青海省西宁市海湖中学2020_2021学年高二数学下学期期中试题理

青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理
考试时间：120分钟分值:150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1、设复数满足，则（）
A. B. C. D.
2、“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数．”在以上三段论推理中（）
D.大前提、小前提、推理形式错均正确
3、用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n3)(n 4)
2
++
(n∈N*)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是
( )
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
4、在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
5、3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
6、若函数在区间内是减函数,,则( )
A. B. C. D.
7、下列类比推理中，得到的结论正确的是( )
与类比，则有
，的数量积运算与实数的运算性质类比，则有
与类比，则有
D.把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和
8、甲、乙、丙等人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种.
A. B. C. D.
9、函数值是（）A. B. C. D.
10、安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
11、已知空间向量,,,,则( )
A. B. C. D.
12、已知函数,,则下列说法正确的是( )
的最大值为的最小值为
的最大值为的最小值为
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。

13、设函数,若,则__________.
14、二项展开式中，常数项是第__________项．
15、若在上可导，，则__________.
16、过点与曲线相切的直线方程为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答。

17、实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i
(1)是实数;(2)是纯虚数;(3)对应点在x轴上方?
18、证明下列不等式：
（1）用综合法证明：若, ,求证：；
（2）用分析法证明：．
19、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员. 20、如图所示，在直三棱柱中，，，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 21、如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目
(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm 2
,四周空白的宽度均为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
22、已知函数f(x)=e x
(ax 2
+a+1)(a ∈R).
(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≥2
2e 对任意x ∈[-2,-1]恒成立,求实数a 的取值范围.
西宁市海湖中学2020-2021学年
第二学期第二阶段考试高二年级数学（理科）试卷答案解析
第1题答案 A
第1题解析 由，
得.
第2题答案
A
第2题解析 指数函数（且）是上的增函数，这个说法是错误的，
要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的， ∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选A ．
第3题答案 D
第3题解析
n=1时，左边=1+2+3+4
第4题答案 A
第4题解析
根据已知逻辑关系可知,甲的预测正确,乙丙的预测错误,从而可得结果.
第5题答案 B
第5题解析
因为每个班只能选择一处游览，所以按班分成3步，而每个班都只能从5个风景点中任选一个，则共有种．
第6题答案 C
第6题解析 函数的导数,
∵函数在区间内是减函数, ∴,在区间
内恒成立,
可知
在区间
内恒成立,所以有
,
所以C 选项正确.
第7题答案 D
第7题解析 A 项， ∵
，故A 项错误；
B 项，∵，故B项错误；
C 项，，故C项错误；D项，长方体的对角线平方等于长宽高的平方和，故D项正确，故选D.
第8题答案
B
第8题解析
甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种,
∵甲乙丙的顺序为甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共种,
∴甲、乙均在丙的同侧,有种,
∴甲、乙均在丙的同侧占总数的,
∴不同的排法种数共有种.
第9题答案
D
第9题解析
.
第10题答案
D
第10题解析
只能是一个人完成2份工作,剩下2.
第11题答案
D
第11题解析
∵,∴,∴,∴,∴
. 第12题答案
D
第12题解析
,,
令,解得,令,解得,
故在递减,在递增,
故的最小值是,故选D.
第13题答案
第13题解析
,,解得.
第14题答案
第14题解析
二项展开式的通项为,令，解得，所以常数项是第项．
第15题答案
第15题解析
因为，所以，
所以，所以，所以，
.
第16题答案
第16题解析 代入可得点
不在曲线上,设切点坐标为
,由
得
,
切线方程为
,
切线过点,
,即
,
,
即所求切线方程为.
第17题答案
解:(1)由m 2
-2m-15=0,得m=5或m=-3.
∴当m=5或m=-3时,z 为实数.
(2)由22
m 2m 150,m 5m 60,
⎧--≠⎨++=⎩得m=-2, ∴当m=-2时,z 为纯虚数.
(3)由m 2
-2m-15>0,得m<-3或m>5.
∴当m<-3或m>5时,z 的对应点在x 轴上方. 第18题答案 （1）证明∵
，∴
，
∴,∴． （2）证明：要证成立,
只需证, 即证,
只需证,即证
显然为真,
故原式成立.
第19题答案 (1) (2) (3)
（4）
第19题解析
（1）第一步：选3名男运动员，有种选法.
第二步：选2名女运动员，有种选法.
共有
种选法.
（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理可得总选法数为
种.
方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有
种选法，其中全是男运动员的选法有
种.
所以“至少有1名女运动员”的选法为种.
（3）方法一 可分类求解： “只有男队长”的选法为； “只有女队长”的选法为
；
“男、女队长都入选”的选法为；
所以共有
种选法.
方法二 间接法： 从10人中任选5人有
种选法.
其中不选队长的方法有
种.所以“至少1名队长”的选法为
种.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有
种选法.不选女队长时，必选男队长，共有
种，所以不选女队长时的选法共有种.
第20题答案
（1）略; （2）
第20题解析 ∵
，∴
．
∵三棱柱
为直三棱柱， ∴
．
∵，∴平面．
以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
．
（1），，，
∵，，∴，，即
，．
∵，∴平面.
（2）设是平面的法向量，由得
,
取，则是平面的一个法向量．
又是平面的一个法向量，且与二面角的大小相等．
由．
故二面角的余弦值为．
第21题答案
（Ⅰ）.解:设矩形广告的高和宽分别为x cm,y cm,面积为S cm2.则每栏的高和宽分别为x-20,
y25
2
-
,其中x>20,y>25.
由两栏面积之和为2(x-20)·
y25
2
-
=18 000,
得y=
18000
x20
-+25.
广告的面积S=xy=x
18000
25
x20
⎛⎫
+
⎪
-
⎝⎭=
18?000x
x20
-+25x,
∴S'=
2
18000[(x20)-x]
(x20)
-
-+25=2
360000
(x20)
-
-+25.
令S'>0,得x>140,令S'<0,得20<x<140.
∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减.
∴当x=140时,S取得最小值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
第22题答案
.解:(1)当a=-1时,f(x)=-x2e x,f(1)=-e.
f'(x)=-x2e x-2x e x,
因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,
所以f(x)在点(1,-e)处的切线方程为:y=-3e x+2e.
(2)由题意得,f(-2)=e-2(4a+a+1)≥
2
2
e
,即a≥1
5
.
f'(x)=e x(ax2+2ax+a+1)=e x[a(x+1)2+1],
因为a≥1
5
,所以f'(x)>0恒成立,
故f(x)在[-2,-1]上单调递增,
要使f(x)≥22e 恒成立,则f (-2)=e -2
(4a+a+1)≥22e ,解得a≥15
.
故实数a 的取值范围是1,5⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
.。