刚体角速度及角加速度与基点选取无关的证明

刚体角速度及角加速度与基点选取无关的证明
赵利新冯继昌
安阳师范学院
摘要：刚体的角速度及角加速度与所选基点无关，这是一个熟知的事实。

但是大部分教材却没有给出其证明过程，或者只是提了提，这里给出较为严格的证明。

而这个证明结论，有利于刚体的运动分析和进一步学习，那么证明这个结论，首先通过分析平面运动的分解。

引出其角速度及角加速度与基点无关，然后，再通过画图验证和严密的数学推理推导其正确性。

关键词：基点角速度角加速度平面运动位置矢量
引言：刚体在做平面运动时，其角速度，角加速度是解决刚体一些问题的关键性知识点，而它们与基点选取无关的证明，讲的详细的也很少。

而我们通过学习有关刚体的知识，以及翻阅资料，逐步对这个问题有更深刻的体会。

想更严格的证明一下，证明过程首先以刚体平面运动的特点进行分析讨论，从而引出角速度与角加速度与基点无关的证明。

一分析刚体平面运动的特点，引出其结论
我们用复合运动的方法，对平面运动的刚体进行研究，即把比较复杂的平面运动看成两个简单运动
-平面中运动，如图(a),t瞬时的合成。

讨论刚体平面运动的一般情况，选取一特殊平面图形S在o xy
+ 时刻，位于2位置。

其中S上A，B两点的绝对轨迹如图(a)所示
时S处于1位置，而在t t
x Ay,此平动系并不一定固结于某一实体（例如车架），是为我们以A为原点，建立一平动坐标系''
造成一个可以利用的约束条件，人为设置的抽象平动系，该平动系的原点A称为基点。

分析从位置1到位置2的运动过程。

可以得到以下结论：
（1）刚体平面运动可以分解为跟随任意选择的基点建立的平动系的平动（牵连运动），和相对
此平动系的转动（相对运动）。

从图中可以看到。

AB 从1到达2的A B ''
可以选跟随 x Ay ''平
动至A B ''' ()
AB A B ''' ,然后在相对于A '转过0
90ϕ= 而得到
（2）
将平面运动分解为平动和转动时，若基点选择不同，则平动规律随基点的选取而不同，转动规律却与基点的选取无关。

图中若选B 为基点，由于它与A 的轨迹、速度、加速度均不相同，牵连运动自然不同，但相对于运动所转过的角度不仅大小相同，而且方向也是相同的。

即A 、B 两点的角速度相同，即2190ϕϕ==
（3）
平面图形相对在任意基点所建立的坐标系所转过的角度的时间变化率为平面图形的角速
度即：
12000lim
lim lim t t t d t t t dt ϕϕϕϕ
ω→→→====。

平面图形的角速度所选基点无关
（4）
平面图形相对在任选基点所建立的坐标系的角速度就是它的绝对角速度。

由图中可看到，在t 瞬时时AB 相对于x Ay ''的方位用角度ϕ表示，而在此瞬时时AB 对于xOy 的方位也是角度
()()A t t ωω=，即()()A t t ϕϕ=，()()A t t ωω=。

这一结论是由于平动系相对于定坐标系无方位
变化所致。

（5） 对于平面图形的角速度则有与（3）（4）相同的结论。

二 引出结论后，从多方面进行论证其正确性。

（1）画图分析论证刚体平面运动的加速度与角加速度与基点选取无关 一个一般刚体，在坐标系中，如图（b ）做一个一般的平面运动
在刚体S 上任意找两点A 、B 。

而线段AB ，在瞬时t 和t '的位置分别为AB 和A B ''，他们表示图形在此两瞬时的位置。

若选点A 为基点，在t 时间段，线段AB 随基点A 平动到位置t ；然后，再绕基点A '
转过任意角度A ϕ ，达到位置A B ''；若选B 为基点，则在t 时间内，线段AB 随基点B 平动到位置A B '''，由于无论是以A 为基点，还是以B 为基点平动，都是平动，其效果是A B '''和A B '''应平行，而以B 为基点
平移到A B '''，然后在以B '为基点转过B ϕ ，也可以达到位置A B ''。

又因为A B '''平行A B '''。

所以可得到
B A ϕϕ= （1）
又以A 为基点运动时，其角速度是A ω
则由角速度公式
0lim
t d t dt ϕϕ
ω→==
得
0lim
A A
A t d t dt ϕϕω→==
(2)
若以B 为基点运动时，则刚体的角速度为B ω
0lim
B B
B t d t dt ϕϕω→==
(3)
由（1）可知，A B ϕϕ= ，且转向都是逆时针（相同），当t 趋于零时，有
00lim
lim A B A B
t t t t ϕϕ
ωω→→===
即： A B ωω= （4）
这里我们是在刚体上任选两个点A 、B 分别为基点，进行研究的，其具有一般性。

故刚体的角速度
与基点的选取无关。

又有刚体平面运动的角加速度公式
0lim
t d t dt ωω
ε→==
则对（4）式两边分别求导，可得到以A 点为基点的角加速度
0lim
A A
A t d t dt ωωε→==
对以B 点为基点的角加速度0lim
B B
B t d t dt ωωε→==
又A B ωω=
A B
A B d d dt dt ωωεε∴=
==
即： A B εε= （5）
同理，A 、B 为两任意的基点，具有一般性，而得到A B εε=。

故刚体的角加速度与基点的选取也无关。

（2）利用数学及物理规律的方法，严密推理论证此结论的正确性。

建立坐标系如下图（c ）
有一刚体S 处于xoy 平面内，做平面运动，在刚体S 上任意选取A 、B 、C 三点，若以B 点为
基点，而B 点的坐标为B r ，A 点坐标为A r 。

则
A
B BA r r r =+
（6） 而以B 点为基点做平动时，A 点的速度是 A B BA A B BA
dr dr dr v v v dt dt dt ==+=+
（7） 刚体的平面运动可看成以基点的平动和绕基点的转动，两种运动的合成。

所以由（7）式可知A 的
速度A v 是由B 点的平动速度B v 和以B 点为基点，绕其转动速度BA v
合成，又由线速度与角速度的关系
v r ω=⨯。

可得：
BA BA BA v r ω=⨯ （8）
1A B B BA
v v r ω∴=+⨯
（9）
其中B ω
表示以B 点为基点时，A 绕B 转动的角速度。

同时以B 为基点，则C 点的速度为：
C B B BC v v r ω=+⨯
（10）
若以点C 为基点，则A 点的速度为
2A C C CA v v r ω=+⨯
（11）
其中A v
表示相对于xoy 坐标系的绝对速度，那么对刚体而言，A 点的速度在同一时刻，是相同的。

故无论是以B 为基点，还是以C 为基点，计算出的速度应相等，即12A A v v =
，由（9）、（11）可得：
12A B B BA C C CA A v v r v r v ωω=+⨯=+⨯=
即： B
B BA
C C CA v r v r ωω+⨯=+⨯ 又由（10）知C B B BC v v r ω=+⨯
（以B 为基点），将其代入上式可得：
B B BA B B B
C C CA v r v r r ωωω+⨯=+⨯+⨯
故有 B BA B BC C CA r r r ωωω⨯=⨯+⨯
即： ()B BA BC C CA r r r ωω⨯-=⨯
（12）
又从图（C ）可知， BA BC CA r r r =+
CA BA BC r r r ⇒=-
（13）
将（13）式代入（12）式得：
即： ()0B C CA r ωω-⨯=
（14）
又A 点是刚体上任意一点，具有任意性，要使（14）式成立，必须使B C ωω=
，而B 、C 也是任意选取的两个基点，具有一般性，故刚体的角速度与基点的选取无关。

由角加速度公式
0lim
t d t dt ωω
ε→== ，可得到以B 为基点，A 点的角加速度B B d dt ωε=
，和以C 为基点，
A 点的角加速度
c
c d dt ωε=
，又由上述论述，在任意时刻t ，任意一点A ，相对于任意两个基点B 、C 的
角速度都相同，那么经过t 时间后，A 点的角速度增量（若以B 为基点），则为B ω ，若以C 为基点，
B CA
C CA
r r ωω⨯=⨯
其角速度增量为C ω 。

在任意时间段内，必有C B ωω= 。

00lim
lim C B
B C
t t t t ωωεε→→∴===
故 B C εε= （15） 由于B 、C 两基点任意，（15）式说明点A 的角加速度相对于任意两基点相等。

即角加速度与基点的
选取也无关。

三另一种严密的数学推导法
我们利用转动坐标系推出角速度、角加速度的一般表达式，然后从公式的表达式中推出我们所要的结论。

整个论证过程都是用数学式来证明的。

设刚体在oxy 平面内运动，绕任意基点转动的角速度方向垂直oxy 平面，如下图（d ）：
任意一点P 位置矢量ˆˆP
x y r xe ye =+ ，任意两基点A 、B 的位置矢量分别是ˆˆA A x A y r x e y e =+
和ˆˆB B x B y r x e y e =+
，A 、B 两点的角加速度
A
ε
、
B
ε。

刚体分别绕两基点A 和B （通过A 、B 点垂直于刚体
平面的轴，下同）的角速度是ˆz A A e ωω=
和
ˆz
B
B e
ωω=。

绕A 点转动的角加速度
ˆˆˆˆ0A A z A
A z A z A z d d de d e e e dt dt dt dt ωωωεωε==+=+=
，同理，ˆB B z e
εε= 。

P 点对A 、B 点的位置矢量是()()ˆˆPA P A B x B y r r r x x e y y e =-=-+- ，()()ˆˆPB P B B x B y r r r x x e y y e =-=-+-。

B 点对A 点的位置矢量是
BA B A r r r =-
当刚体绕A 点转动时，P 点的加速度是：
2
B B B PB PB B a a r r εω=+⨯- （16） B 点的加速度是
2
B A A BA BA A a a r r εω=+⨯- （17）
当刚体绕B 点转动时，P 点的加速度是：
2
2P A A BA bA B PB PB B
A a a r r r r εεωω=+⨯-+⨯- （18）
得：
2
2
P A A BA BA B PB PB A B
r r r r εεεεωω=+⨯-+⨯-
（19）
由（16）（18）两式可得：
222A A PA PA A A A BA BA A B PB PB B
a r r a r r r r εωεωεω+⨯-=+⨯-+⨯-
整理上式得： ()()22
0A B PB B A PB r r εεωω-⨯+-=
（20） 即
()()()()()()22
ˆˆˆˆˆˆ0A z B z B x B y B A B x B y e e x x e y y e x x e y y e εεωω⎡⎤⎡⎤-⨯-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦整理得： ()()()()()()()()2222
ˆˆ0B B A B A B x B A B B B A y x x y y e x x y y e ωωεεεεωω⎡⎤⎡⎤-----+--+--=⎣⎦⎣⎦
故 ()()()()22
0B B A B A B x x y y ωωεε-----= （21） ()()()()220B A B B B A x x y y εεωω--+--= （22）
由（21）式得： ()22
B A B B A B
x x y y εεωω--=
-- （23）
（23）代入（22）得：
()()()222
20B
A B B x x y y ω
ω⎡⎤--+-=⎣⎦
()()2
2
220
B B B A
x x y y ωω-+-≠∴=
而A ω与B ω方向相同，故B ω与A ω沿同一方向转动，所以B A ωω= （24） 将（24）代入（23）式可得：
B A εε= （25） 由A 、B 、P 选择的任意性，所以刚体做平面运动时，其角速度、角加速度与基点的选择无关。

三 讨论：
通过上述几种方法的证明，我们看到了刚体的平面运动的角速度和角加速度与基点的选取无关的重要事实。

这一结论是十分有用的，在我们研究刚体运动的时候，如果能够运用这一结论，有些问题则会
比较简单。

而本文采用多角度，多种方法综合论述，使得这一结论更具有说服力。

从而更加证明该命题的准确性和正确性。

参考资料
[1] 漆安慎杜婵英《面向21世纪课程教材力学》
[2] 周巨伯李廷孝《理论力学》水利电力出版社出版
[3] 徐燕侯郭长铭周凯元《理论力学》
[4] 柳友生《角速度角加速度系化简》《大学物理》1986年第4期。

[5] 张湛《平面运动刚体的角速度角加速度与基点的选取无关的证明》《大学物理》1982年第
12期，河南师范大学物理系张湛著
The rigid body angular speed and the angle acceleration the proof which
has nothing to do with with the basic point selection
Zhao Lixin
Anyang Teachers’College
Abstract：The rigid body angular speed and the angle acceleration the proof which has nothing to do with with the basic point selection，This is a knowledge fact。

But the majority of teaching materials have not given its proof process actually，Or only has raised。

Here gives a stricter proof。

But this certificate conclusion，Is advantageous and further studies in the rigid body movement analysis。

Then proves this conclusion，First through analysis plane motion decomposition，Draws out its angular speed and the angle acceleration has nothing to do with with the basic point。

Then，Again infers its accuracy through the painting confirmation and the strict mathematics inference. Keywords:basicpoint angular speed angular acceleration plane movement
place complexor。