数值分析2
数值分析2数值计算中的基本原则
已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)<0
(1)计算:x00.5(a+b),y0f(x0),y1f(a)
判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步; (2)判断,若y0·1<0,则a1a, b1 x0 y
否则 a1x0, b1b, y1 y0
f(a1) f(b1) < 0
在算法执行过程中,舍入误差对计算结 果影响不大的一类算法被称为数值稳定 算法;否则称为不稳定算法.
8/18
例2.水中浮球问题
有一半径r =10 cm的球体,密 度 =0.638.球体浸入水中后, 浮出水面的高度h是多少？
r
d
设球体浸入水中的深度 d .根据阿基米德定律, 物体排开水的质量就是水对物体的浮力。
M 4 3
r
3
V
d 0
[ r ( r x ) ]dx
2 2
整理得:
d 3 – 3 r d 2 + 4 r 3 = 0
9/18
由 =0.638, r = 10.代入,得d 3 – 30 d 2 + 2552 = 0
令 f (x) = x 3 – 30 x 2 + 2552 ,函数图形如下所示 求解方程 f(x)=0, 即是求函数 f(x)的 零点. f(x) 的零点 所在区间为 [10，15]
A (1 x )
m
P
1 (1 x )
m
1 (1 x )
12/18
A
P x
[1 ( 1 x )
1500 x
m
]
180
230000
[1 ( 1 x )
]
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
数值分析第2版答案苏芳
数值分析第2版答案苏芳1.下列哪项不属于非结构化数据？（） [单选题] *A、网络日志B、信用卡号码(正确答案)C、音频D、图片2.利用大数据对消费者进行画像、提前进行库存准备等体现了大数据分析的（）价值。
[单选题] *A、诊断与决策B、控制与监督C、洞察与预测(正确答案)D、描述与判断3.大数据分析时采用的外部数据不包括（）。
[单选题] *A、ERP系统数据(正确答案)B、第三方调查报告C、上市公司年报D、政府部门公开数据4.企业大数据分析报告的典型结构是（）。
[单选题] *A、分总B、总分C、总分总(正确答案)D、分总分5.以下哪种数据存储方式保存的信息更丰富？() [单选题] *A、纸质表格B、电子表格C、文本信息D、视频信息(正确答案)6.可视化图表中用颜色的深浅表示数值大小差异的图形是（）。
[单选题] *A、热力图(正确答案)B、气泡图C、饼图D、散点图7.数据分类的类别较多时可视化图表一般采用（）。
[单选题] *A、柱状图B、条形图(正确答案)C、折线图D、饼图8.文本分析中常用的图表有（）。
[单选题] *A、桑基图B、瀑布图C、词云图(正确答案)D、玫瑰图9.数据可视化具有可视性、多维性及（），用视觉效果、多个变量或属性进行标识，更好的促进用户和数据之间的互动。
[单选题] *A、简便性B、关联性C、整体性D、交互性(正确答案)10.回归分析有效性的最重要判断指标是（）。
[单选题] *A、DBIB、R²(正确答案)C、截距D、标准差11.以下属于无监督学习算法类型的是（）。
[单选题] *A、朴素贝叶斯B、多元回归分析C、K-Means(正确答案)D、决策树12.用于描述一组正态分布数据离散趋势。
(） [单选题] *A、中位数B、方差(正确答案)C、均数D、众数13.朴素贝叶斯算法是机器学习中常见的基本算法,其理论核心是（C.）。
[单选题] *A、阿姆达尔定律B、贝亚蒂定理C、贝叶斯定理(正确答案)D、德·摩根定律14.以下算法属于分类分析算法的是（）。
数值分析第二章答案
∑
n
i=1
ln x i = 0
θ
∧
= −
n
∑ ∑
n
n
i=1
ln x i n
θ
= =
解之得：
i=1
ln x i
（2）母体 X 的期望
E (x) =
∫
+∞ −∞
xf ( x ) d x =
∫
1 0
θ xθ dx =
θ θ +1
而样本均值为：
1 n X = ∑ xi n i =1 令E ( x) = X 得 θ =
x e 2σ 1 n
d x = 2 x ) =
∫
+ ∞ 0
x 2σ
e
−
x σ
d x = − x e ) = 1 ⋅ nσ n
−
x σ
+ ∞
+
0
∫
+ ∞ 0
e
−
x σ
d x =
E (σ ) = E (
∑
n
i=1
i
1 n
∑
n
E ( x
i=1
i
= σ
所以
σ=
∧
1 n ∑ xi σ n i=1 为 的无偏估计量。
∧
X 1− X
5.。解：其似然函数为：
L (σ ) = ∏
i =1
n
1 ⋅e 2σ
−
xi σ
=
1 ⋅e (2σ ) n 1 σ
n i =1
−
1 σ
∑ xi
i =1
n
ln L (σ ) = − n ln(2σ ) − 得： σ =
∧
数值分析2 迭代法
§2简单迭代法——不动点迭代(iterate)迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法设方程f(x)=0 (3)在[a,b]区间内有一个根*x ，把(3)式写成一个等价的隐式方程x=g(x) (4)方程的根*x 代入(4)中，则有)(**=x g x (5)称*x 为ｇ的不动点（在映射ｇ下，象保持不变的点），方程求根的问题就转化为求(5)式的不动点的问题。
由于方程(4)是隐式的，无法直接得出它的根。
可采用一种逐步显式化的过程来逐次逼近，即从某个[a,b]内的猜测值0x 出发，将其代入(4)式右端，可求得)(01x g x =再以1x 为猜测值，进一步得到)(12x g x =重复上述过程，用递推关系——简单迭代公式求得序列}{k x 。
如果当k →∞时*→x x k ,}{k x 就是逼近不动点的近似解序列，称为迭代序列。
称(6)式为迭代格式，g(x)为迭代函数，而用迭代格式(6)求得方程不动点的方法，称为简单迭代法，当*∞→=x x k k lim 时，称为迭代收敛。
构造迭代函数g(x)的方法：(1)=x a x x -+2，或更一般地，对某个)(,02a x c x x c -+=≠；(2)x a x /=； (3))(21xa x x +=。
取a=3,0x =2及根*x =1.732051，给出三种情形的数值计算结果见表表 032=-x 的迭代例子问题：如何构造g(x)，才能使迭代序列}{k x 一定收敛于不动点？误差怎样估计？通常通过对迭代序列}{k x 的收敛性进行分析，找出g(x)应满足的条件，从而建立一个一般理论，可解决上述问题。
二、迭代法的收敛性设迭代格式为),2,1,0()(1 ==+k x g x k k而且序列}{k x 收敛于不动点*x ，即∞→→-*k x x k (0时）因而有)3,2,1(1 =-≤-*-*k xx x x k k (7)由于),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ当g(x)满足中值定理条件时有),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ (8)注意到(8)式中只要1)(<<'L g ξ时，(7)式成立.经过上述分析知道,迭代序列的收敛性与g(x)的构造相关,只要再保证迭代值全落在[a,b]内，便得：假定迭代函数g(x)满足条件(1) 映内性：对任意x ∈[a,b]时，有a ≤g(x) ≤b ；(2) 压缩性：g(x)在[a,b]上可导，且存在正数Ｌ<1，使对任意 x ∈[a,b]，有L x g <')( （9）则迭代格式)(1k k x g x =+对于任意初值0x ∈[a,b]均收敛于方程x=g(x)的根，并有误差估计式011x x LL x x kk --≤-*（10）证明 ：收敛性是显然的。
数值分析第2章插值法
0.32 0.34
0.34 0.32
0.330365.
截 断 误 差 为 ：R1x
f
1
2！
2
x
M2 2
x
x0 x
x1 ， 其 中 ：
M2
max
x0 x x1
f x，f x sin x，f x
sin x，M2
sin x1
0.3335
R1 0.3367
sin0.3367
L1 0.3367
x a, b,插 值余 项Rn x
f x Ln x
f n1 n 1!
n1
x
,
其
中
a,
b,
与x有 关,n1x
n
x
k0
xk
.
n
性质： lk x 1. k0
5
例1、证明： ( xi x)2 li ( x) 0, 其中li ( x)是关于点x0 , x1 ,, x5的插值 i0
基 函 数.
2.2 拉格朗日插值
2.2.1、线性插值与抛物插值
1、 线 性 插 值 ：
设 yk f xk ， yk1 f xk1 ， xk xk1 求 一 次 多 项 式 L1 x， 满 足 ：L1 xk yk，L1 xk1 yk1
L1 x
yk
yk1 xk1
yk xk
x xk
求n次 插 值 多 项 式Ln x, 满 足 ：Ln xi yi i 0，1，2，，n
Ln
x
n
lk
x
yk
k0
lk
xj
1，k j
kj 0，k j
j 0，1，2，，n
lk x
x
数值分析二分法
二分法的实现步骤
04
确定初始区间
01
确定初始区间
选择一个初始的区间，其中包含要找的根。
02
确定终止条
确定初始中点
选择区间的中点作为初始近似值。
计算中点
计算中点
将区间分成两半，取中间点作为新的近似值。
计算中点处的函数值
代入中点处的x值，计算函数值f(x)。
检查中点处的函数值
检查中点处的函数值
比较f(x)与0的大小，判断中点是否为根 。
VS
确定根所在区间
根据函数值的正负，确定根所在的区间。
更新区间
更新区间
根据根所在的区间，重新确定新的区间长度 和区间端点。
更新近似值
将新的区间端点中的较小值作为新的近似值。
重复步骤，直到满足精度要求
重复步骤
重复上述步骤，直到满足终止条件，即区间长度小于预设的精度要求。
收敛性证明
• 证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异 号，根据介值定理，存在至少一个零点c属于(a, b)。 每次迭代将区间[a, b]分成两半，即c = (a + b) / 2， 由于f(c)不为零，所以f(a)和f(c)同号或f(c)和f(b)同 号，即至少有一半的区间满足条件，继续迭代直到 达到精度要求。
二分法的重要性
二分法是数值分析中基础而重要的方 法之一，为解决许多实际问题提供了 有效的数值逼近手段。
二分法在金融、工程、物理等领域都 有广泛的应用，如求解微分方程、优 化问题等。
02 二分法的基本原理
定义与公式
定义
二分法是一种求解实数区间[a, b]上函数f(x)零点的迭代算法。
公式
假设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) * f(b) < 0。取c = (a + b) / 2，如果f(c) = 0或f(a) * f(c) < 0，则c就是所求的零点。
数值分析 2
Euler法和预估校正法求解初值问题摘要在数学与计算科学中，Euler法是一种一阶数值方法，通常用于对给定初值的常微分方程（初值问题）的求解。
Euler法的基本思想是迭代，就是逐次替代，然后求出所要求的解，并达到一定的精度。
Euler法思想是简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大，因此Euler法一般不用于实际计算。
为提高精度，需要在Euler法的基础上进行改进，即为预估校正法。
预估校正法的精度为二阶，思想是采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率。
预估校正法先用Euler法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比Euler法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。
并编写MATLAB程序实现两种数值解法，通过作图对比其精度，加深对两种方法的认识。
关键字：Euler法，预估校正法，MATLAB软件EULER METHOD AND FORECAST CORRECTION METHOD FOR SOLVING INITIAL V ALUE PROBLEMSABSTRACTIn mathematics and computer science, the Euler method is a numerical method. It is usually used to solve the equations of the given initial value(initial value problems),Euler’s basic method is iterative, that is to say, the ideal is successive substitution, then, find out the required solution and achieved a certain accuracy. Euler method simply means take as the starting point of the next step to calculate the tangent of the end point, when numbers increase, errors due to the accumulation of more and more big. So, the Euler method is generally not used for practical calculation. In order to improve the accuracy, we need to be on the basis of Euler method was improved, the forecast correction method. Forecasts for the second order correction method of the precision, using the average value of a function as a linear equation at each end of the range of the slope. Forecast correction method with Euler method first predicted value, using trapezoid formula to find the correction, the local truncation error lower than the Euler method, greatly improve the calculation accuracy. By write MATLAB program to realize two methods, and through comparing the drawing accuracy, deepen understandingof the two methods.Key words: Euler method, forecast correction method, MATLAB目录1 欧拉法 (1)1.1 Euler方法简介 (1)1.1.1 Euler格式 (2)1.1.2欧拉方法的误差估计 (2)2 预估校正法 (6)2.1预估校正法简介 (6)2．1.1预估校正法 (6)2.2.2 预估校正法的误差估计 (6)3.实例以及结果分析 (4)3.1Euler法与预估校正法的Matlab实例及实现......................3.1.1 实例1的求解及Matlab实现 (7)3.1.2 实例2的求解及Matlab实现.............................3.1.3实例3的求解及Matlab实现............................. 参考文献.. (10)附录 (11)Euler 法1.1 Euler 方法一阶常微分方程的初值问题,其一般形式为0'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩ （1） 我们知道，只要函数f （x,y ）适当光滑----譬如关于y 满足Lipschitz 条件(,)(,);f x y f x y L y y -≤-理论上就可以保证初值问题（1）的解()y y x =存在且唯一。
数值分析第二章作业答案
第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。
证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。
解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。
解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。
，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。
数值分析 第2章 插值法
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
《数值分析》第二章答案
习题21. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) 0cos =+x x ； (2) 0cos 3=-x x ； (3) 0sin =--x e x ； (4) 02=--x e x 。
解：(1) 0cos =+x x (A) x x x f cos )(+= ，0sin1)(≥-='x x f ,),(∞-∞∈x10cos 0)0(=+=f ,01cos 1)1cos(1)1(<+-=-+-=-f ∴ 方程(A) 有唯一根 ]0,1[*-∈x (2) 0cos 3=-x x (B) x x x f c o s 3)(-=,0sin 3)(>+='x x f , ),(∞-∞∈x 时010c o s03)0(<-=-⨯=f ，01cos 31cos 13)1(>-=-⨯=f ∴ 方程(B) 有唯一根 ]1,0[*∈x (3)sin =--xex (C)xex -=sinx x f sin )(1=, xex f -=)(2方程(C)有无穷个正根，无负根 在[22,2πππ+k k ] 内有一根 )(1k x ，且0]2[lim )(1=-∞→πk x k k在[ππππ++k k 2,22]内有一根)(2k x ，且0])12([lim )(2=+-∞→πk x k k (示图如下) 3,2,1,0=k)(2x f x(4)02=--xex(D) xex-=2,)(21x x f = xex f -=)(2方程(D) 有唯一根 ]1,0[*∈x 当 0<x 时 (D)与方程2x ex -=- (E) 同解 当 0<x 时 (E)无根 2. 给定方程 012=--x x ； (1)(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：012=--x x1) 01)(2=--=x x x f 1)1(-=f , 025.0)5.1(<-=f ,1)2(=f]2,5.1[*∈x, 618034.1251*=+=x)(5.1- 1.75(+) 2(+) )(5.1- 1.625(+) 1.75(+) )(5.1-1.5625(+) 1.625(+))(5625.1- )(59375.1-1.625(+)1102103125.02)5625.1625.1(-⨯<=-6.159375.1*≈≈x2位有效近似值为 1.6 2)00==a a ， 20==b b)(21k k k b a c +=kk k a b c x 2121*=-≤-+5102121-⨯≤k，51102≥-k60.162ln 10ln 51=≥-k∴ 只要2等分18次3. 为求0353=--x x 的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。
博士研究生入学考试《数值分析(二)》
博士研究生入学考试《数值分析（二）》
考试大纲
（科目代码：2228）
一、误差分析
1.误差来源
2.误差的基本概念
3.误差分析的若干原则
二、插值法
1. 拉格朗日插值
2. 均差与牛顿插值公式
3．分段线性插值公式
4.三次样条插值
三、函数逼近与计算
1. 最佳一致逼近多项式
2. 切比雪夫多项式
3. 最佳平方逼近
4. 正交多项式
5. 曲线拟合的最小二乘法
6. 离散富氏变换及其快速算法
四、数值积分与数值微分
1. 龙贝格求积算法
2. 高斯求积公式
3. 数值微分
五、常微分方程数值解法
1. 尤拉方法
2. 龙格-库塔方法
3. 单步法的收敛性和稳步性
4. 线性多步法
5. 方程组与高阶方程的情形
六、方程求根
1. 牛顿法
2. 弦截法与抛物线法
3. 代数方程求根
七、解线性方程组的迭代法
1. 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法
2. 迭代法的收敛性
3. 解线性方程组的松弛迭代法。
数值分析2-方程求根二分法迭代法
即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上的合适初值） 例:用迭代法求方程 f(x) = x(x+1)2 -1=0 在x=0.4附近的根。
x=φ(x)= φ'(x)= -
(1 | '( x ) |)
1 2
可令正数
,则有
| '( x) | | '( x ) | | '( x) '( x ) | (再利用绝对值性质)
1 1 | '( x) || '( x ) | (1 | '( x ) |) (1 | '( x ) |) 1 2 2
| '( x ) | 1,
1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数 ，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk＋1 - x ＝φ '( ξ k )( xk - x )
*
*
*
，∴
xk＋1 - x* ＝φ '( ξ k) xk - x*
ξ k )＝x ， ∴ 又∵ klim( →∞
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k
0
| '( x) | 1，则对任意初值x [a, b] ， (6) 若 x [a, b] 时， 迭代公式发散.
数值分析第2章插值法
数值分析第2章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，用于在给定一组有限数据点的情况下，通过构造合适的数学模型来估计这些数据点之间的未知数值。
插值法的应用广泛，包括图像处理、计算机辅助设计、数值计算等领域。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值以及样条插值等。
这些方法都是基于多项式的插值形式，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，并据此对未知点进行估计。
拉格朗日插值是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值构造了一个n次多项式Ln(x)，满足：Ln(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = ∏(i≠k)(x - xi)/(xk - xi) (k = 0, 1, ..., n)拉格朗日插值方法的优点是简单易用，但随着数据点数量的增加，拉格朗日多项式的计算复杂度也会大大增加。
牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它使用差商的概念来构造插值多项式。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值构造了一个n次多项式Nn(x)，满足：Nn(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x -x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，c0 = Δy0/(x0 - x1)，ci = Δyi/(xi - xi+1) (i = 0, 1, ..., n-1)，Δyi = yi+1 - yi。
牛顿插值方法相比于拉格朗日插值方法，在计算多项式时具有更高的效率，尤其是在需要更新数据点时。
此外，牛顿插值方法还可以通过迭代的方式得到更高次数的插值多项式。
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而积分准确值为0.713272.
x2 1 2 试用复合梯形公式 计算椭圆 + y = 1的 周长， 思考： 4 4 保证计算结果有五位有效数字.
′ ′ l = ∫02 xθ + yθ dθ = ∫02 4 sin θ + cos θ dθ = ∫02 1 + 3sin 2 θ dθ
2 2 2 2
π
1
1 1 解 : h = (1 0) = , xi = 0 + ih(i = 0,1,, n). n n
f ( x) = Rn ≤
1 2 , f ′′( x) = , max f ′′( x) = f ′′(0) = 2, 3 0≤ x ≤1 1+ x (1 + x)
2
1 0 2 1 1 h max f ′′( x) = . 0≤ x ≤1 12 6 n 1 dx 1 dx 因 0.5 < ∫0 < 1, ∫0 有一位小数, 1+ x 1+ xI ≈ຫໍສະໝຸດ T8 = 2.4221有五位有效数字.
1 ∫0
准确值 I = ∫
01 + x
= ln 2 = 0.693147.
1 1 解 : h = (1 0) = = 0.2, xi = 0 + ih, xi + 1 = 0 + (i + 1 )h. 2 2 5 5 0.2 1 1 1 1 1 S5 = [ + 2× ( + + + ) 6 1+ 0 1 + 0.2 1 + 0.4 1 + 0.6 1 + 0.8 1 1 1 1 1 1 + 4×( + + + + )+ )] 1 + 0.1 1 + 0.3 1 + 0.5 1 + 0.7 1 + 0.9 1 + 1 = 0.693150;
π
π
1 T1 = 2.3561945, T2 = 2.41992078, | T2 T1 |= 0.0212421, 3 1 T4 = 2.42210310, | T22 T21 |= 0.00072744, 3 1 1 T8 = 2.42211206, | T23 T22 |= 0.000002986 < × 104. 3 2
1 1 1 故只需 < ×105 , n > 105 / 3 = 182.574,即n ≥ 183. 6 n 2
2
5 用Romberg算法计算积分 ∫0 e -x dx , π 过 1 e-x 解：用Romberg方法计算积分 dx, ∫
2
1
要求误差不超 -5 10
加速 公式，计算结果见下表) (k) T (k k
习题二
一、数值积分与数值 微分 基本内容及基本要 求
了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、 1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、 插值型求积公式及其代数精度、 插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收 敛性和稳定性。 敛性和稳定性。 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 2. 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。 3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。 掌握龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 (Romberg)求积算法 4. 掌握龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 了解高斯-勒让德求积公式和高斯5. 了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求 积公式。 积公式。
0
应用Romberg外推
T0
1
T 2(k)
T3(k)
0 1 2 3
所求积分
0.683940 0.632120 0.645235 0.635410 0.6329431 2
π
0.632333 0.632135 0.632121
e-xdx ≈ 2
0.632122 0.632126
∫
0
π
× 0.632120 ≈ 0.71327,
练习
1. 判明以下两求积公式的代数精度： 1 1 （1 ∫1 f ( x)dx ≈ [ f (1) + 2 f (0) + f (1)] ） ； 2 1 1 1 （2）∫1 f ( x)dx ≈ f ( ) + f ( )]. 3 3
答：（ ）一次；（2）三次. 1
dx 辛普森公式 I = ∫ 求 的近似值， 2. 试分别用梯形公式和 1+ x 并估计误差 准确值 I = ∫1 dx = ln 2 = 0.693147. .
01 + x
24 (1 0)5 f ( 4) ( x) = , RS ≤ max f ( 4) ( x) = 0.0083333. 2880 0≤ x≤1 (1 + x)5
I S = 0.001297 .
dx 的近似值， 3. 试用n = 5的复合辛普森公式 求 I = 1+ x 并估计误差. 1 dx
24 0 .2 4 f ( 4) ( x) = , R5 ≤ max f ( 4 ) ( x ) = 1.33333 × 10 5. 2880 0≤ x ≤1 (1 + x )5
I S5 = 2.81944 × 10 6.
4. 若用复合梯形 计算 I = ∫0 公式
dx ，问区间多少等分 1+ x 才能保证计算结果有五 位有效数字 ?
1 0
1 0 1 解：1) I ≈ T = ( (1 + ) = 0.75； 2 2 1 2 ′′( x) = f ( x) = ,f , max f ′′( x) = f ′′(0) = 2, 3 0≤ x ≤1 1+ x (1 + x) (1 0)3 I T = 0.056853 . RT ≤ max f ′′( x) = 0.16667. 12 0≤ x≤1 1 0 1 1 （2） I ≈ S = (1 + 4 × + ) = 0.69444; 6 1.5 2