2019届高考数学 大一轮复习 人教版 第四章 三角函数 解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理

第6节 正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin A＋B
2＝cos
C
2；(4)cos
A＋B
2＝sin
C
2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；
b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.
3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.()
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()
解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案(1)×(2)√(3)×(4)×
2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c
＝2，cos A＝2
3，则b＝()
A. 2
B. 3
C.2
D.3
解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×2
3，解得b＝3⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
b＝－
1
3舍去.
答案 D
3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
已知b＝2，c＝22，且C＝π
4，则△ABC的面积为()
A.3＋1
B.3－1
C.4
D.2
解析法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×a cos π
4，即a
2－22a－4
＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝1
2×2×(2＋6)sin π4＝12×2×2
2×(6＋2)＝3＋1，选A.
法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝1
2，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝1
2×2×22sin 7π12＝1
2×2×22×6＋24＝3＋1. 答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.
解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×3
2
3＝2
2， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°
5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π
2，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
(3)(2018·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________. 解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π4＝0，
因为sin C ≠0，所以sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫A ＋π4＝0，
又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π
4. 由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得
2sin 3π4
＝2
sin C ， 则sin C ＝1
2，得C ＝π6.
(2)∵b sin A ＝6×2
2＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.
(3)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2
＝6b 2
，即a 2
＝7b 2
，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 2
43b 2
＝
32， ∴A ＝π6.
答案 (1)B (2)B (3)
π6
规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法
(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根
的情况判断解的个数.
【训练1】(2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.
解(1)2a cos C－c＝2b，由正弦定理得2sin A cos C－sin C＝2sin B，2sin A cos C －sin C＝2sin(A＋C)＝2sin A cos C＋2cos A sin C，
∴－sin C＝2cos A sin C，sin C≠0，∴cos A＝－1 2，
又A∈(0，π)，∴A＝2π3.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，
AB
sin∠ADB
＝
BD
sin A，
∴sin∠ADB＝AB sin A
BD＝
2
2.又∠ADB∈(0，π)，A＝
2π
3，
∴∠ADB＝π
4，∴∠ABC＝
π
6，∠ACB＝
π
6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC
2
＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π
3＝6，∴a＝ 6.
考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
b<cos A，则
△ABC为()
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
解析(1)由c
b<cos A，得
sin C
sin B<cos A，
所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，
所以sin A cos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，
∴△ABC为直角三角形.
答案(1)A(2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a cos B ＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
解析∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin A cos B
＝2sin A cos A－sin B cos A，
∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B
＝2sin A cos A－sin B cos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝π
2或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
答案 D
考点三和三角形面积有关的问题
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.
由余弦定理，得28＝4＋c 2
－4c ·cos 2π
3.
即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为1
2AB ·AD sin π6
12AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin ∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3.
规律方法 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a . 解 因为AB
→·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6， 又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π
4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22＝29，
所以a ＝29.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π
4，a ＝1，则b 等于( ) A.2
B.1
C. 3
D. 2
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，
∴112＝b
22，∴b ＝ 2.
答案 D
2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π
3，a ＝2，b ＝23
3，则B 等于( ) A.π3
B.5π6
C.π6或5π6
D.π6
解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，
由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1
2. ∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D
3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3
2，则BC 的长为( ) A.32
B. 3
C.2 3
D.2
解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝3
2，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3.
答案 B
4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，
所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a
c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B
5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1
S 2的值为( )
A.2512π
B.2524π
C.3＋32π
D.3＋3
4π
解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π
12， 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，
∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝ sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
2＋64，
∴S 1＝12ab sin C ＝1
2×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2， S 2＝πR 2
，∴S 1S 2
＝3＋3
4π.
答案 D
二、填空题
6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.
解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°
，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.
答案 32
7.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.
解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c
＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，
所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.
答案 9π
8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________.
解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2
，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b c ，解得b c ＝1. 答案 1
三、解答题
9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5，
∴23sin A cos A＝2(1－cos2A)，∴sin A(3cos A－sin A)＝0，
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，
∴sin A＝3cos A，即tan A＝3，A＝π3.
(2)由余弦定理可得：4＝b2＋c2－2bc cos π3，
4＝b2＋c2－bc≥bc(当且仅当b＝c＝2时“＝”成立)，
∴S
△ABC ＝
1
2bc sin A＝
3
4bc≤
3
4×4＝3，
故△ABC面积的最大值是 3.
10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD中，
∠DAB＝π
3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝2π
3，求CD的长.
解(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.
又BD＝7，∠DAB＝π
3，∴由余弦定理，
得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2k cos π3，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝AD sin∠DAB
BD＝
2×
3
2
7
＝
21
7.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝21 7，
∴sin∠DBC＝27
7，∴
BD
sin∠BCD
＝
CD
sin∠DBC
，
∴CD＝7×
27
7
3
2
＝
43
3.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )
A.6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝
3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C
12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，
所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32， 由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.
所以S △ABC ＝34.
答案 34
13.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，
已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .
(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；
(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .
(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .
在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ， 则a cos C ＋c cos A ＝b .
∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .
(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.
∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.
又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，
∴b 2
＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。