8-8多元函数的极值及其求法76030

f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0. （驻点）
函数的极值点如果有偏导数则必定是它的驻点.
证: 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
则对于( x0 , y0 )的某个邻域内的所有点 ( x, y ), 都有 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f x x ( x , y ) 6 x 6 , f x y ( x , y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
B AC 12 6 0 , A 0 ,
解方程组
可得到条件极值的候选点 .
前例 .要设计一个容量一定的长方体箱子, 问怎样设计才能使用料最省 ？
解: 已知 x y z V0
z
y
x
求表面积S 2( x y y z z x )的最小值. 令 f ( x, y, z ) xy yz zx， ( x, y, z ) xyz V0
f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 或者 即f 的梯度与 x ( x 0 , y0 ) y ( x 0 , y0 ) 的梯度平行 f x ( x 0 , y0 ) x ( x 0 , y0 ) 0 f y ( x 0 , y0 ) y ( x 0 , y0 ) 0
1 1 f ( x , y )在( , )处取得最大值. 3 3
1 1 1 f( , ) , f ( x, y )在边界上的函数值为零 . 3 3 27
x y 例 6 求z 2 的最大值和最小值. 2 x y 1
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) 解： 0, 由 zx 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值与最值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
第八章
一、二元函数的极值与最值
最值的定义 : 设函数 z f ( x , y )的定义域为D， ( x0 , y0 ) D, 如果对于( x , y ) D，都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 称f ( x0 , y0 )是f ( x , y )的最 大值.
作拉格朗日函数 L x y y z z x ( x y z V0 )
y z yz 0
令
z x zx 0 或令 x y z x yxy 0 x y z V0 得唯一驻点 x y z 3 V0 .
fx
fy
fz
解: 已知 x y z V0
y
z
x 求表面积S 2( x y y z z x )的最小值. V0 V0 S 2( xy ) ( x 0, y 0) x y V0 S 2( y 2 ) 0 x x 令 S 得唯一驻点 x y 3 V0 , V0 2( x 2 ) 0 y y 由题意可知合理的设计是存在的,当长、宽、 高为 3 V0 时，所用材料最省.
x2 y2 z2 令 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, a b c 2 y0 2 z0 2 x0 |P 2 ， F y | P 2 ， Fz | P 2 则 Fx a b c
过 P ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为 y0 z0 x0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 0 2 a c b
点(0,0)是函数 z xy的驻点，
o
但x 0不是极值点.
问题：如何判断驻点是否真的是极值点？
定理2 （充分条件）如果函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 )的某邻域内具有连续的 二阶偏导数， ( x0 , y0 )是它的驻点 .令
A f xx ( x0 , y0 ) , B f xy ( x0 , y0 ) , C f yy ( x0 , y0 ),
极值的定义 ：如果f ( x0 , y0 )是f ( x , y )在( x0 , y0 ) 的某个邻域内的最大值 ，称f ( x0 , y0 )是f ( x , y ) 的极大值.
所以极大值就是局部的最大值。
最值与极值的区别： 最值是整体概念，而极值是局部概念. 最值与极值的联系： 边界点 最值的候选点 内点（极值点） 所以要求函数在一个区域上的最值，可以 先求函数在什么点取得极值。
一元函数 f ( x0 , y)在y y0取得极大值.
d f ( x0 , y ) dy
y y0
f y ( x0 , y0 ) 0.
y
y0
( x0 , y0 )

x0
o
x
极值的候选点
驻点（可导的点）
偏导数不存在的点
但反之不真，驻点不一定是极值点。
例如, z xy ,
z
例1 函数 z 3 x 4 y
2 2
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x 2 y 2
x x
y
z
y
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
z
在 (0,0) 处无极值．
y
x
二元函数取得极值的条件
由图形可看出，如果曲面 在极值点有切平面，则切 平面平行于xoy面. x
例9
将正数 12 分成三个正数 x , y, z 之和 使得 u x 3 y 2 z 为最大.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) 则极值点满足: 拉格朗日 乘数法.
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值. 设 L f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
y
解： f ( x, y)是连续函数，
D是有界闭区域 ,
o
x y 1
D
x
f ( x, y )在D上有最大值.
1 f x ( x , y ) y(1 x y ) xy 0 x y 令 3 f y ( x , y ) x (1 x y ) xy 0 （驻点）
二、条件极值，拉格朗日乘数法
求极值的函数的自变量独立变化. 无条件极值： 条件极值：对自变量有约束条件的极值．
问题：求函数z f ( x, y )在条件 ( x , y ) 0 下取得极值的必要条件 .
无条件极值 方法1 条件极值 从条件 ( x , y ) 0 解出 y ( x )代入函数 z f ( x , y ), 转化为求函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值 .
方法2 拉格朗日乘数法.
设( x0 , y0 )是极值点， 则 ( x0 , y0 ) 0.
设 y ( x0 , y0 ) 0,由隐函数存在定理知 ,
( x, y) 0确定隐函数y ( x) , 则z f ( x, ( x )).
z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0下在( x0 , y0 )取 得极值就相当于 z f ( x , ( x ))在x x0取得极值.
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
定理 1（必要条件）
z
o
y
切面: z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有偏导数，且在 点( x0 , y0 )处有极值， 则它在该点的偏导数必然为 零：
则
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
3 2
x2 y2 z2 例 10 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 a b c
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四 面体体积最小，求切点坐标.
解：设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
B AC 72 0 ,
2
不是极值; 不是极值;
在点(3,0) 处
B AC 72 0 ,
2
在点(3,2) 处
B 2 AC 72 0 , A 0 ,
为极大值.
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2 x y lim 0 2 2 ( x , y ) ( , ) x y 1
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
1 1 1 , ) , 即边界上的值为零. z( 2 2 2
例7.要设计一个容量一定的长方体箱子, 问怎样设计才能使用料最省 ？
例8. 求 f ( x, y, z ) xyz( x 0, y 0, z 0)在 条件x y z 1下的最大值．
解： 令 L( x, y, z ) xyz ( x y z 1)
解方程组
1 x yz . 3
x y z 1
f ( x, y, z )在边界上的函数值为零 . 1 1 1 f ( x , y , z )在( , , )处取得最大值. 3 3 3
B AC 则： (1)当 0时，f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极值. A 0时取极小值，A 0时取极大值.
2
(2)当 0时，没有极值.
(3)当 0时，不能确定，需进一 步判断.
证明见第九节。
例4. 求函数 解： 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
取 y y0， 则 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
一元函数 f ( x, y0 )在x x0取得极大值.
y
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f x ( x0 , y0 ) 0.
( x0 ,Βιβλιοθήκη y0 ) x 0y0
o
x
同理，取 x x0，则 f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ),
dz 0, 即 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ( x0 ) 0 d x x x0
x ( x 0 , y0 ) 而 ( x0 ) y ( x 0 , y0 )
x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 y ( x 0 , y0 )
A
B
C
最值的求法
最值的 候选点 边界点 内点（极值点） 驻点
偏导数不存在的点
所以如果函数的最值存在，可以直接比较在边 界点、驻点和偏导数不存在的点的函数值。 而有界闭区域上的连续函数一定有最大值和 最小值。
例5. 求函数 f ( x, y ) xy(1 x y )在如下闭 区域D的最大值．