第23课时 二倍角公式

题组层级快练(4)
1． 计算sin π12－3cos π12
的值为( )A ．0 B ．－ 2 C ．2 D. 2 解析 sin π12－3cos π12＝2(12sin π12－32cos π12)＝2sin(π12－π3)＝2sin(－π4)＝－ 2.故选B. 2．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23 B ．－13 C.13 D.23
解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－23＝13
.故选C. 3．计算tan15°＋1tan15°
的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2 解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°
＝4.故选C. 4．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725 C ．－725 D ．－1625
解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725
. 5．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )
A.1＋m 2
B.1－m 2
C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 2 解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ，∴cos 27°＝1＋m 2，∴cos7°＝1＋m 2. 6．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ等于( )A.35 B.45 C.74 D.34
解析 因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2
，π]，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18
.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34
.故选D. 7．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79 B ．－19 C.19 D.79
解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79
. 8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( )A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析 原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22 B.33
C. 2
D. 3 解析 因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12
，所以α＝π3
，故tan α＝ 3.故选D.
10． 已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23
解析 方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos (2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16
. 方法二：cos (α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16. 11．已知tan (α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4
）的值等于( ) A.255 B ．－3510 C ．－255 D ．－31010
解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22
（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1
＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C. 12．已知sin α＝cos2α，α∈(π2
，π)，则tan α＝________． 解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0.
∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32.∴tan α＝－33
. 13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanA ·tanB ，且sinA ·cosA ＝34
，则此三角形为________． 解析 ∵tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，∴tan(A ＋B)＝－3，得A ＋B ＝120°.
又由sinAcosA ＝34，得sin2A ＝32
.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形． 14．(2017·保定模拟)计算：
3－sin70°2－cos 210°＝________． 解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°
2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2. 15.3tan12°－3（4cos 212°－2）sin12°
＝________． 解析 原式＝3sin12°cos12°－32（2cos 212°－1）sin12°
＝23（12sin12°－32cos12°）cos12°
2cos24°sin12° ＝23sin （－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12
sin48°＝－4 3. 16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14
，则cos4x ＝________．
解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)， ∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14. ∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12
. 17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135
，则tan2α＝________．答案 －34 解析 sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135. ∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45
. ∵2k π－π2
<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )． 又∵cos2α＝45
>0，∴2α为第四象限的角． sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34
. 18．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________．答案 0或π4
19．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭
⎫5π6－2α的值． 解析 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255
. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22
×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×
55×(－255)＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45，＝－4＋3310.
1．设f(sinx)＝cos2x ，那么f(32)等于________．答案 －12
2．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝________．解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α
＝134. 3．若cos2αsin （α－π4
）＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72
解析 cos2αsin （α－π4）＝sin （π2－2α）sin （α－π4）＝2sin （π4－α）cos （π4－α）sin （α－π4）＝－2cos(π4－α) ＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22.所以sin α＋cos α＝12.。