人教版八年级数学下册二次根式教学设计

人教版八年级数学下册二次根式教学设计
人教版数学16.1二次根式教学设计
16.1二次根式(1)
一、研究目标：
知识与技能：
1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。

2.掌握二次根式有意义的条件。

过程与方法：
先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。

情感态度与价值观：
经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题的能力及研究问题的严谨性。

二、研究重点：
理解二次根式的概念。

三、研究难点：
明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。

四、研究过程
一）复引入：
1.已知一个正数x，满足x²= a，x是a的平方根，记为√a，a一定是非负数。

2.(1) 4的算术平方根为2，用式子表示为√4=2；
2) 16的算术平方根是4，用式子表示为√16=4；
3) 2的算术平方根是√2；
4) 正数a的算术平方根为√a；
5) -7没有算术平方根。

归纳：非负数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。

二）出示研究目标：
1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。

2.掌握二次根式有意义的条件。

三）探索新知、提出问题
思考：用带有根号的式子填空
1.面积为3的正方形的边长是√3，面积为S的正方形的边
长是√S。

2.一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为√(130/2)米。

3.一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系
h=5t²。

如果用含有h的式子表示t，那么t为√(h/5)。

很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。

像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称为二次根式。

一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式（学生举
例巩固）。

四）议一议
1.-1没有算术平方根。

2.√(-a)没有实数解。

3.当a<0时，没有意义。

点评：
1.表示非负数a的算术平方根。

2.a可以是数也可以是一个含有字母的式子。

3.a≥0是a有意义的前提条件。

试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
1.√3，√(a²+1)是二次根式，因为它们表示非负数的算术平方根。

2.4，-5不是二次根式，因为4是正数，-5是负数，它们都没有算术平方根。

3.√(a/16)，x²+1，√23是二次根式，因为它们表示非负数
的算术平方根。

分析：文章格式混乱，需要重新排版。

同时，第一段话有语法错误，需要修改。

二次根式应该满足两个条件：第一，含有二次根号；第二，被开方数是非负数。

在探究过程中，教师指出含有字母的算术平方根具有一般性，需要研究。

学生需要独立完成两道题目，分别是确定二次根式在什么情况下有意义，以及解决给定的二次根式问题。

二）探究导出（a）2=a（a≥）．当a≥时，a2＝a才成立。

学生需要理解和运用（a）2=a（a≥）和a2=a（a≥）的性质，通过具体数据结合算术平方根的意义导出这个结论。

同时，学生需要掌握使用这个结论解决具体问题的方法。

三）拓展延伸
在这一部分，学生需要解决一系列问题，包括确定式子12x的取值范围、确定a的值、解决已知x24+2xy＝32和y＝3x2+x的问题等。

四）巩固练
学生需要完成课后练中的两道题目，分别是确定二次根式在什么情况下有意义和解决给定的二次根式问题。

同时，学生需要解决一个关于yx值的问题。

五）反馈总结
在这一部分，学生需要总结二次根式的概念和性质，包括二次根式必须含有二次根号和被开方数必须是非负数。

同时，学生需要总结（a）2=a（a≥）和a2=a（a≥）的运用方法。

六）布置作业
教师需要布置复巩固和综合运用的作业，以帮助学生巩固所学知识。

二、探究新知
1.讨论：a（a≥）是什么数？
我们得出结论，a（a≥）是一个非负数。

2.做一做：根据算术平方根的定义填空：
4）2=4；（2）2=4；（9）2=81；（3）2=9；（7）2=49；（1/2）2=1/4；（-7）2=49.
老师点评：例如，4是4的算术平方根，因为4是一个平
方等于4的非负数。

因此，（4）2=4.综上可知，a（a≥）2=a。

3.例2的讲解
我们可以直接使用a（a≥）2=a的结论来解题。

4.巩固练
18）2×（27）2×（7）2×（4）=3844；（35）2-（53）2=-648.
5.在实数范围内分解下列因式：
1）x2-3=(x+√3)(x-√3)；（2）x4-4=(x2+2)(x2-2)；（3）
2x2-3=（√2x-√3）（√2x+√3）。

三、探索升华
1.我们猜想当a≥时，a2=a是否成立？下面我们来探究这个问题。

1/2 2=1/4；0.0122=0.；(√3)2=3；(-23)2=529；2 2=4；(-
7/3)2=49/9.
2.明确：根据算术平方根的定义，我们可以得出：
22=2；0.012=0.01；(√3)2=3；(-23)2=529；2=0；(-
7/3)2=49/9.
因此，一般地，a2=a（a≥）。

3.巩固练
1）9；（2）16；（3）25；（4）9；（5）（x+1）2
（x≥0）；（6）a4（a≥0）；（7）(a+1)4（a任意）；（8）(2x-3)2(2x-3)2.
四、应用拓展
当a≥0时，a2=a；当a<0时，a2= -a。

根据这一性质回答下列问题：
1）若a2=a，则a可以是什么数？
a可以是0或1.
2）若a2=-a，则a可以是什么数？
a可以是0或-1.
明确：根据（1）和（2），我们得出a2=│a│。

五、归纳小结
二次根式的性质：a（a≥）2=a，a2=a（a≥）。

同时理解：当a<0时，a2= -a。