初三升高一数学教材

第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
（1）元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。

元素通常用小写字母a，b，c…表示。

（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。

集合通常用大写字母A，B，C…表示。

课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合”，也就是赋予了符号“{}”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。

注意：{正数}表示所有大于0的实数组成的集合。

这种表示是正确的。

但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。

因为“{}”已经包含“所有的”含义。

（3）元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。

元素a属于集合A，记作a
A；元素a不属于集合A，记作a
A。

1 符号
和
是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。

2 a
A与a
A取决于a是不是集合A中的元素。

两种情况有且只有一种成立。

（4）集合中元素的特征：①确定性；②互异性；③无序性。

（5）集合的分类：①有限集；②无限集。

（6）集合的表示方法：
1 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。

使用此方法时注意叙述清楚。

如：大于1且小于10的偶数构成的集合
注意：用自然语言描述集合不要出现花括号{}。

2 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。

注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”。

如：所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，…}
3 描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是{x
I|P(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略。

如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x > 3}或{x
R|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1}
4 韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。

5 区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。

）
（7）特殊集合的表示：
对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：
①非负整数集（或自然数集）记作N；②正整数集记作N+或者N*；③整数集记作Z；④有理数集记作Q；⑤实数集记作R。

[例1]考查下列每组对象能否构成一个集合：
（1）著名数学家；
（2）月成辅导学校所有高个子同学；
（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；
（4）
的近似值的全体；
（5）不超过10的非负数。

[例2]用符号
或
填空：
（1）
；（2）
；
（3）。

[例3]按要求分别表示下面的集合：
（1）用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，…}；
（2）用列举法表示集合{30的正约数}；
（3）用描述法表示集合“正偶数集”；
（4）用描述法表示集合{2，-4，6，-8，…，98，-100}；
（5）用列举法表示集合{(x，y)|x+y=3，x
N，y
N}。

[例4]下面三个集合：①
；②
；③。

（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？
[例5]由实数
所组成的集合，最多含有元素的个数为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
[例6]已知集合M={-2，
，若2
M，求x。

[例7]若
，求实数
的值。

[例8]设集合A={1，
，
}，B={
，
，
}，且A=B，求实数。

[例9]已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角
形 D.等腰三角形
[例10]已知集合
,其中
为常数且
R。

（1）若集合A是空集，求
的范围；
（2）若集合A只有一个元素，求
的值；
（3）若集合A中至多有一个元素，求
的范围。

1.1.2 集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：A
B（或B
A）。

这时我们也说集合A是集合B的子集。

注意：①当A不是B的子集是记作A
B（或B
A）；②任何一个集合是它本身的子集，即A
A；③空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为
；④空集是任何集合的子集，即
A；⑤子集具有“传递性”，即：如果A
B，B
C，那么A
C。

（2）集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明A
B且B
A成立即可。

（3）真子集：如果A
B，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作A
B
注意：空集是任何非空集合的真子集。

（4）有限集合的子集个数问题：
1
个元素的集合有
个子集；
2
个元素的集合有
个真子集；
3
个元素的集合有
个非空真集。

[例11]已知集合A＝
－1，3，2
－1
， B＝
3，。

若
，求实数
的值。

[例12]已知集合
，集合
，若Q
P，求
的值。

[例13]已知集合
，
，且
，求
取值范围。

[例14]下列各组中的两个集合相等的有（）
①
；
②
；
③
A. ①②③
B. ①③
C. ②③
D. ①②
[例15]已知集合M满足{1，2}
M
{1，2，3，4，5}，满足条件的集合M有多少个？写出所有的满足条件的集合M。

[例16]设集合M={
}，集合N={
}，则M与N的关系是（）
A.M=N
B.M
N C. M
N D.M
N
[例17]已知A={
}，B={
}，且A
B，求实数k的取值范围。

1.1.3 集合的基本运算
（1）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B 的并集。

记作A∪B。

读作：A并B。

其含义用符号表示为：
用Venn图表示并集如下：
（2）交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。

记作：A∩B。

读作：A交B。

其含义用符号表示为：。

用Venn图表示交集如下：
（3）交集与并集的运算性质：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤。

（4）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

（5）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

其含义用符号表示为：
用Venn图表示交集如下：
（6）补集与交集、并集的性质——反演律：
①
；②。

[例18] 设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M
N=
M
N= CUM=
CUN= CU（M
N）=
[例19] 设集合
[例20] 设集合A={x
},集合B={x
},若已知
A
B={2,3,5},则集合A、B分别为（）
A．{3，5}、{2，3} B．{2，3}、{3，5} C．{2，5}、{3，5} D．{3，5}、{2，5}
[例21]已知全集
，求。

[例22]已知集合
，
，若已知
，求实数m的取值范围。

[例23] 设A={x
,其中x
R,如果A
B=B，求实数
的取值范围。

[例24]已知。

[例25]已知集合
[例26]设全集。

已知
，
，
，
，求集合A和集合B。

[例27] 若M={
}，N={
Z}，则M
N等于（）
A．
B．{
} C．{0} D．Z
[例28]已知集合
的值或取值范围。

[例29]定义A—B={x|x∈A，且x
B}，若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8}，则N—M= 。

[例30]某班50个学生中，参加数学竞赛的25个，参加化学竞赛的32人，既参加数学竞
赛又参加化学竞赛的人数最多是几人？最少又是几人？
1.2 函数的概念及其表示法
（1）函数的定义：
①传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。

②现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。

（2）映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”；b是a的“原象”。

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。

对应有以下几种形式：
（1）（2）（3）
（4）
其中：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
总结：①根据映射的定义知“一对多”（如①）不是映射；②A中每一个元素都有象；
③B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；④A中每一个元素的象唯一。

（3）函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。

如：
的定义域是非负实数；圆半径R与面积S的函数关系
的定义域为正数；
的定义域是非零实数……
注：求函数的定义域的常见类型
1．当f(x)为整式时，定义域为Ｒ；
2．当f(x)为分式时，定义域为使分母不为０的x的集合；
3．当f(x)为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；
4．当f(x)是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。

（4）函数的对应法则：对应关系f是函数关系的本质特征，y=f（x）的意义是：y就是x在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。

如：f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。

（5）函数的值域：函数的值域：自变量
在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（6）求函数的值域的常用方法：1．观察法求函数值域。