河南省扶沟县高级中学2013届高三第一次考试数学(理)试题(附答案) (1)

扶沟县高级中学2013届高三第一次考试数学（理）试题
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．定义集合运算：⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈∈+==⊕B y A x y x xy Z Z B A ,,|，设集合A ＝{0，1}，
B ＝{1，2}，则集合B A ⊕的子集个数为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32 2． 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 ( )
A.所有实数的平方都不是正数 B ．有的实数的平方是正数
C ．至少有一个实数的平方是正数
D ．至少有一个实数的平方不是正数 3.下列结论中，错．用算数平均值和几何平均值不等式作依据的是 （ ） A.x,y 均为正数，则
2≥+y x
y x B.a 为正数，则4)a
1
)(a 22
a (≥++
a C.lgx+log x 10≥2,其中x>1 D.
21
2x 2
2≥++x
4．已知f(x)唯一的零点在区间（1,3）、（1,4）、（1,5）内，那么下列命题错误的是（ ） A.函数f(x)在（1,2）或[2,3）内有零点 B.函数f(x)在（3,5）内无零点 C.函数f(x)在（2,5）内有零点
D.函数f(x)在（2,4）内不一定有零点。

5．若)(x f 的定义域为[0，1]，则)
12(log )12()(2
1--=x f x F x 的定义域为（ ）
A ．（
21，1） （1，＋∞） B ．（0，21） C ．（1，＋∞） D ．（2
1
，1）
6.已知函数
()()log ()2102
20
x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+>⎩，(),(),()323a f b f c f =-=-= 则
,,a b c 大小关系为 ( )
A ．a b c
>> B ．
b c a >>
C ．
c a b >>
D ．
c a b =>
7. 若函数()()()
11p
q
f x a x x =+-在区间[]2,1-上的图象
如图所示,则,p q 的值 可能是 ( ) A. 2,2p q == B ．,21p q == C ．,32p q ==
D ．
,11p q ==
8.若x 、y 满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-0
15320653y y x y x ，当且仅当x=y=3时，z =ax+y 取最大值，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（-5
3,32） B ．（-∞，-53）∪（32，+∞） C ．（3
2
,
53-
） D ．（-∞，-
3
2）∪（
5
3，+∞）
9.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y （万公顷）关于年数x 的函数关系较为近似的是（ ） A.y=0.2x B.
10
2x y 2x += C.102y x =
D.y=0.2+log 16x 10. 已知(21)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，若
120x x +=，则12()()g x g x += （ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1- 11.若函数()2
1x f x x =
+，记()()(())2f x f f x =，()()((()))3f x f f f x =
()()((()))n f x f f f x = (,)2n n N ≥∈，则()()302f =（ ）
A ．
110 B ．211 C ．310 D ．411
12. ||
()11111
x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，方程[()][()]()3
27
102
f x f x cf x -
+-=有7个实根，则所有非零实根之积为 （ ）
A ．92
B ．72
C ．92-
D ．7
2
-
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.
8915
lg lg lg12.5log 9log 828
-+-∙= , 14. 已知:()()110p x m x m -+--<；:12
23
q x <<，若p 的充分不必要条件是q ，则实数m 的取值范围是___________________
15．已知函数⎩⎨⎧--+-=,1)2-x log ,106)(32（
x x x f 33>≤x x ，若)()6(2
a f a f >-，则实数a 的取值范
围是 。

16.关于)(x f y =，给出下列五个命题：
①若)1()1(x f x f +=+-,则)(x f y =是周期函数； ②若)1()1(x f x f +-=-，则)(x f y =为奇函数；
③若函数)1(-=x f y 的图象关于1=x 对称，则)(x f y =为偶函数； ④函数)1(x f y +=与函数)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称； ⑤若)1()1(x f x f +=-，则)(x f y =的图象关于点)0,1(对称. 填写所有正确命题的序号____________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）
已知命题p ：函数
)32-(log )(22
1+=ax x x f 在（－∞，1]内为增函数，命题
q ：
{}
{}φ=>=+++=0|01)2(|2x x x a x x A ，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的
取值范围。

18．（本大题12分）
已知函数f(x)＝|x|(x －a)，a ＞0. (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．
20．（本大题12分）
定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数M>0，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界，已知函数
21)(ax x x f ++=，
（Ⅰ）当a=－1，求函数)(x f 在（－∞，0）上的值域，判断函数)(x f 在（－∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数)(x f 在]4,1[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围。

21．（本大题12分）
设()ln a
f x x x x
=
+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率；
（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数
M ；
（3）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一
点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ， 交圆于点E ，1DE =．
（Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠； （Ⅱ）求BC 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度
单位相同．直线l 的极坐标方程为：)
4
sin(210π
θρ-=
,点(2cos ,2sin 2)P αα+，
参数[]0,2απ∈．
（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数a a x x f +-=2)(．
（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
扶沟高中2012-2013学年度上期高三第一考试
理科数学参考答案
三、解答题
17.解：p:函数f(x)=log 2
1(x 2-2ax+3)在(]1-，∞内为增函数，
所以
⎩⎨
⎧>+≥0
32-11a a 解得1≤a<2
q:
{
}
{}φ=>=+++=0|01)2(|2
x x x a x x A ,所以x 2+(a+2)x+1=0无解或两个负实根或
一负一零根，
当无解时，⊿<0得-4<a<0
当有两负根时令g(x)=x 2
+(a+2)x+1，则有
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<+>=≥∆0
2
2-01)0g(0a 解得a ≥0
一负一零根不存在，所以a>-4,
因为q p ∨为真，q p ∧为假，所以p,q 一真一假，当p 真q 假时有⎩⎨
⎧≤<≤4
-2
a 1a 不存在
当p 假q 真时有
⎩⎨
⎧>≥<4
-2a 1a a 或得-4<a<1或a ≥2
综上，[)+∞⋃∈,2)1,4(-a 18.解：
()()()(),0
1,0
x x a x f x x x a x -≥⎧⎪=⎨
--<⎪⎩
()()()()()()()()()2min 2min 210,2,0,,230=1,2,11;2101,02,.224a f x a x f x x ax a
a f x f a a a a f x f a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
>-∴≥≥==-⎛⎫
<<<<==- ⎪
⎝⎭ 由知的单调减区间为，
单调增区间为时，当
即当即
19.当0x <时，21
()12
f x x ax =-+-
（1）(,1)-∞-递增；(1,0)-递减 （2）2a ≥
21.解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =
+，22
'()ln 1f x x x
=-++，(1)2f =，'(1)1f =-，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+； 3分
（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立
等价于：12max [()()]g x g x M -≥，
考察32()3g x x x =--，
2
2
'()323()3g x x x x x =-=-，
由上表可知：min max 2
85
()(),()(2)1327
g x g g x g ==-==，
12max max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=
， 所以满足条件的最大整数4M =； 7分
（3）当1[,2]2x ∈时，()ln 1a
f x x x x
=
+≥恒成立 等价于2
ln a x x x ≥-恒成立，
记2
()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2
x ∈，
'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1
[,2]2
上递减，
当1
[,1)2
x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，
即函数2
()ln h x x x x =-在区间1[,1)2
上递增，在区间(1,2]上递减，
所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。

12分
22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， -------2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，
所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ················ 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， ···································································· 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， ···· 8分
所以
DE CB
CE AB
=，所以2BC =． ····························································· 10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,
2sin 2.
x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈，
所以点P 的轨迹方程为2
2
(2)4x y +-=． ··············································· 3分
(Ⅱ)因为)4
sin(210
πθρ-=，所以2sin()104πρθ-=，
所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ······ 6分 法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为 2.
221012104211
d ⨯-⨯+==+，所以点P 到直线l 距离的最大值422+. ·········· 10分 法二：222cos 2sin 21022cos()4411
d ααπα--+==+++，当74πα=，max 422d =+，即点P 到直线l 距离的最大值422+. ·
··························· 10分 24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，
即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ··················································· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-， 则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ······························ 10分。