江苏省侯集中学高三数学第一学期期中考试试题

江苏省侯集中学2007-2008学年度高三数学第一学期期中考试试题
本试卷分客观题与非客观题两部分，共160分.考试用时120分钟．
注意事项：
答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内.答题时，选择题答案按要求填涂在答题纸上，非选择题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在．．．．试卷上无效．．．．．
.考试结束后，上交答题纸. 一．填空题（共50分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 1．设集合{1234,5}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则U C (A B)= ▲ .
2．要使1
()3
x g x t +=+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为 ▲ ．
3．设,x y 为实数，且
5
1i 12i 13i x y +=
-- -
，则x y += ▲ ． 4．已知||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 ▲ . 5．若,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值是 ▲ ．
6．设动点坐标(,)x y 满足(1)(4)0,
3
x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩，则22x y +的最小值为 ▲ ．
7．数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和.已知11a =，3q =，364k S =，
则k a = ▲ ． 8． 用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程043=--x 的一个近似解（精确到0.01）为 ▲ .
9．一个几何的三视图如图所示：其中，主视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正
六边形，那么该几何体几的体积为 ▲ .
10．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标
（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是 ▲ ； 二．选择题（共30分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 11．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中不正确的是
A 、若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n
B 、若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n
C 、若⊥m βα⊥m ,，则α∥β
D 、若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ
12．若数列{}n a 满足2
1
2n n
a p a +=（p 为正常数，*n N ∈），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则 A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
13．在ABC ∆中，已知2222()sin(A B)()sin(A B)a b a b +-=-+，则ABC ∆的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
14．直线l 与圆221x y +=
l 与两坐标
轴围成的三角形的面积等于 A ．
32
B ．
12
C ．1或3
D ．
12或32
15．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ) = f (x ＋2)，当x ∈[3，5]时，f (x )=2－|x －4|，则
A ．(sin )(cos )66ππf f <
B ． (cos )(sin )33
2π2π
f f <
C ．(cos 2)(sin 2)f f >
D ． (sin1)(cos1)f f >
16．设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的，使
)(2
)
()(21为常数C C x f x f =+成立，
则称函数f (x )在D 上均值为C ，给出下列四个函数①3x y =
②x y sin 4= ③x y lg =
④x y 2=
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是 A ．①② B ．②④
C ．①③
D ．③④
三、解答题（共80分，其中17、18、19每题12分，20、21题14分， 22题16分，请将答
案填写到答题卡相应位置）：
17．（本小题满分12分）已知：a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，a 为实常数．
(Ⅰ) 求)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 若)(x f 在]3
6[π
π，-上最大值与最小值之和为3，求a
的值．
18．（本小题满分12分）某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯利润1
万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的
4
3
，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元. （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；
（2）当140<a ≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证
能获得大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，
E 、
F 分别为11C D 、11D A 的中点．
（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．
20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、
半径为C 与
直线y x = 相切于坐标原点O ．椭圆22
219
x y a +
=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
1A 1
D
21．（本题满分14分）设2224()(log )log 1f x a x b x =++，（,a b 为常数）．当0x >时，
()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数．
（1）若1
()02f =，且()f x 的最小值为0，求()F x 的表达式；
（2）在（1）的条件下，2()1
()log f x k g x x
+-=在[]2,4上是单调函数，求k 的取值范围．
22．（本题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,对于任意的正整数n 都有
等式211
42
n n n S a a =
+ ()n N *∈成立. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令数列,2
n
n n n a b c
T =为数列{}n b 的前n 项和,若8n T >对n N *∈恒成立,求c 的取值范围.
江苏省侯集中学07～08学年度第一学期高三期中
数学试题答案 2007.11
一．填空题（共50分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）：
1． {3，5} 2． 3t ≤- 3． 4 4． 120 5．
1
16
6． 10 7． 243 8． 1.56 9． 32 10．
二．选择题（共30分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）：
11． B 12． B 13． D 14． A 15． C 16． C
三、解答题（共80分，其中17、18、19每题12分，20、21题14分， 22题16分，请将答
案填写到答题卡相应位置）： 17．解：a x x x f +++=2sin 32cos 1)( ………………………2` 1)6
2sin(2+++
=a x π
………………………4`
（I ）)(x f 的最小正周期ππ
==
22T ………………………6` （II ）由]36[π
π，-∈x 得 ]6
56[62πππ，-∈+x ……………………… 8`
1)62sin(21≤+≤-πx 2)62sin(21≤+≤-π
x ………………10` 12)(max ++=a x f ， 11)(min ++-=a x f
332=+a ，解得0=a ……………………… 12`
18．解：（1）2)100
140100(10014.0)01.01)((2'+-+-=-+-= a x a x x x x a y 44
0,44
3
'
∈≤<≤∴≥- N x a x x a x a
x a 且的取值范围故
（2）a a a x y +-+---=22)702
(1001)]702([1001…………………………6′
21.702
1
,,
702,70
21
01,702
1
7021,.,702,4
7020,280140'
---∴--=∴'
--=-+=-=
∴≤-<≤< a a a
a a x y a x a x a y a
x a a
a a 就裁员为奇数时当应裁员为偶数时当因尽可能少裁人取最大值或为奇数时当取最大值为偶数时当时当
19．（Ⅰ）证明：⊥BC 侧面11C CDD ，
⊂DE 侧面11C CDD ，BC DE ⊥∴，
在CDE ∆中，a DE CE a CD 2,2===，则有2
2
2
DE CE CD +=， ︒=∠∴90DEC ，EC DE ⊥∴， 又C EC BC = ⊥∴DE 平面BDE ．………………………6` （Ⅱ）证明：连EF 、11C A ，连AC 交BD 于O ，
1121//
C A EF ，112
1
//C A AO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， OE AF //∴ 又⊂OE 平面BDE ，⊄AF 平面BDE ，
//AF ∴平面BDE ． ………………………12` 20．解：(1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8
已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2
n m -=22 即n m -=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m 2+n 2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得 ⎩⎨
⎧=-=2
2
n m 故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=8
………………………6`
(2)a =5，∴a 2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF =4。

要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆(x ─4)2+y 2=8与(1)所求的圆的交点数。

25
2x
9
2y
通过联立两圆的方程解得x=
54
，y=512 即存在异于原点的点Q(54，5
12
)，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长。

………
14`
21.解: （1）222()log log 1f x a x b x =++
由1
()02
f =得10a b -+=, 得222()lo
g (1)log 1f x a x a x =+++ ………………………1`
若0a =则2()log 1f x x =+无最小值.故0a ≠. ………………………2`
欲使()f x 取最小值为0,只能使204(1)04a a a a >⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩
,得1a =,2b =.
∴222()log 2log 1f x x x =++．………………………5`
得0x <则0x ->,∴222()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+，
又()()F x F x -=-,∴222()log ()2log ()1F x x x =-----，………………………7`
又(0)0F =
∴2222
22log 2log 1,0
()0,
0log ()2log ()1,
x x x F x x x x x ⎧++>⎪
-==⎨⎪-----<⎩ ………………………9` (2)2222log 2log 11()log x x k g x x
+++-=
22log 2log k
x x =++.[2,4]x ∈. ………………………11`
得2log x t =.则2k
y t t
=++,[1,2]t ∈. ∴当0k ≤,
1
2时,y 为单调函数.
综上,1k ≤或4k ≥.………………………14`
22．解：（1）
21142n n n S a a =
+ 211111(2)42n n n S a a n ---∴=+≥…………………2分 2211
11111
()4242
n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=+-+ 12n n a a -∴-= ………………………4分
又12a = 2n a n ∴= ………………………6分 （2）222n n n n
a n
b c
c == 12n n T b b b =++
+=231232()222
2
n n
c +++
+
………………………7分
设231232222
n n n M =++++ 2341112322222n n n M +=++++ 2341
1111112222222
n n n n M +∴=++++- 12
2[1]2n n n M ++∴=- ………………………10分
12
4[1]2n n n T c ++∴=- ………………………11分
由题意12
4[1]82n n c ++->
1
2212n c n +∴>
+-对n N *
∈恒成立 ………………………13分 由1212n n ++-单调性得1121142
n n ++≤-< 1
21412
n +∴<≤-
要使8n T >对n N *
∈恒成立,故8c > ………………………15分 ∴c 的取值范围是(,8)(8,)-∞⋃+∞ ………………………16分。