2022高三总复习数学教案 平面解析几何

第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[备考领航]
[重点准·逐点清]
重点一 直线的倾斜角与斜率 1．倾斜角的定义
[提醒] 直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率
[提醒]如果y
2
＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
[逐点清]
1．(多选)关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为－1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
解析：选BD任一直线都有倾斜角，但不都存在斜率；倾斜角为135°的直线的斜率为－1；若一条直线的倾斜角为α且不为直角，则它的斜率为k＝tan α；直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．故选B、D.
2．(必修2第89页A组4题改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()
A．1B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A由题意得
m－4
－2－m
＝1，解得m＝1.
3．(易错题)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()
A．π
6B．
π
3
C．2π
3D．
5π
6
解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k＝－
3
3
，设直线的倾斜角为α，则tan α
＝－3
3，又α∈[0，π)，所以α＝5π
6.故选D.
重点二直线方程的五种形式
[提醒]求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
[逐点清]
4．(必修2第95页3题改编)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－3
4，则直线l的方
程为()
A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析：选A由y－5＝－3
4(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
5．(必修2第96页例4改编)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为() A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，中位线MN所在直线的方程为y－4
2－4
＝
x－2
3－2
，整理
得2x＋y－8＝0.
6．(易错题)经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________．解析：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l
的方程为y＝1
4x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为x
a
＋y
a
＝1，因为l过点(4,1)，所以4
a
＋1
a
＝
1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y －5＝0.
答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0
[记结论·提速度]
[记结论]
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
牢记口诀：遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．特殊直线的方程
(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. [提速度]
1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π
4 B ．⎣⎡⎭⎫3π
4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭
⎫π
2，π D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭
⎫3π
4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1
＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭
⎫3π
4，π. 2．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线l 的倾斜角α为0，则直线l 的方程为________．
解析：因直线的倾斜角为0，则1＋t ＝2t ，∴t ＝1，∴直线l 的方程为y ＝2. 答案：y ＝2
]
[例1] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭
⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤
π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤
π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2
D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤
π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.
(2)如图，设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．
当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．
故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
[对点变式]
1.(变条件)若本例(1)的条件变为“直线x sin α＋y ＋2＝0”的倾斜角的取值范围为____________．
解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π
4
≤θ＜π.
答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭
⎫3π
4，π 2.(变条件)若将本例(2)中“P (1,0)改为P (－1,0)”，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．
解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，
即(3k －1)(k －3)≤0，解得1
3≤k ≤ 3.
即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤1
3，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3
[解题技法]
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 2．斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1
x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．
[跟踪训练]
1．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．
解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －3
5－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，
即a ＝4.
答案：4
2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π
3，π，则k 的取值范围是________．
解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫3
3，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π
3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭
⎫
33，1.
答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭
⎫33，1
[师生共研过关]
[例2] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为____________；
(2)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．
[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为
x 2a ＋y
a
＝1， 将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－1
2，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.
(2)设C (x 0，y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7＋x 02，y 0＋32.
因为点M 在y 轴上，所以5＋x 0
2＝0，所以x 0＝－5.
因为点N 在x 轴上，所以y 0＋3
2＝0，
所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－5
2，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y
－52＝1，
即5x －2y －5＝0.
[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)5x －2y －5＝0
[解题技法]
1．求解直线方程的2种方法
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在； (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0； (3)应用一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0.
[跟踪训练]
1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0
D ．x －y ＝0
解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－1
1－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的
斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.
2．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
10
10
的直线方程为________________． 解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13
(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0.
答案：x ±3y ＋4＝0
3．经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 答案：
x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0
[师生共研过关]
[例3] 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两
点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．
[解] 法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，
则可得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2k －1k ，0，B (0,1－2k )．
∵与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎨
⎧
2k －1k ＞0，1－2k ＞0
⇒k ＜0.
于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥1
2⎣⎡⎦
⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4.
当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－1
2时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y
－1＝－1
2
(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
法二：设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1
b ＝1. 又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝1
2
ab 有最小值为4.
此时，直线l 的方程是x 4＋y
2＝1.
[对点变式]
(变设问)本例条件不变，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．
解：由例3知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)．
∴|MA |·|MB |＝ 1k
2＋1·4＋4k 2 ＝21＋k 2|k |
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
(－k )＋1(－k )≥4. 当且仅当－k ＝－1
k ，即k ＝－1时取等号．
此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
[解题技法]
与直线方程有关问题的3大类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程； (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
[跟踪训练]
1．当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．
解析：直线2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)．由⎩
⎪⎨⎪⎧
kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2k k 2＋2，所
以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1
k ＋2
k ，又k ＋
2k ≥2
k ·2k ＝22(当且仅当k ＝2时取等号)，故三角形面积的最大值为24. 答案：
2
4
2．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．
解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上．可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12
. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值1
2.
答案：1
2
[课时过关检测]
A 级——基础达标
1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( )
A ．60°
B ．30°
C ．120°
D ．150°
解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α.∵A (1，3)，B (－1，33)，∴k AB ＝33－3
－1－1＝
－3，∴tan α＝－3，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.故选C ．
2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )
解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．
3．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )
A ．y ＝3x ＋2
B ．y ＝3x －2
C ．y ＝3x ＋12
D ．y ＝－3x ＋2
解析：选A 直线x －2y －4＝0的斜率为1
2，∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方
程为y ＝3x ＋2.
4．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 由题意知，A ，B 同号，所以直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A
B ＜0，在y 轴上的截距为－C
B ＞0，所以直线不通过第三象限．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y
a ＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行y 轴的直线
C ．经过点P (1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ·(x －1)
D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)·(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0
解析：选BD 对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程x a ＋y
a ＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程形式为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，根据P 1P 2―→∥P 1P ―→
可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确．故选B 、D.
6．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．2x －y ＝0
D ．x －y －1＝0
解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k ＝
2－0
1－0
＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，求得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故选A 、B 、C ．
7．(2021·全国统一考试模拟演练)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
解析：如图，设正方形的对角线的倾斜角为α，则tan α＝2， 则正方形的两个邻边的倾斜角分别为α＋π4，α－π
4，
所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4 ＝tan α＋tan
π41－tan π4·tan α＝2＋1
1－2
＝－3，
tan ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝tan α－tan
π
41＋tan α·tan
π4
＝2－11＋2＝13
， 所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为－3，1
3.
答案：－3
13
8．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为____________．
解析：因为直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，所以直线l 过平行四边形对角线BD 的中点(3,2)，又直线l 过原点，所以直线l 的方程为y ＝23
x .
答案：y ＝2
3
x
9．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的
取值范围是________．
解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2,2]
10．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．
解析：∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2
b a ·a b ＝4，
当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案：4
11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1
6
.
解：(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83
. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝1
6x ＋b ，它在x 轴上的截距是－
6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
12．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．
解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋1
2
×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝
⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12
时，四边形的面积最小．
B 级——综合应用
13．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列选项正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－α
B ．无论α如何变化，直线不过原点
C ．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：选BCD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C 正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确．故选B 、C 、D.
14．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为____________．
解析：由题意，线段AB 的中点为M (1,2)，k AB ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线为y －2＝1
2
(x －1)，即x －2y ＋3＝0，
因为AC ＝BC ，所以△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线方程为x －2y ＋3＝0.
答案：x －2y ＋3＝0
15．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，求
y ＋3
x ＋2
的最值．
解：如图，作出y ＝x 2
－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则
y ＋3x ＋2
表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB .易得A (1,1)，B (－1，5)，所以k PA ＝1－(－3)1－(－2)＝4
3，
k PB ＝5－(－3)－1－(－2)
＝8，所以43≤k ≤8，
故
y ＋3
x ＋2
的最大值是8，最小值是4
3.
C 级——迁移创新
16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．
(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；
(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．
解：(1)由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ，则F (x ，y )＝kx －y ＝0， 因为A (－1,1)，B (2,3)，线段AB 上所有点都在直线l 同侧， 则F [A ]·F [B ]＝(－k －1)(2k －3)>0， 解得－1<k <3
2
.
(2)因为F [O ]<0，所以F [P ]＝(3x ＋4y －5)·4－x 2－y 2<0， 故⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋4y －5<0，x 2＋y 2<4，
点集S 为圆x 2＋y 2＝4在直线3x ＋4y －5＝0下方
内部，如图所示，
设直线与圆的交点为A ，B ，则O 到AB 的距离为1，
故∠AOB ＝
2π3
， 因此，所求面积为S ＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π
3＋ 3.
第二节 两直线的位置关系
[备考领航]
[重点准·逐点清]
重点一 两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直
[提醒] 在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑．
2．两条直线的交点
[逐点清]
1．(必修2第103页例2改编)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A ．⎝⎛⎭⎫25，95 B ．⎝⎛⎭⎫－25，9
5 C ．⎝⎛⎭⎫25
，－9
5 D ．⎝⎛⎭⎫－25
，－95 解析：选B 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －1＝0，
x －2y ＋4＝0，
得⎩⎨⎧
x ＝－2
5，
y ＝9
5，
所以两直线的交点为⎝⎛⎭
⎫－25，95. 2．(必修2第109页A 组3题改编)若直线mx －3y －2＝0与直线(2－m )x －3y ＋5＝0互相平行，则实数m 的值为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．0
解析：选C 两直线平行，其系数满足关系式－3m ＝－3(2－m )，解得m ＝1.
3．(易错题)若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．3 B ．0 C ．－3
D ．0或－3
解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－3.故选D.
重点二 三种距离
[提醒]在运用两平行直线间的距离公式时，易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，从而盲目套用公式导致出错．
[逐点清]
4．(必修2第110页B组2题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
|a－2＋3|
＝1，
解析：由题意得，
12＋(－1)2
∴|a＋1|＝2，∵a>0，∴a＝2－1.
答案：2－1
5．(易错题)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋8y＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
|－3－7|
＝解析：直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝
32＋42 2.
答案：2
[记结论·提速度]
[记结论]
1．两个充要条件
(1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0；
(2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋
B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．四类常用的对称关系
(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；
(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
[提速度]
1．直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为()
A．1B．0
C．2 D．－1或0
解析：选D由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
2．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________________．
解析：由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
答案：3x＋4y－11＝0
3．点P(2,5)关于x＋y＝1的对称点的坐标为________．
解析：点P(2,5)关于x＋y＝1的对称点的坐标为(1－5,1－2)即(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
] [例1](1)设不同直线l
1
：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝()
A．2或1
2B．
1
3或－1
C ．13
D ．－1
(3)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．
[解析] (1)当m ＝2时，易知两直线平行，即充分性成立． 当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2
m ＝m －1，
解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C ．
(2)因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝1
3
或a ＝－1.故选B.
(3)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ＋1＝0，
x －3y ＋4＝0，
解得⎩⎨⎧
x ＝－5
3，
y ＝7
9，
即交点为⎝⎛⎭
⎫－53，7
9， 因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝4
3
.
由点斜式得所求直线方程为y －79＝4
3⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，
可解得交点为⎝⎛⎭
⎫－53，7
9，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
[答案](1)C(2)B(3)4x－3y＋9＝0
[解题技法]
1．两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在：(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
2．解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[跟踪训练]
1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9
C．11 D．－7
解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
2．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b 的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)由已知可得l2的斜率存在，
且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0. ∵k 2＝1－a ，k 1＝a
b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， 即a
b (1－a )＝－1.①
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，
∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a
b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b ＝b .④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
]
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3
D ．2
(2)若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是 5，则m ＋n ＝( )
A ．0
B ．1
C ．－2
D ．－1
[解析] (1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离d ＝|k ·0＋(－1)·(－1)＋k |k 2＋1＝|k ＋1|
k 2＋1
＝
k 2＋2k ＋1
k 2＋1
＝
1＋2k
k 2＋1
.当k ＝0时，d ＝1；当k ≠0
时，d ＝
1＋2k k 2＋1
＝ 1＋
2
k ＋1k
，要使d 最大，需k >0且k ＋1
k 最小，∴当k ＝1时，d max ＝2，故选B.
法二：记点A (0，－1)，直线y ＝k (x ＋1)恒过点B (－1,0)，当AB 垂直于直线y ＝k (x ＋1)时，点A (0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，且最大值为|AB |＝2，故选B.
(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4
＝5，解得m ＝2或m
＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C ．
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式．
[跟踪训练]
1．(2021·河南安阳模拟)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2.
所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－9
2．(2021·福州模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．
解析：因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，
由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82
＝29
10，所以|PQ |的最小值
为2910
. 答案：29
10
[师生共研过关]
[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－33
13，y ＝4
13，
所以A ′⎝⎛⎭
⎫－3313，4
13. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
2×a ＋22－3×b ＋0
2＋1＝0，
b －0a －2×2
3＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫
613，3013.设m 与l 的交
点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0，
得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直
线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.
[对点变式]
(变设问)在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为_________．
解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
[解题技法]
[跟踪训练]
1．直线x－2y＋1＝0关于x＝1对称的直线方程是()
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D由已知，直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点坐标为(1,1)，又直线x－2y＋1
＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1对称的点为(3,0)，由直线方程两点式得y －0
1－0＝x －3
1－3，即x
＋2y －3＝0.
2．若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A ．4a ＋3b ＝0 B ．3a ＋4b ＝0 C ．2a ＋3b ＝0
D ．3a ＋2b ＝0
解析：选A
设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t,0)，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
b －0a －t ×2＝－1，
b ＋02＝2×a ＋t 2
，解
得4a ＋3b ＝0.
3．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
b －4
a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－
b ＋42＋3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
即M ′(1,0)．
又反射光线经过点N (2,6)，
所以所求直线的方程为y －0
6－0＝x －12－1，
即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0 [课时过关检测]
A 级——基础达标
1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直
D ．不能确定
解析：选C 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－1
2，
则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1，所以两直线相交但不垂直．
2．(2021·山东淄博模拟)已知直线l 的倾斜角为3π
4
，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．6
D ．0或6
解析：选C 由直线l 的倾斜角为
3π
4
得l 的斜率为－1， 因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1. 又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)， 所以l 1的斜率为
33－a ，故33－a
＝－1，解得a ＝6. 3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,2)或(2，－1)
D ．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|
12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)
或(2，－1)．
4．如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x ＋y －1＝0
解析：选A 因为直线AB 的斜率为
a ＋1－a
a －1－a
＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的
方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，
所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A ．
5．(多选)已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则m 的值可以为( )
A ．23
B ．－43
C ．－23
D ．43
解析：选ABC 当m ＝23时，直线l 1与l 3平行，故三条直线构不成三角形．当m ＝－4
3时，
直线l 2与l 3平行，故三条直线构不成三角形．当m ＝－2
3时，l 1，l 2，l 3交于同一点⎝⎛⎭⎫－1，－13，故三条直线也构不成三角形．当m ＝4
3时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线
能构成三角形．
6.(多选)(2021·南京市高三模拟)如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．则下列四个选项中正确的是( )
A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个
C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个
D ．若p ＝q ，则点M 在一条过点O 的直线上
解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故A 正确；若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )或(p,0)的点有且仅有2个，故B
正确；若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图，故C 正确；若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故D 不正确．故选A 、B 、C ．
7．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π
4，则a ＝
______；若l 1⊥l 2，则a ＝______；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．
解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π
4
＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－
1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|
2
＝2 2.
答案：－1 1 2 2
8．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是________． 解析：|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2
＝
2a 2－2a ＋25＝
2⎝⎛⎭⎫a －122＋49
2
， 所以当a ＝1
2时，|AB |取得最小值．
答案：1
2
9．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为________．
解析：直线l 1，l 2恒过点P (2,4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4, 所以4－k ＞0,2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝1
2×2×(4－k )
＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故当k ＝1
8
时，面积最小． 答案：18
10．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．
解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝
3－52＋4
＝－1
3，
得所求直线的方程为y －2＝－1
3(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为
线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.
答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1
11．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；
(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.
解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－8＋n ＝0，
2m －m －1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＝1，
n ＝7.
即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．
(2)∵l 1∥l 2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
－16＝0，
－m －2n ≠0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝4，
n ≠－2或⎩⎨⎧
m ＝－4，n ≠2.
即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n
8
＝－1，∴n ＝8.
即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.
12．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1－5|1＋9
＝3105
.
设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝
|－1＋m |1＋9
＝310
5
，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，
所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离
d ＝|－3＋n |9＋1
＝3105
，解得n ＝－3或n ＝9，
所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.
B 级——综合应用
13．若直线y ＝－
3
3
x ＋1和x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ．若在第一象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，1
2，使得△ABP 和△ABC 的面积相等，则m 的值为( )
A ．33
2 B ．2
3 C ．
53
2
D ．3 3
解析：选C 过点C 作直线l ，使l ∥AB (图略)，则点P 在直线l 上．由题意易知，A (3，0)，B (0,1)，则|AB |＝2，所以点C 到直线AB 的距离d ＝
22－12＝ 3. 直线AB 的方程可化
为3x ＋3y －3＝0，由△ABP 和△ABC 的面积相等，可知点P 到直线AB 的距离等于点C 到
直线AB 的距离，即
⎪
⎪⎪⎪
3m ＋3×12－3(3)2＋32
＝3，解得m ＝－332或m ＝53
2
.因为点P 在第一象
限，所以m ＝53
2
.故选C ．
14．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
解析：如图，易知定点A (0,0)，B (1,3)，且无论m 取何值，两直线垂直． 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．
所以|PA |·|PB |≤1
2(|PA |2＋|PB |2)＝5.
当且仅当|PA |＝|PB |＝5时等号成立． 答案：5
15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线，
因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2，
故直
线经过的定点为M (2，－2)．
(2)证明：过P 作直线的垂线段PQ (图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，所以M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，所以|PQ |＜42，故所证成立．
C 级——迁移创新
16．(2021·陕西渭南一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A ．10－1
B ．22－1
C ．2 2
D ．10
解析：选A 设点A (2,0)关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，
则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，b 2，k AA ′＝
b
a －2
， 故⎩⎪⎨
⎪⎧
b
a －2
·(－1)＝－1，a ＋22＋b 2＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝1.。