数学建模与算术的基本运算(下)——数的用法及运算的使用意义

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问题解决的国际视野专辑8
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的结果$表示刻度上的位置$标示和编码$名词
性用法°
在孩子上小学之前，我们就希望他们知道
第一种用法：计数,如!把椅子°在他们上小学
后,我们希望他们知道0只独角兽或13.86亿
人°附加于每一个数的是计量单位:把$只$人
°或知道13.86亿&{在（）1*
的一个计,计数是数,个
计值却以小数形式呈现"
数的第二种用法是表示测量的结果,如12
厘米$6+3光年、*0千克、80千米/时或f杯°在
这些例子中,附加于数的是度量单位：厘米、光
$$米/$°度量知道度量
的性，如米和光年度量距离或长度，千
度量量,米/度量,度量°
数的第三种用法是表示比例型比较的结
果，如60!$$（概率）、5倍等"在比例型比较中
G位°比例型比较;;于法/0°
我们后比例,+,于法
/0°
:数的第四种用法是表示刻度上的位置,如
:温度中的/10!0、时间中的12：00、日期中的11
30日$的*0分贝或一个国家在国际
:研究（如12344）中的平均得分"要使用这些数,
知道刻度的数学性质,如水结冰和沸謄
:的温度、含有每个月天数的、国际研究中的
"每个刻度都有其自身的数学性质°在
上的建模（详见本刊第4期）中，我们
:能够从12：00开始做减法，是因为时钟上的时
是基于0时这一时刻的量度°如果在
上向前测量，我们可以使用负数"用于赋税
:的百分比在某人以视为负数，在代理
:机构收税时为正数°只要某个情境具有两种可
:能的方向，就数"
:数的第五种用法是标示和编码，如身份证
、密码,以及你在产品上可以看的数°不同
:于他用法，编码和标示可以使用字母和数°
:数的第六种用法是名词性用法，如幸运
:数或最大质数"这一用法来自于日常话°如
:在美国,有些人将*视为一个幸运数,而在中
,*有被视为不幸运的数°当我们问哪个数
:是最大的质数时，通常不考虑数学以外的其他
1用途°
:每种用法可以用来回答不同的现实问题°
:计数告诉我们多少,测量告诉我们多远$多快$
:多重、多贵等，比例型比较告诉我们部分如何联
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*+,!!-./012 345678"9:";."<=>.?!@AB C$DEFGHIJ'0KLDMNOPQ 秘密传递!某些数对一些人而言是幸运的或不幸运的#
使用意义是一类广义的真实情境，其中的运算就是某种数学模型。

加法源于合并或滑动情境$5们可以合并计数或合并测量，如角的测量、相邻土地的面积等。

;./或，D加一数或加一
数的滑动情境$对于使用意义，并"数情境，可以是数"数"数或数情境$我有3盒饼干，你有4盒，咱俩一共有(!#") $$
如图1,从我家到学校有3%&千米，从学校到公园为0.)，所以我从家到学校，到公园，有(3(&*+())$
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&!
一/，7,+!，7-++!，相于7.,0!* (--++!)01-2+!3或72+!$
在英语中，减法问题的答案有两个名字，对于法的%种使用意义$(数)一用于
情境的法模型，(数)一用于情境的法模型#
从2+-+到2+-4，某地的人从&-4
到4)0，法我们到量-&4:"5!成立，所以!合并型加法和取走型减法出现相同的真实情境中，滑动型加法和比较型减法相同的真实情境中#再如#+(-")=#-"，所:以含有负数的滑动型加法&滑动)是减:法中学的#
法的第一种使用意义是比率(rate),是一:个量用另一有不同属性的量度量的，答
:案为一个比率。

例如，1.5才、时行驶60千米，•均(6+"1.5)；时，从这里我们到速="时8#
法的种使用意义是比例&rati。

)，是一:个量用具有相同单位的另一个量度量的：第:一个量"第二个量=比例(一个标量，没有单位)$ ;如20-0年某地约有5N人,2016某地约有；6)0万人，则某地2016年的人口是2010年的:(6)+万"516万'倍(即约1.3倍或130")$
,我们班上有24个男生和16个女生，我们做法并说男、女生比例为每个女生对应1.5个男:生，但实际上这是一$
,法有-种使用意义$
1.,法的一种使用意义是.+运算，一:个量运作于另一个量$
:一个长为#的长方形交互于它的3",利用:乘法算得的是它的面积，即我们熟悉的公式$=#" $［t千瓦的电器使用了力小时，使用了(%#&) :千瓦时的电力$
上中，答案的单位是因数所带单位［的乘积$
: 2.乘法的第二种使用意义是尺寸改变$
:如果一个量'随一个尺寸—
—改变因子(的
万#算中的计算或从一个时间变化到另一:改变而改变，那么由乘法可以得到结果，即(#'$个都是型法的#的位与该量的位是一致的$有些人不一种算运算有种实］如有一个显微镜，其放大倍数250倍，含义#他们可能会将取走视为减法的唯一含义，［我们过它所看到的线段的度是实际度但人口情境完全不是一个取走的情境#［的250倍。

更一般地，如果我们对一个几何图形加法和减法的使用意义是相关的，就如对用放大级数),那么其中每条线段的度乘的纯数学是相关的#如当!-"=#或!-#="时，#+:)$这便是尺寸改一名称的来源。

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数学版
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!"2$34567（%%89:!/0;3
谱一半的量则只需（!100=50（克）大米$
$*@A）BCDE7FGHIJKA$
L!""=#!则!=#!"$M N$K A O!P!Q "具有不同的属性时,#就是一个比率。

所以我们将!=#!"中的除法视为比率因子型乘法$比率因子型乘法是十分常见的。

因为速率）5千米/时=5"千米"）时，所以2时x25千米/时=50千米$
（比萨/人！3人=（比萨的乘法与（比萨"
,22
3人=（比萨/人的比率型除法有关$
,
如果!和"具有相同的属性，那么#就是一个比例，则!=#!"中的乘法是尺寸改变型乘法$
问题解决的国际视野专辑B
当同一个数多次相加时，使用作为快捷方式
的乘法是十分常见的$如果我们要求$个!的
和,那么！+!+.+!&$!!，这是连加。

这不是乘法
$个!
的基本使用意义，而是乘法用于某种加法情境的
快捷方式$这有一个型的&
要,%为2-"（/的果的
价，我们可以用加法，即（200+2""+2""+2""+
2""+2""）元$但是我们学习了一种快捷方式，即
将此考虑为比率因子型乘法：6盒!2""元/盒，得
果12""（。

这，我们在一个加法中使
用乘法，是快捷式的加法$将乘法用作连加是比
率因子型乘法的一个实例。

连加是乘法的一种要用，是乘
的数$但是这不乘数的，所
以乘法的使用意义需要，与
数使用$
用数学一个实的，需要有将
实中的为数学的，以
的数学型$这一于数的使用的
:关注，然后是运算的使用意义，这是算术的基本
:应用$
:这些用法和使用意义可用于给予代数表达
1式含义。

例如，当单位价格为％、&和'的商品购
:买数量分别为（、）和*时，（+%+,&+*'）是合并
;型加法与三个比率因子型乘法一作用获得的
1一个价）在一个量从一个时一个时
的改变比率时，如某地从2"1"年到2"16年的
:人口变率，式中的被除数和除数是
:法型比较，除法是一个比率，所以用商表示
:变化率就不了*
:使用意义主要是帮助学生在某类问题情境
:中做出决策
*例如,小梅有4件衬衫和5条裙子，
的有3和6条裙子，1种套装
:包括1和1条裙子，多不同的
，小薇还是小梅？这个以在小学二年
三时教学*要求，学用加法,
法、乘法还是除法+我们知道1种套装包括1
和1条裙子，这是一个交互运算型乘法的
*那么小梅有5!4=2"（种）不同的，小薇
:有6x3=18'种）不同的。

因此，小梅可以组成
多种不同的*
:我们认为，学生在进行算术运算时自动地应
:用算术，仅是针对含较小整数的最简单问题的一
:种况*为了全面理解算术的应用，需要有
:足够宽泛的意义，以适用于整数、分数、小数、百
:分数，以及在恰当的时候用于负数*
:注：对数的用法及运算的使用意义更为详细
1的分析可见尤西斯8和贝尔的"Apply&ng A）&th-
:m-t&c/A Handbook6o）Teachers",可在线免费
:下载：/resources/apply-
:ing>arthmetic>handbook/$
;（撰写者注：本文改编于2-11年10月3-日
:在杭州召开的第十届小学数学教育峰会上的演。

本文的第一部分已在第4期刊登。

在此我要
:感谢华东师范大学的朱雁博士在峰翻译及准
;备文上所的工作）
:（作者单位：美国芝加哥大学，华东师范大学'
:m !。