2-4 线性系统的传递函数

§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
dc (t ) T + c (t ) = Kr (t ) dt C (s) K G (s) = = R ( s ) Ts + 1 ( 2 − 55) ( 2 − 56 )
传递函数为
式中T为时间常数，K为比例系数 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化， 存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间 也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。
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若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号， 则有 1 1 K 1
C(s) = G(s) R(s) = ⋅ = K( − Ts + 1 s s
− t T
由拉氏变换得 C ( t ) = K (1 − e
1 s+ T
)
)
可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数 函数变化的。当t=3T~4T时，输出才能接近其稳态值。 如下图所示 c(t)
Lf di f
=
式中τ f
dt Lf
+ Rf i f = u f
或
τf
di f dt
+if =
1 uf Rf
Rf
为激磁绕组的电磁时间常数。
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3.积分环节 积分环节的微分方程是
dc ( t ) = Kr ( t ) dt 或
传递函数为
( 2 − 57 ) ( 2 − 58 )
( 2 − 59 )
1 ∫ r ( t ) dt T C (s) K 1 G (s) = = = R (s) s Ts c (t ) =
R(s) G(s) C(s)
3
二、传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数具有 以下性质： 1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统 本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入 信号和初始条件无关。 2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项 式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系 数均为实数。 3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的 物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函 数。 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 4
dr ( t ) c (t ) = τ dt
传递函数为 G (s) = C (s) = τs R(s)
( 2 − 62 )
( 2 − 63 )
式中τ为微分时间常数。 理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的 微商，该环节的数学运算是微分运算。 理想微分环节的单位阶跃响应为
dr ( t ) c (t ) = τ = τδ ( t ) dt
1
一、传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。 若线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n−1c(t ) dc(t ) + an−1 + …… + a1 + a0 c(t ) an n n −1 dt dt dt d m r (t ) d m−1r (t ) dr (t ) = bm + bm−1 + …… + b1 + b0 r (t ) m m −1 dt dt dt
1
0
T
t
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惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
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if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
T
1 RC
∫u
r
dt
∫ n ( t ) dt
式中T为计及转速、转角单位关系的常数。
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4.振荡环节 振荡环节的微分方程是
d 2 c(t) dc(t) 2 T + 2ζT + c(t) = Kr(t) 2 dt dt C ( s) K 传递函数为 = 2 2 G(s) = R(s) T s + 2ζTs + 1 (2 − 60)
( 2 − 53 )
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数 （或增益）。比例环节的传递函数为 C (s) G (s) = =K ( 2 − 54 ) R(s)
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比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地 反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。
R1 R0 ur
i0 i1
A
+
uc
在上图中，运算放大器具有很大的开环放大 系数，且其输入电流很小，可以忽略，因此A点对 地电位近似为零，于是有i0=i1=ur/R0，而电压uc又 近似等于R1两端电压，故有
这是一个强度为τ的理想脉冲。 在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。
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下图给出了微分环节的实例。
i ur C R uc
(a)
在图(a)的电路中，输出电压uc与输入电压ur间 的微分方程为 du ( t ) du ( t )
RC
c
传递函数为 式中 τ = RC 。
dt dt u c (s) τs 1 G (s) = = = τs u r ( s ) 1 + τs τs + 1
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
∫ r ( t ) dt =
式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，而T称为积分 时间常数。 积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。 由式（2-58）求得积分环节的单位阶跃响应为 c(t)=Kt c(t) 单位阶跃响应的斜率为 K， 如右图所示。 14 t
0 t
下图给出了积分环节的实例。
R ur i
j =1 n i j)
(2 − 51)
或
K r ( s − z1 )( s − z 2 ) …… ( s − z m ) = G ( s) = ( s − p1 )( s − p 2 ) …… ( s − p n )
Kr
i =1 式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系数 （放大系数）。式（ 2 - 52 ）中 zj(j=1.2.…m) 为分子 多项式的根，称为传递函数的零点。 Pi(1.2.…n) 为 分母多项式的根，称为传递函数的极点。传递函数的 零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由于传递
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三、典型环节的传递函数 一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元 件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型， 却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型 环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、 振荡环节、微分环节和滞后环节。 1.比例环节 比例环节又称放大环节。其数学方程为
c ( t ) = Kr ( t )
(2 − 49)
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
[ a n s n + a n −1 s n −1 + …… + a1 s + a 0 ]C ( s ) = [bm s m + bm −1 s m −1 + …… + b1 s + b0 ]R ( s )
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根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传 递函数为 C ( s ) b s m + b s m −1 + …… + b s + b
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
(2 − 61)
式中T为时间常数，ζ为阻尼比，对振荡环节有 c(t) 0≤ ζ<1 1 当输入为单位阶跃函数时， 可用拉氏变换求得环节的输出 响应，如右图所示
0 t
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下图给出了振荡环节的实例。
R L
K m
F(t)
y(t) ur C uc f
(b) 图(a)中，输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为
d 2u c LC + RC 2 dt du dt
c
(a)
+ u
c
= u
r
图(b)中，输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为
m d 2 y (t ) f dy ( t ) 1 + + y (t ) = F (t ) 2 k k dt k dt
可见它们都是典型的振荡环节。
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5.微分环节 理想微分环节的微分方程为
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
K (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) …… (τ m s + 1) = G (s) = (T1 s + 1)(T2 s + 1) …… (Tn s + 1) K
∏ (τ
j =1 n i i =1 m
m
j s + 1)
∏ (T s + 1) ∏ (s −
在图(c)中，选取直流测速发电机的输入量 为转角θ，输出量为电枢电压u(t)，则其输入、 输出间的微分方程为
dθ u (t ) = K ω = K dt
显然其特性相当于一个微分环节。
if θ
u(t)
(c)
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6.纯滞后环节 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时 间τ后，才能复现输入信号，在时间0到τ的时间内， 输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环 节。纯滞后环节的数学表达式为
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uc ur = R0 R1
或
R1 uc = u r = Ku r R0
式中uc为输出电压，ur为输入电压，K=R1/R0为比例 系数。 下图为一测速发电机，在不计所接负载的影响 时，其输出端电压u与输入转速n的关系为 u=Kn 式中K为测速发电机的比例系数
u
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2.惯性环节 惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微 分方程为
5
∏ (s − p )
(2 − 52)
函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有 复数零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 （2-49）的特征多项式，令该分母多项式等于零， 就可得到相应微分方程的特征方程。在特征方程 中，s的最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
c (t ) = r (t − τ ) ( 2 − 64 ) 传递函数为 C (s) G (s) = = e −τ s R(s) ( 2 − 65 )
式中τ为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单 位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。
r(t) 1 1 c(t)
0
(a)
t
0
τ
(b)
t
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上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。 它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际 元件相联系时，应注意以下几点： ⑴ 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分 的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一 个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型 的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是 一个典型的数学模型。 ⑵ 同一装置（元件），如果选取的输入、输出 量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机 以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振 荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它 却是一个积分环节。
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+ u c ( t ) = RC
r
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在图(b)中，输出电流i(t)与输入电压ur(t)间的 微分方程为
1 du r (t ) + u r (t )] i (t ) = [τ R dt 式中 τ = RC 。 其传递函数为 G (s) = 1 τ 1 I (s) = (τs + 1) = s + U (s) R R R