 1−1+2k 2−1+...+2k n −1，那么集合{a 1, a 2, a 5, a 7, a 8}将是E 的M 级子集，则M 为（ ） A 23 B 18 C 522 D 211
7. 已知a ，b ∈R ，且满足{2a −b −2≤0
a −2
b +2≥0a +b −1≥0，则S =2a+b
a+b
的取值范围为（ ）
A [1,3
2] B [3
2，2] C (1, 2] D [1, 2]
8. 半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直，若记△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积之和为N ，则N 的最大值为（ ）
A 4
B 8
C 16
D 32
9. 浙江省新课程自选模块考试试题中共有18道题，考生要从中任选6道题进行解答，现有两位考生，其中考生甲一定不选第2，6，9，13，14，17，18题，考生乙一定不选第7，9，13，14，17，18题，若考生甲与乙选取的6道题都不相同，则满足要求的选法种数共有（ ）
A C 105C 76+C 106C 116
B
C 126C 116 C C 116
D C 105C 76+C 106
10. 设函数f(x)=xsinx 在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…a n …，则对任意正整数n 必有（ ）
A −π
2<a n+1−a n <0 B 0<a n+1−a n <π
2 C π
2<a n+1−a n <π D π<a n+1−a n <
3π2
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. (x +3)4(x −1)的展开式中含x 3项的系数为________．
12. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．
13. 过双曲线E:x 2a 2−y 2
b 2=1(b >a >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线E 的两条渐近线相交于B ，C 两点，且|AB|=|BC|，则双曲线E 的离心率为________．
14. 已知函数f(x)=lnx −a
x ．若f(x)<x 2在(1, +∞)上恒成立，则a 的取值范围是________． 15. 在平行四边形ABCD 中，若AC =2且
AB →
|AB →|
+
AD →
|AD →
|
=
√3
2
AC →，则向量AB →与AD →的夹角大小为________．
16. 如图，图1是一块边长为1，面积记为S 1的正三角形纸板，沿图1的底边剪去一块边长为
12
的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边
长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12
）后，得图3，图4，…，记第n(n ≥3)块纸板的面积为S n ，则S n−1−S n =________．
17. 已知函数f(x)=|x 2−2|，若0<m <n 且f(m)=f(n)，则m +n 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对应的三边，已知b 2+c 2=a 2+bc （1）求角A 的大小；
（2）若2sin2B
2+2sin2C
2
=1，试判断△ABC的形状．
19. 已知数列{a n}的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5(n∈N∗)．
（1）证明数列{a n+1}是等比数列；
（2）令f(x)=a1x+a2x2+...+a n x n，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较2f′(1)与23n2−13n的大小．
20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD // BC，∠ADC＝90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC=1
2
AD＝1，CD=√3．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M−BQ−C为30∘，设PM＝tMC，试确定t的值．
21. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点的距离为17
4
．（1）求p与m的值；
（2）设抛物线C上一点p的横坐标为t(t>0)，过p的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
22. 设函数f(x)=−x3−2mx2−m2x+1−m（其中m>−2）的图象在x=2处的切线与直线y=−5x+12平行．
（1）求m的值与该切线方程；
（2）若对任意的x1，x2∈[0, 1]，|f(x1)−f(x2)|≤M恒成立，则求M的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，试证明：a
1+a2+b
1+b2
+c
1+c2
≤9
10
．
2012年浙江省高考数学冲刺试卷9（理科）答案
1. C
2. A
3. D
4. A
5. D
6. D
7. D
8. B
9. D
10. C
11. 42
12. 60
13. √10
14. [−1, +∞)
15. π
3
16. 3√3
4n
17. (2, 2√2)
18. 解：（1）在△ABC中，∵ b2+c2=a2+bc，∴ b2+c2−a2=bc，
∴ b2+c2−a2
2bc =1
2
，
∴ cosA=1
2
，
又A是三角形的内角，故A=π
3
（2）∵ 2sin2B
2+2sin2C
2
=1，
∴ 1−cosB+1−cosC=1∴ cosB+cosC=1，
由（1）的结论知，A=π
3，故B+C=2π
3
∴ cosB+cos(2π
3
−B)=1，
即cosB+cos2π
3cosB+sin2π
3
sinB=1，
即√3
2sinB+1
2
cosB=1
∴ sin(B+π
6
)=1，
又0<B<2π
3，∴ π
6
<B+π
6
<5π
6
∴ B+π
6=π
2
∴ B=π
3，C=π
3
故△ABC是等边三角形．
19. 解：（1）由已知S n+1=2S n+n+5(n∈N∗)，
可得n ≥2，S n =2S n−1+n +4两式相减得S n+1−S n =2(S n −S n−1)+1即a n+1=2a n +1 从而a n+1+1=2(a n +1)
当n =1时S 2=2S 1+1+5所以a 2+a 1=2a 1+6又a 1=5所以a 2=11 从而a 2+1=2(a 1+1)
故总有a n+1+1=2(a n +1)，n ∈N ∗又a 1=5，a 1+1≠0 从而
a n+1+1a n +1
=2即数列{a n +1}是等比数列；
（2）由（1）知a n =3×2n −1 因为f(x)=a 1x +a 2x 2++a n x n 所以f′(x)=a 1+2a 2x ++na n x n−1
从而f′(1)=a 1+2a 2++na n =(3×2−1)+2(3×22−1)++n(3×2n −1) =3(2+2×22++n ×2n )−(1+2++n)=3(n −1)⋅2n+1−
n(n+1)2
+6．
由上2f′(1)−(23n 2−13n)=12(n −1)⋅2n −12(2n 2−n −1) =12(n −1)⋅2n −12(n −1)(2n +1) =12(n −1)[2n −(2n +1)]①
当n =1时，①式=0所以2f ′(1)=23n 2−13n ；
当n =2时，①式=−12<0所以2f ′(1)<23n 2−13n
当n ≥3时，n −1>0又2n =(1+1)n =C n 0+C n 1++C n n−1+C n n
≥2n +2>2n +1 所以(n −1)[2n −(2n +1)]>0即①>0从而2f′(1)>23n 2−13n ． 20. 证法一：∵ AD // BC ，BC =1
2AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB ＝90∘，即QB ⊥AD ．
又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ BQ ⊥平面PAD ．
∵ BQ ⊂平面PQB ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． 证法二：AD // BC ，BC =1
2AD ，Q 为AD 的中点，
∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB ＝90∘． ∵ PA ＝PD ，∴ PQ ⊥AD ．
∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PBQ ．
∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． ∵ PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ．
∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．
如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n →
=(0,0,1)；
Q(0, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)．
设M(x, y, z)，则PM →
=(x,y,z −√3)，MC →
=(−1−x,√3−y,−z)， ∵ PM →
=tMC →
，
∴ {x =t(−1−x)
y =t(√3−y)z −√3=t(−z) ，∴ {
x =−t
1+t y =√3t
1+t z =√3
1+t ⋯
在平面MBQ 中，QB →=(0,√3,0)，QM →
=(−t
1+t ,
√3t 1+t ,√3
1+t
)，
∴ 平面MBQ 法向量为m →
=(√3,0,t)． ∵ 二面角M −BQ −C 为30∘， ∴ cos30=n →⋅m
→
|n →||m →|
=
t √3+0+t
2
=√3
2
， ∴ t ＝3．
21.
解：（1）由抛物线方程得其准线方程：
y =−p
2，根据抛物线定义
点A(m, 4)到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4+p
2=
174
，解得p =1
2
∴ 抛物线方程为：x 2=y ，将A(m, 4)代入抛物线方程，解得m =±2
（2）由题意知，过点P(t, t 2)的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k ． 则l PQ :y −t 2=k(x −t)， 当y =0,x =−t 2+kt k
，
则M(
−t 2+kt k
，0)．
联立方程{y −t 2=k(x −t)
x 2=y
，
整理得：x 2−kx +t(k −t)=0 即：(x −t)[x −(k −t)]=0，
解得x =t ，或x =k −t∴ Q(k −t ,(k −t)2)， 而QN ⊥QP ，∴ 直线NQ 斜率为−1
k ∴ l NQ ：y −(k −t)2=−1
k [x −(k −t)]， 联立方程{y −(k −t)2=−1k [x −(k −t)]
x 2=y
整理得：x 2+1
k x −1
k (k −t)−(k −t)2=0，
即：kx 2+x −(k −t)[k(k −t)+1]=0[kx +k(k −t)+1][x −(k −t)]=0， 解得：x =−
k(k−t)+1
k ，
或x =k −t∴ N(−
k(k−t)+1
k
，
[k(k−t)+1]2
k 2
)，
∴ K NM =
[k(k−t)+1]2
k 2
−k(k−t)+1k −
−t 2+kt k
=(k 2−kt+1)2
k(t 2−k 2−1)
而抛物线在点N 处切线斜率：k 切=y′|x=k(k−t)+1k
=−
k(k−t)+1
k
∵ MN 是抛物线的切线， ∴
(k 2−kt+1)2k(t 2−k 2−1)
=
−2k(k−t)−2
k
，
整理得k 2+tk +1−2t 2=0
∵ △=t 2−4(1−2t 2)≥0，
解得t ≤−2
3（舍去），或t ≥2
3，∴ t min =2
3
22. （1）解：∵ f ′(x)=−3x 2−4mx −m 2，所以f ′(2)=−12−8m −m 2=−5， 解得m =−1或m =−7 ∵ m >−2，∴ m =−1
∴ f(x)=−x 3+2x 2−x +2 ∴ f(2)=−8+8−2+2=0 ∴ 该切线方程为y =−5x +10；
（2）解：f ′(x)=−3x 2+4x −1=0，解得x 1=1，x 2=1
3，列表如下
∴ 函数f(x)在区间[0, 1]的最小值为f(1
3 )=50
27，最大值为2．
要使对任意的x1，x2∈[0, 1]，|f(x1)−f(x2)|≤M恒成立，则M≥2−50
27=4
27
∴ M的最小值为4
27
；
（3）证明：∵ f(x)=−x3+2x2−x+2=(1+x2)(2−x)
由（2）知，当x∈[0, 1]时，(1+x2) (2−x)≥50
27
，
∴
1
(1+x2)
≤
27
50
(2−x)
∴ x
1+x2≤27
50
(2x−x2)（当x=1
3
时取等号）
当a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1
∴
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
≤
27
50
[2(a+b+c)−(a2+b2+c2)]
=27
50
[2−(a2+b2+c2)]，
∵ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2)，∴ a2+b2+c2≥1
3
，
∴ a
1+a2+b
1+b2
+c
1+c2
≤27
50
(2−1
3
)=9
10
（当且仅当a=b=c=1
3
时取等号）．。