2022高中数学2.2.2反证法同步练习新人教A版选修2-2

选修反证法
一、选择题
1．否认结论“至多有两个解”的说法中，正确的选项是
A．有一个解
B．有两个解
C．起码有三个解
D．起码有两个解
[ 答案]C
[ 分析]在逻辑中“至多有n 个”的否认是“起码有n＋1个”，所以“至多有两个解”
的否认为“起码有三个解”，故应选C
2．否认“自然数a、b、 c 中恰有一个偶数”时的正确反设为
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或起码有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中起码有两个偶数
[答案]B
[ 分析 ]a，b，c 三个数的奇、偶性有以下几种状况：①全部是奇数；②有两个奇数，一个
偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否认②，所以假定应为“全部是奇数或
起码有两个偶数”．故应选B
3．用反证法证明命题“三角形的内角中起码有一个不大于60°”时，反设正确的选项是A．假定三内角都不大于60°
B．假定三内角都大于60°
C．假定三内角至多有一个大于60°
D．假定三内角至多有两个大于60°
[ 答案]B
[ 分析]“起码有一个不大于”的否认是“都大于60°”．故应选B
a，b，4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程a2＋ b＋ c＝0a≠0有有理根，那
么
c中起码有一个是偶数”时，以下假定正确的选
项是A．假定a，b，c都是偶数
B．假定a、b，c都不是偶数
C．假定a，b，c至多有一个偶数
D．假定a，b，c至多有两个偶数
[答案]B
[ 分析 ]“起码有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假定为a， b， c 都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否认应当是
A．ab”的否认应为“a＝ b 或 a0，1≠1且n＋1＝错误! n＝1,2，试证“数列{n}
或许对随意正整数n 都知足nn＋1”，当本题用反证法否认结论时，应为
A．对随意的正整数n，都有n＝n＋1
B．存在正整数n，使n＝n＋1
C．存在正整数，使n≥n＋1且 n ≤n－ 1
n
D．存在正整数n，使n－n－1 n－n＋1≥0
[ 答案]D
[ 分析]命题的结论是“对随意正整数n，数列{ }是递加数列或是递减数列”，其反设
n
是“存在正整数n，使数列既不是递加数列，也不是递减数列”．故应选D
二、填空题
11．命题“随意多面体的面起码有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否认是
________．
[ 答案 ]没有一个是三角形或四边形或五边形
[ 分析 ]“起码有一个”的否认是“没有一个”．
12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab 可被 5 整除，那么a，b中起码有一个能被 5 整除”，那么反设的内容是________________ ．
5 整除
[ 答案]a，b 都不可以
被
[ 分析 ]“起码有一个”的否认是“都不可以”．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不可以有两个直角”的过程概括为以下三个步骤：
①∠ A＋∠ B＋∠ C＝90°＋90°＋∠ C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠ B＝90°不建立；
②所以一个三角形中不可以有两个直角；
③假定∠A，∠ B，∠ C中有两个角是直角，不如设∠A＝∠ B＝90°
正确次序的序号摆列为____________．
[ 答案]③①②
[ 分析 ]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，一定
结论即②，即次序应为③①②
14．用反证法证明质数有无穷多个的过程以下：
假定 ______________ ．设全体质数为
1、 2、、n，令＝12n＋1
明显，不含因数1、 2、、要么是质数，要么含有______________的质因数．这表示，除
质数1、 2、、 n 以外，还有质数，所以原假定不建立．于是，质数有无穷多个．
[ 答案]质数只有有限多个除、、、
n 以外
12
[ 分析 ]由反证法的步骤可得．
三、解答题
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0
求证： a>0，b>0， c>0
[ 证明 ]用反证法：
假定 a， b，c 不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不如设 a0，则由 a＋ b＋ c>0，
可得 c>－ a＋b，
22222
矛盾，所以假定不建立．又 a＋ b0， ab>0， b >0，∴－ a － ab－ b＝－ a＋ab＋ b 0
所以 a>0， b>0， c>0建立．
16．已知a，b，c∈0,1 ．求证： 1－ab，1－bc， 1－ca不可以同时大于错误 !
[ 证明 ] 证法 1：假定 1－ab、 1－bc、 1－ca都大于错误 ! ∵a、b、c都是小于 1 的正数，∴1－a、 1－b、1－≥错误 ! ＞错误 ! ＝错误 ! ，
同理错误 !＞错误 !，错误 !＞错误 !
三式相加，得
错误!＋错误!＋错误!＞错误!，
即错误 ! ＞错误 ! ，矛盾．
所以 1－ab、1－bc、1－ca不可以都大于错误 !
证法2：假定三个式子同时大于错误!，即1－ab>错误 ! ， 1－bc>错误 ! ， 1－ca>错误 ! ，三式相乘得
1－ab1－bc1－ca>错误 ! 3①
因为 0b>b r，则只可能有2b＝b r＋b t建立．
∴2·错误 ! 错误 ! －1＝错误 ! 错误 ! r－1＋错误 ! 错误 ! t－1
两边同乘3t －11－r
，化简得 3
t － r
＋ 2
t － r－ r t －
，2＝2·2 3
因为 r <<t ，所以上式左侧为奇数，右侧为偶数，故上式不行能建立，致使矛盾．故数列 { b n} 中随意三项不行能成等差数列．。