5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 省优获奖课 公开课一等奖课件.ppt 公开课一等奖课件
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个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
(10y+x)－(10x+y)
x y 7, (100 x y) (10 y x) (10 y x) (10 x y).
x 1, 解这个方程组得, y 6.
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
答：这个两位数是63，另一个两位数是21.
知识拓展
5. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h， 从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲 地的下坡路和上坡路. 解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米. 依题意得
x 28 x 42 y 1 4 42 2 y 2 4 28 3
从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）
6.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写 上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然 后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以 第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大 数与三倍小数的和是72，求这两个两位数．
二 利用二元一次方程组解决行程问题 问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡
路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟
走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为下坡路. 平路：60 m/min
第五章 二元一次方程组
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
学习目标
1.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题． （重点） 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
导入新课
问题引入
你能回答吗？ 1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这 10x+y 个两位数可表示为：_________ 2. 一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b， 100 a+10b+c 个位数字为c，则这个三位数为： __________.
4．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位 数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为 8484．求这个两位数．
解：设这个两位数为x，另一个为y，由题意，得
x 3 y, (100x y ) (100 y x) 8484.
解这个方程组得
x 63, y 21.
路程=平均速度×时间 走平路的时间+走下坡的时间=________ ， 10
15 走上坡的时间+走平路的时间= _______ ．
方法一（直接设元法） 解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m.
平路 坡路 时间 时间 上学 放学
x 60 x 60 y 80 y 40
总 时 间
根据题意，可列方程组：
解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y.
x y 11, 根据题意，得 10x y 10 y x 9, x 6, 解得 y 5.
10y＋x＝56.
答：原来的两位数为56.
[归纳总结] 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设 这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设 为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适 的等量关系，列出方程组，再进行求解．
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解计算器开方的方法．（重点） 2.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点）
导入新课 观察与思考
试着在自己的计算器里输入同样的算式
想一想开方运算
要用到哪些键？
讲授新课
一 用计算器开方
对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数
=
对于开立方运算，按键顺序为： SHIFT 被开方数 =
100x+y (3)14:00时小明看到的数可以表示为____________
(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的 路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
12:00至13:00所走的路程
13:00至14:00所走的路程
(100x+y)－(10y+x) = 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，
是的
当堂练习
1.用计算器比较下面两数的大小： (1) 5 1; (2) 6 7 π.
解:（1） 5 1 3.236 067 978； （2） 6 7 π 3.339 148 045；
如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人
0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示
题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
（1） 同时出发，同向而行
甲2h行程
甲出发点 4km
乙出发点 乙2h行程
甲追上乙
甲2h行程=4kmຫໍສະໝຸດ 乙2h行程 （2） 同时出发，相向而行
解：设大的两位数是x，小的两位数是y，则第一个五位数是 1000x+y，第二个五位数是1000y+10x，由题意，得
1000x y 2(1000 y 10x) 590, 2 x 3 y 72.
x 21, 解得 y 10.
答：这两个两位数分别为21和10.
度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（A ）
A．1.2 km，3.6 km；
C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km；
D．3.2 km，1.6 km．
【解析】设上坡用x时，下坡用y时，据题意得：
6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5. x＝0.2， y＝0.3.
0.2 6 1.2,0.3 12 3.6
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
总结归纳
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题 [方程(组)]
解 方 程 （ 组 ）
实际问题的 答案
双检验
数学问题的解
当堂练习
1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另
一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小
颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速
例1：两个两位数的和为 68,在较大的两位数的右边接 着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的 左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个
四位数比后一个四位数大2 178, 求这两个两位数.
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则 x+y=68 (100x+y)-(100y+x)=2178 y=23 答:这两个两位数分别是45和23.
根据题意，可列方程组：
60(10 x) 60(15 y) 80 x 40 y x 5 解方程组，得 y 10
80 x
40 y
故 平路距离：60×（10-5）=300（米） 坡路距离：80×5=400（米） 所以，小明家到学校的距离为700米.
典例精析
例2 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.
解方程组,得:
x=45
练一练
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字
之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字
对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来 的两位数．
[分析] 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合 适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的， 所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为： 十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋ 9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列 出方程组．
相遇地 甲0.5h 行程
乙0.5h 行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
甲出发点 4km
乙出发点
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题 意与分析中图示的两个相等关系，得
2 x 2 y 4， 0.5x 0.5 y 4. x 5， 解方程组，得 y 3.
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因
此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种
多样的，应根据具体问题灵活选用.
第二章
实数
2.5 用计算器开方
导入新课
讲授新课
例1：用计算器计算： (1) 5.89 ; 解：(1) (2) 3 2 ; 7 5.89, (3)3 1285.
显示 2.426 932 22；
(2) SHIFT
(2÷7) , 显示 0.658 633 756；
(3) SHIFT
-1285,
显示 －10.871 789 69.
二 用计算器比较数的大小
讲授新课
一 利用二元一次方程组解决数字问题
做一做
1．用字母表示两位或两位以上的数． 一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数 可表示为________ 10b＋a ；如果交换个位和十位上的数字，那么 10a＋b ． 得到一个新的两位数可表示为_________ 2．表示变换数位后的多位数． (1)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x， 100x＋y ．同理，如果将x放在y的右边， y表示这个四位数为________ 100y＋x ． 那么得到一个新的四位数为___________ (2)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在 n＋m． 它们之间添上零，那么用代数式表示这个三位数为100 _______
解得
故选A.
2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到
里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；
8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和
十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看 到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是 18 .
【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位 数字是y，那么 时刻 7:00 十位数字 x 个位数字 y 表达式 10x+y
合作探究
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，
下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明
在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数， 它的两个数字 之和为7．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0． 十位数字与个位数 字与12:00时所看 到的正好互换了．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位 数字是y.那么 10x+y (1)12:00时小明看到的数可以表示为____________ 10y+x (2)13:00时小明看到的数可以表示为_____________
解：设这个两位数的十位数为x，个位数为y，则有：
10 x y 3x y 23, 5x y 1 10 x y .
解这个方程组,得 答：这个两位数是56．
x 5, y 6.
56-3(5+6)=23 56÷(5+6)=5…1
x y 10 60 80 x y 15. 60 40
10
15
x 300 解方程组，得 y 400
所以，小明家到学校的距离为700米.
方法二（间接设元法） 解：设小华下坡路所花时间为xmin, 上坡路所花时间为ymin.
平路 距离 上学 60(10 x) 放学 60(15 y) 坡路 距离
8:00 9:00
x+y=9
y
x
10y+x 8(10x+y)
解得 x=1 y=8
8(10x+y)-(10y+x)=10y+x-(10x+y)
故李刚在7:00时看到的数是18.
3．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果
是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5， 余数是1．这个两位数是多少？
例2：利用计算器比较下列两数的大小.
3
3
与
2
3， 显示 1.442 249 57；
SHIFT 解: 按键： 按键： 所以
3
2，
显示 1.414 213 562；
3＞ 2.
试一 试
任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行
开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方
次数的增加，你发现了什么？ 计算的结果越来越接近１ 改用另一个小于1的正数试 一试，看看是否仍有类似 规律？
(10y+x)－(10x+y)
x y 7, (100 x y) (10 y x) (10 y x) (10 x y).
x 1, 解这个方程组得, y 6.
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
答：这个两位数是63，另一个两位数是21.
知识拓展
5. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h， 从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲 地的下坡路和上坡路. 解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米. 依题意得
x 28 x 42 y 1 4 42 2 y 2 4 28 3
从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）
6.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写 上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然 后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以 第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大 数与三倍小数的和是72，求这两个两位数．
二 利用二元一次方程组解决行程问题 问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡
路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟
走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为下坡路. 平路：60 m/min
第五章 二元一次方程组
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
学习目标
1.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题． （重点） 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
导入新课
问题引入
你能回答吗？ 1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这 10x+y 个两位数可表示为：_________ 2. 一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b， 100 a+10b+c 个位数字为c，则这个三位数为： __________.
4．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位 数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为 8484．求这个两位数．
解：设这个两位数为x，另一个为y，由题意，得
x 3 y, (100x y ) (100 y x) 8484.
解这个方程组得
x 63, y 21.
路程=平均速度×时间 走平路的时间+走下坡的时间=________ ， 10
15 走上坡的时间+走平路的时间= _______ ．
方法一（直接设元法） 解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m.
平路 坡路 时间 时间 上学 放学
x 60 x 60 y 80 y 40
总 时 间
根据题意，可列方程组：
解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y.
x y 11, 根据题意，得 10x y 10 y x 9, x 6, 解得 y 5.
10y＋x＝56.
答：原来的两位数为56.
[归纳总结] 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设 这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设 为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适 的等量关系，列出方程组，再进行求解．
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解计算器开方的方法．（重点） 2.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点）
导入新课 观察与思考
试着在自己的计算器里输入同样的算式
想一想开方运算
要用到哪些键？
讲授新课
一 用计算器开方
对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数
=
对于开立方运算，按键顺序为： SHIFT 被开方数 =
100x+y (3)14:00时小明看到的数可以表示为____________
(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的 路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
12:00至13:00所走的路程
13:00至14:00所走的路程
(100x+y)－(10y+x) = 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，
是的
当堂练习
1.用计算器比较下面两数的大小： (1) 5 1; (2) 6 7 π.
解:（1） 5 1 3.236 067 978； （2） 6 7 π 3.339 148 045；
如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人
0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示
题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
（1） 同时出发，同向而行
甲2h行程
甲出发点 4km
乙出发点 乙2h行程
甲追上乙
甲2h行程=4kmຫໍສະໝຸດ 乙2h行程 （2） 同时出发，相向而行
解：设大的两位数是x，小的两位数是y，则第一个五位数是 1000x+y，第二个五位数是1000y+10x，由题意，得
1000x y 2(1000 y 10x) 590, 2 x 3 y 72.
x 21, 解得 y 10.
答：这两个两位数分别为21和10.
度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（A ）
A．1.2 km，3.6 km；
C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km；
D．3.2 km，1.6 km．
【解析】设上坡用x时，下坡用y时，据题意得：
6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5. x＝0.2， y＝0.3.
0.2 6 1.2,0.3 12 3.6
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
总结归纳
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题 [方程(组)]
解 方 程 （ 组 ）
实际问题的 答案
双检验
数学问题的解
当堂练习
1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另
一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小
颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速
例1：两个两位数的和为 68,在较大的两位数的右边接 着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的 左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个
四位数比后一个四位数大2 178, 求这两个两位数.
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则 x+y=68 (100x+y)-(100y+x)=2178 y=23 答:这两个两位数分别是45和23.
根据题意，可列方程组：
60(10 x) 60(15 y) 80 x 40 y x 5 解方程组，得 y 10
80 x
40 y
故 平路距离：60×（10-5）=300（米） 坡路距离：80×5=400（米） 所以，小明家到学校的距离为700米.
典例精析
例2 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.
解方程组,得:
x=45
练一练
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字
之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字
对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来 的两位数．
[分析] 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合 适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的， 所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为： 十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋ 9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列 出方程组．
相遇地 甲0.5h 行程
乙0.5h 行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
甲出发点 4km
乙出发点
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题 意与分析中图示的两个相等关系，得
2 x 2 y 4， 0.5x 0.5 y 4. x 5， 解方程组，得 y 3.
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因
此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种
多样的，应根据具体问题灵活选用.
第二章
实数
2.5 用计算器开方
导入新课
讲授新课
例1：用计算器计算： (1) 5.89 ; 解：(1) (2) 3 2 ; 7 5.89, (3)3 1285.
显示 2.426 932 22；
(2) SHIFT
(2÷7) , 显示 0.658 633 756；
(3) SHIFT
-1285,
显示 －10.871 789 69.
二 用计算器比较数的大小
讲授新课
一 利用二元一次方程组解决数字问题
做一做
1．用字母表示两位或两位以上的数． 一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数 可表示为________ 10b＋a ；如果交换个位和十位上的数字，那么 10a＋b ． 得到一个新的两位数可表示为_________ 2．表示变换数位后的多位数． (1)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x， 100x＋y ．同理，如果将x放在y的右边， y表示这个四位数为________ 100y＋x ． 那么得到一个新的四位数为___________ (2)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在 n＋m． 它们之间添上零，那么用代数式表示这个三位数为100 _______
解得
故选A.
2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到
里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；
8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和
十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看 到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是 18 .
【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位 数字是y，那么 时刻 7:00 十位数字 x 个位数字 y 表达式 10x+y
合作探究
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，
下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明
在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数， 它的两个数字 之和为7．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0． 十位数字与个位数 字与12:00时所看 到的正好互换了．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位 数字是y.那么 10x+y (1)12:00时小明看到的数可以表示为____________ 10y+x (2)13:00时小明看到的数可以表示为_____________
解：设这个两位数的十位数为x，个位数为y，则有：
10 x y 3x y 23, 5x y 1 10 x y .
解这个方程组,得 答：这个两位数是56．
x 5, y 6.
56-3(5+6)=23 56÷(5+6)=5…1
x y 10 60 80 x y 15. 60 40
10
15
x 300 解方程组，得 y 400
所以，小明家到学校的距离为700米.
方法二（间接设元法） 解：设小华下坡路所花时间为xmin, 上坡路所花时间为ymin.
平路 距离 上学 60(10 x) 放学 60(15 y) 坡路 距离
8:00 9:00
x+y=9
y
x
10y+x 8(10x+y)
解得 x=1 y=8
8(10x+y)-(10y+x)=10y+x-(10x+y)
故李刚在7:00时看到的数是18.
3．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果
是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5， 余数是1．这个两位数是多少？
例2：利用计算器比较下列两数的大小.
3
3
与
2
3， 显示 1.442 249 57；
SHIFT 解: 按键： 按键： 所以
3
2，
显示 1.414 213 562；
3＞ 2.
试一 试
任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行
开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方
次数的增加，你发现了什么？ 计算的结果越来越接近１ 改用另一个小于1的正数试 一试，看看是否仍有类似 规律？