2018-2019学年浙教版浙江省丽水市八年级第二学期期中数学试卷 含解析

2018-2019学年八年级第二学期期中数学试卷
一、选择题
1．要使式子有意义，则x可取的数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（）
A．（1，6）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）
3．用反证法证明“a＞b”时应先假设（）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC于BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD
5．某射击队要从甲，乙，丙，丁四名队员中选出一名队员代表射击队参加射击比赛，各队员的平时成绩的平均数及方差如表所示：
甲乙丙丁平均数（环）9.8 9.3 9.6 9.8
方差（环2） 3.3 3.3 3.5 6.1
根据表中数据，要从这四个队员中选择一个成绩好且发挥稳定的队员去参赛，那么应该选的队员是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x+4）2＝13 C．（x﹣4）2＝19 D．（x+4）2＝19 7．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
8．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）
A．B．C．13 D．5
9．将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．若AB＝4，BC＝6，则CF的长是（）
A．B．C．D．3
10．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．＝．
12．已知一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形的边数为．
13．一组数据：8，1，4，3，x的平均数为x，则这组数据的众数是．
14．设函数y＝与y＝x+4的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为．15．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是m．
16．如图，已知线段AC＝4，线段BC绕点C旋转，且BC＝6，连结AB，以AB为边作正方形ADEB，连结CD．
（1）若∠ACB＝90°，则AB的值是；
（2）线段CD长的最大值是．
三、解答题（本题有8小题，共52分）
17．计算
（1）；
（2）．
18．解方程
（1）7x2﹣49x＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
19．某中学随机抽取部分学生进行科技知识的调查测试，测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，通过对测试成绩的分析，得到如下条形统计图：
等级成绩
A50≤x＜60
B60≤x＜70
C70≤x＜80
D80≤x＜90
E90≤x＜100
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）试分析本次调查测试成绩的“中位数”在哪个等级；
（2）若本次调查测试成绩在80分及以上为优秀，该中学共有800人，请估计全校测试成绩为优秀的学生人数．
20．已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，m）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求k，b的值；
（2）连结OA，OB，求△AOB的面积．
21．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．（1）若AB＝2，AD＝3，求EF的长；
（2）若G是EF的中点，连接BG和DG，求证：DG＝BG．
22．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双．
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？23．小明在学习反比例函数后，为研究新函数，先将函数变形为，画图发现函数的图象可以由函数的图象向上平移1个单位得到．
（1）根据小明的发现，请你写出函数的图象可以由反比例函数的图象经过怎样的平移得到；
（2）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（x＞0）的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数（x＞0）的图象；
（3）若直线y＝﹣x+b与函数（x＞0）的图象没有交点，求b的取值范围．
24．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E是AB边上的动点，作∠EDQ＝60°交BC于点Q，点P在AD上，PD＝PE．
（1）求证：AE＝BQ；
（2）连接PQ，EQ，当∠PEQ＝90°时，求的值；
（3）当AE为何值时，△PEQ是等腰三角形．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．要使式子有意义，则x可取的数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
解：要使式子有意义，则x﹣4≥0，
解得：x≥4，故x可取的数是4．
故选：D．
2．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（）
A．（1，6）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）
【分析】将各选项坐标代入解析式可求解．
解：当x＝1时，y＝6，故（1，6）不在反比例函数y＝图象上；
当x＝2时，y＝3，故（2，3）不在反比例函数y＝图象上；
当x＝﹣2时，y＝﹣3，故（﹣2，﹣3）不在反比例函数y＝图象上；
当x＝﹣3时，y＝2，故（﹣3，2）在反比例函数y＝图象上；
故选：D．
3．用反证法证明“a＞b”时应先假设（）
A．a≤b B．a＜b C．a＝b D．a≠b
【分析】熟记反证法的步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．
解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选：A．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC于BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论．
解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
5．某射击队要从甲，乙，丙，丁四名队员中选出一名队员代表射击队参加射击比赛，各队员的平时成绩的平均数及方差如表所示：
甲乙丙丁平均数（环）9.8 9.3 9.6 9.8
方差（环2） 3.3 3.3 3.5 6.1
根据表中数据，要从这四个队员中选择一个成绩好且发挥稳定的队员去参赛，那么应该选的队员是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可．
解：＝＞＞，
∴从甲和丁中选择一人参加比赛，
∵S甲2＝S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴选择甲参赛；
故选：A．
6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x+4）2＝13 C．（x﹣4）2＝19 D．（x+4）2＝19 【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
则x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，
故选：A．
7．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，然后在k＞0的条件下比较它们的大小即可．
解：根据题意得1•y1＝k，2•y2＝k，﹣3•y3＝k，
所以y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，
而k＞0，
所以y3＜y2＜y1．
故选：D．
8．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）
A．B．C．13 D．5
【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．
解：方程x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
根据勾股定理得：斜边为＝，
故选：A．
9．将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．若
AB＝4，BC＝6，则CF的长是（）
A．B．C．D．3
【分析】由折叠的性质可得AB＝AG＝4，CF＝GF，由勾股定理可求CF的长．
解：∵将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．
∴AB＝AG＝4，CF＝GF，
∴AF＝4+CF，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（4+CF）2＝36+（4﹣CF）2，
∴CF＝
故选：A．
10．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．
解：m2x2﹣8mx+12＝0，
解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
解：原式＝＝4，
故答案为：4．
12．已知一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形的边数为九．【分析】首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解．
解：外角的度数是：180﹣140＝40°，
则多边形的边数为：360÷40＝9．
故答案是：九．
13．一组数据：8，1，4，3，x的平均数为x，则这组数据的众数是 4 ．【分析】根据算术平均数的计算方法求出x的值，再求这组数据的中位数．
解：由题意得：8+1+4+3+x＝5x，
解得：x＝4，
这组数据：8，1，4，3，4，因此4出现次数最多，故众数为4．
故答案为：4．
14．设函数y＝与y＝x+4的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为 2 ．【分析】把（a，b）代入y＝与y＝x+4，可得ab＝2，b﹣a＝4，利用整体代入的思想即可解决问题；
解：∵函数y＝与y＝x+4的图象的交点坐标为（a，b），
∴ab＝2，b﹣a＝4，
∴﹣＝＝＝2，
故答案为2
15．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 2 m．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x1＝2，x2＝44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
16．如图，已知线段AC＝4，线段BC绕点C旋转，且BC＝6，连结AB，以AB为边作正方形ADEB，连结CD．
（1）若∠ACB＝90°，则AB的值是2；
（2）线段CD长的最大值是4+6 ．
【分析】（1）由勾股定理可求AB的值；
（2）过点A作AE⊥CA，取AE＝AC，连接BE，CE，由勾股定理可求EC的长，由“SAS“可证△EAB≌△CAD，可得CD＝BE，由三角形的三边关系可求解．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
故答案为：2，
（2）如图，过点A作AE⊥CA，取AE＝AC，连接BE，CE，
∵AE⊥CA，AE＝AC＝4，
∴EC＝4，
∵∠EAC＝90°＝∠BAD
∴∠EAB＝∠CAD，且AC＝AE，AB＝AD，
∴△EAB≌△CAD（SAS）
∴CD＝BE
∵BE≤CE+BC＝4+6
∴BE的最大值为4+6
∴CD的最大值为4+6
故答案为4+6．
三、解答题（本题有8小题，共52分）
17．计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
解：（1）原式＝8﹣4＝4；
（2）原式＝3×
＝3．
18．解方程
（1）7x2﹣49x＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程得出答案．
解：（1）7x2﹣49x＝0
7x（x﹣7）＝0，
解得：x1＝0，x2＝7；
（2）x2﹣2x﹣1＝0
（x﹣1）2＝2，
则x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
19．某中学随机抽取部分学生进行科技知识的调查测试，测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，通过对测试成绩的分析，得到如下条形统计图：
等级成绩
A50≤x＜60
B60≤x＜70
C70≤x＜80
D80≤x＜90
E90≤x＜100
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）试分析本次调查测试成绩的“中位数”在哪个等级；
（2）若本次调查测试成绩在80分及以上为优秀，该中学共有800人，请估计全校测试成绩为优秀的学生人数．
【分析】（1）将被调查的200名名学生的科技知识测试成绩从小到大排列后处在第100、101位的两个数的平均数是中位数，第100、101位，这两个数落在D等级，即80～90
分．
（2）用样本中优秀占比估计总体的占比，样本中优秀占比为，求800人的即可．
解：（1）被调查的200名学生的成绩从小到大排列后处在第100、101位的处在D等级，即80≤x＜90．
答：本次调查测试成绩的“中位数”在D等级．
（2）800×＝560（人），
答：全校测试成绩为优秀的学生人数为560人．
20．已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，m）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求k，b的值；
（2）连结OA，OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）把B（﹣2，﹣1）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，即可求得k和b；
（2）求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求得．
解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，m）和点B （﹣2，﹣1）．
∴﹣1＝﹣2+b，﹣1＝
∴b＝1，k＝2；
（2）∵一次函数y＝x+1经过点A（1，m），
∴m＝1+1＝2，
∴A（1，2），
由一次函数y＝x+1可知，直线与y轴的交点C为（0，1），
∴S△AOB＝×1×1+×2＝．
21．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．（1）若AB＝2，AD＝3，求EF的长；
（2）若G是EF的中点，连接BG和DG，求证：DG＝BG．
【分析】（1）先证明△ABE是等腰直角三角形，得到BE＝AB＝2，同理可得CE＝CF，在Rt△CEF中利用勾股定理可求EF；
（2）连接CG，在等腰直角△ECF中，证明CG＝CF，∠F＝∠ECG＝45°，然后用SAS证明△BCG≌△DFG，则DG＝BG．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3．
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝2．
∴CE＝BC﹣BE＝1．
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠F＝∠CEF＝45°，
∴CE＝CF＝1．
在Rt△CEF中，利用勾股定理可得
EF＝；
（2）连接CG，
因为△CEF是等腰直角三角形，G为EF中点，
∴CG＝FG，∠ECG＝45°．
∴∠BCG＝∠DFG＝45°．
又DF＝BC＝3，
∴△BCG≌△DFG（SAS）．
∴BG＝DG．
22．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双．
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
【分析】（1）根据“每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双”解答；
（2）设鞋子的单价应降x元，销售数量为（20+2x），利润为（50﹣x），从而可得方程，解出即可．
解：（1）由题意，得2×20＝40（双）；
答：若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出60双鞋子；
（2）设每双鞋子应降价x元，
根据题意，得（50﹣x）（20+2x）＝1750，
整理，得x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
则每天可售出20+2x＝50或70件；
经检验，x＝15或25都符合题意．
∵让顾客尽可能多得实惠，
∴x应取25元．
答：鞋子的单价应降25元．
23．小明在学习反比例函数后，为研究新函数，先将函数变形为，画图发现函数的图象可以由函数的图象向上平移1个单位得到．
（1）根据小明的发现，请你写出函数的图象可以由反比例函数的图象经过怎样的平移得到；
（2）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（x＞0）的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数（x＞0）的图象；
（3）若直线y＝﹣x+b与函数（x＞0）的图象没有交点，求b的取值范围．
【分析】（1）先把函数化为y＝﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可；
（2）根据平移的法则画出图象即可；
（3）求得直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象只有一个交点时的b的值，然后根据平移的规律即可求得．
解：（1）由“上加下减”的原则可知，把反比例函数y＝的图象向下平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为y＝﹣1，即y＝；
（2）画出函数（x＞0）的图象如图所示：
（3）整理得：x2﹣bx+5＝0，
若直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象只有一个交点，则△＝（﹣b）2﹣4×1×5＝0，
∴b＝2，
∴若直线y＝﹣x+b与函数（x＞0）的图象没有交点，则b＜2﹣1；
24．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E是AB边上的动点，作∠EDQ＝60°交BC于点Q，点P在AD上，PD＝PE．
（1）求证：AE＝BQ；
（2）连接PQ，EQ，当∠PEQ＝90°时，求的值；
（3）当AE为何值时，△PEQ是等腰三角形．
【分析】（1）如图1中，连接BD．证明△ADE≌△BDQ（SAS）即可．
（2）如图2中，连接EQ，PQ，BD．首先证明△DEQ是等边三角形，求出DE，证明四边形APQB是平行四边形即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当QP＝QE时，作QM⊥CD于M．求出CQ即可．如图3﹣2中，当PE＝QE时，点E与B重合，点P与A重合，点Q与C重合，此时AE＝AB＝2．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝BD＝CD，∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠DBQ＝60°，AD＝DB，
∵∠ADB＝∠EDQ＝60°，
∴∠ADE＝∠BDQ，
∴△ADE≌△BDQ（SAS），
∴AE＝BQ．
（2）解：如图2中，连接EQ，PQ，BD．
∵△ADE≌△BDQ，
∴DE＝DQ，
∵∠EDQ＝60°，
∴△DEQ是等边三角形，
∴DE＝DQ＝EQ，∠DEQ＝60°，
∵∠PEQ＝90°，
∴∠PED＝30°，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠EPD＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AB，∵AB＝2
∴AE＝EB＝1
∴DE＝
∵PD＝PE，QD＝DQ，
∴PQ⊥DE，
∴PQ∥AB，∵AD∥BC，
∴四边形PQBA是平行四边形，
∴PQ＝AB＝ 2
∴＝．
（3）解：如图3﹣1中，当QP＝QE时，作QM⊥CD于M．
∵QD＝QE＝QP，QP垂直平分线段DE，
∴∠DQP＝∠EQP＝30°，
∴∠ADQ＝75°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠QDM＝45°，设CM＝a，则CQ＝2a，DM＝QM＝a，∵CD＝AB＝2，
∴a+a＝2，
∴a＝﹣1．
∴CQ＝2﹣2，
∴AE＝BQ＝BC﹣CQ＝4﹣2．
如图3﹣2中，当PE＝QE时，点E与B重合，点P与A重合，点Q与C重合，此时AE＝AB＝2．
综上所述，满足条件的AE的值为4﹣2或2．。