江苏省南通市通州金沙中学2020-2021学年高二数学理期末试卷含解析

江苏省南通市通州金沙中学2020-2021学年高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y＝的图象大致是()
A. B.
C. D.
参考答案：
C
由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；
取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；
当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.
2. 阅读下列程序：
输入x；
if x＜0， then y ＝；
else if x ＞0， then y ＝；
else y＝0；输出 y．如果输入x＝－2，则输出结果y为( )
A．－5 B．－－5 C． 3＋ D． 3－
参考答案：
D
3. 若直线与平行，则的值为( )
A． B．或
C． D．
参考答案：
A
4. 如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义．
【分析】根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即
可得到=﹣+，得到本题答案．
【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）
∵=﹣，
∴=（﹣﹣）=﹣+
故选：A
5. 直线（为实常数）的倾斜角的大小是（）
A. B. C. D. 参考答案：
A
略
6. 椭圆C：的上下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是
，那么直线斜率的取值范围是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
7. 某校男子足球队16名队员的年龄如下：
17 17 18 18 16 18 17 15 18 18 17 16 18 17 18 14 ，这些队员年龄的众数（）
A.17岁
B.18岁
C.17.5岁
D.18.5岁
参考答案：
B
略
8. 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
参考答案：
C
【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinBsinC不为0，在等式两边同时除以sinBsinC，移项后再根据两角和与差的余弦函数公式化简，可得出cos（B+C）=0，根据B和C都为三角形的内角，可得两角之和为直角，从而判断出三角形ABC为直角三角形．
【解答】解：根据正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：（2RsinB）2sin2C+（2RsinC）2sin2B=8R2sinBsinCcosBcosC，
即sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC≠0，
∴sinBsinC=cosBcosC，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都为三角形的内角，
∴B+C=90°，
则△ABC为直角三角形．
故选C
【点评】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理解决了边角的关系，是本题的突破点，学生在化简求值时特别注意角度的范围．
9. 某程序框图如图所示，则输出的结果为
A ．
B ．2
C ．
D ．
参考答案：
B
10. 已知数列{a n }是递增数列，且a n =，则t 的取值范围是（ ）
A ． [0，4）
B ．
（0，4）
C ．
[﹣1，4）
D ．
（﹣1，4）
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如右图，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______．
参考答案：
100
12. 已知四面体A —BCD ，设
，
，
，
,E 、F 分别为AC 、BD 中点，则
可用
表示为
_______ ____.
参考答案：
()
略
13. 一次数学测验后某班成绩均在（20，100]区间内，统计后画出的频率分布直方图如图，如分数在（60，70]分数段内有9人．则此班级的总人数为 ．
参考答案：
60
【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计．
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量即可． 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 分数在（60，70]分数段内的频率为 0.015×10=0.15， 频数为9， ∴样本容量是
=60；
∴此班级的总人数为 60． 故答案为：60．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应用频率=进行解答，是基础题．
14. 将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有 ▲ 种（用数字作答）。

参考答案：
90
15. 已知
，则函数f （x ）的解析式为 ．
参考答案：
f （x ）=x 2
﹣1，（x≥1）
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）
【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，
代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），
化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1
故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）
故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）
16. 已知命题p：“函数在R上有零点”，命题q：函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数，若p∧q为真命题，则实数m 的取值范围为．
参考答案：
[，1]
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q 为真时的m 的范围，根据若p∧q 为真命题，取交集即可．
【解答】解：函数在R 上有零点，
即﹣=m2﹣+有解，
令g（x）=﹣≤﹣，
故m2﹣+≤﹣，
解得：≤m≤2；
故p为真时：m∈[，2]；
函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数，
则m≤1，
若p∧q为真命题，则p真q真，
故，
故答案为：[，1]．
17. 在4名男生3名女生中，选派3人作为“519中国旅游日庆典活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有_▲_种（用数作答）.
参考答案：
25
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（0，3），B（﹣2，1），C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求BC边的中线所在的直线方程；
（2）求点C关于直线AB对称点C’的坐标．
参考答案：
（1）x+y-3=0
（2）设点C关于直线AB对称点C′的坐标为（a，b），
则AB为线段CC′的垂直平分线，
由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，
故，
解得：a=0，b=7，
即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C（0，7）
19. (本小题满分10分)
求抛物线与轴围成的面积.
参考答案：
解：由得
.
20. 已知为实数，求使成立的x的范围.
参考答案：
10当m=0时，x＞1
20当m≠0时，
①m＜0时，
②0＜m＜1时，
③m=1时，x不存在
④m＞1时，
21. (文)在中，内角所对的边分别是，且bsinA=acosB.（Ⅰ）.求角B的大小。

（Ⅱ）若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值
参考答案：
（Ⅰ） bsinA=acosB.
由正弦定理得：sinB sinA=sinA cosB
0<A<,sinA ≠0,化简得：tanB=,
又0<B<,B=
（Ⅱ）,sinC=2sinA, 由正弦定理得：c=2a,
由余弦定理：得：9=
解得a=(舍负)，则由c=2a,得c=2.
22. （本小题满分10分）已知函数。

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求函数的极值；（Ⅱ）若对于都有成立，试求a的取值范围。

参考答案：
（Ⅰ）直线的斜率为－1。

函数的定义域为，
因为，所以，所以。

所以。

令
由解得；由解得。

所以的单调增区间是，单调减区间是。

所以的极小值为。

5分
（Ⅱ），
由解得；由解得。

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。

所以当时，函数取得最小值，。

因为对于都有成立，
所以即可。

则，则，
解得。

所以a的取值范围是。

10分。