推荐学习K12(全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和差的正弦

第三章 3.1 3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π
6的值是( C )
A ．0
B ．12
C ．
22
D ．
32
[解析] 原式＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12·sin π6＝cos(5π12－π6)＝cos π4＝2
2．
2．cos285°等于( A ) A ．6－2
4 B ．
6＋2
4 C ．
2－6
4
D ．－
2＋6
4 [解析] cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝
6－2
4
． 3．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( D ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
[解析] 由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0． 即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0． 又0<C <π，故π
2
<C <π，△ABC 为钝角三角形．
4．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( B ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x
D ．－cos2y
[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y ．
5．已知sin(30°＋α)＝3
5，60°<α<150°，则cos α＝( A )
A ．3－4310
B ．3＋4310
C ．4－3310
D ．4＋3310
[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°， ∴cos(30°＋α)＝－4
5
，
又cos α＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－45×32＋35×12＝3－43
10．
6．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( B ) A ．0 B ．1 C ．±1
D ．－1
[解析] ∵sin αsin β＝1，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α＝－1
sin β＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α＝1
sin β＝1，
由cos 2α＋sin 2
α＝1得cos α＝0，
∴cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝0＋1＝1． 二、填空题
7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是 4
5 ．
[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝4
53，
12cos α＋32sin α＝4
5
， ∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45
．
8．已知tan θ＝－34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为 10 ．
[解析] ∵tan θ＝－34，∴sin θ＝35，cos θ＝－4
5，
∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π
3
＝－45×12＋35×32＝33－4
10．
三、解答题
9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)
的值．
[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝12
13，
∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π
4
)，∴cos(α＋β)＝1－－
3
5
2
＝45
，cos(β－
π
4
)＝－1－
12
13
2
＝－
513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π
4
)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－56
65
．
10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值． [解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π
4<π． ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
＝－35．
∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4
＝－35×22＋45×22＝2
10
．
B 级 素养提升
一、选择题
1．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π
2－θ)>0，则θ是( B )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角． 2．若
32sin x ＋1
2
cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( A ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5 C ．3<m <5 D ．－3≤m ≤3
[解析] ∵
32sin x ＋12cos x ＝32sin x ＋1
2
cos x ＝cos x cos π3＋sin x sin π3＝cos(x －π
3
)＝4－m ，
∴cos(x －π
3
)＝4－m ，∴|4－m |≤1，解得3≤m ≤5．
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，π
3<α<5π6，则cos α的值是( A )
A ．3－43
10
B ．4－3310
C ．23－35
D ．3－235
[解析] ∵π3<α<5π6，∴π2<π
6
＋α<π．
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6＋α
＝－45． ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
＋α－π6
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋αsin π
6
＝－45×32＋35×12＝3－43
10
．
4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝3
5，则cos(α－β)的值为( D )
A ．9
25 B ．1625 C ．12
D ．－12
[解析] 由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＝1，
所以2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1． 所以cos(α－β)＝－1
2．
二、填空题
5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ 2
． [解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos30°＝
32
．
6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α，则tan α＝ 3 ．
[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝12cos α＋3
2sin α＝cos α， ∴
32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33
． 三、解答题
7．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π
4
，求cos(α＋β)．
[解析] 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π
4<2α－β<π．
因为cos(2α－β)＝－
22，所以π
2
<2α－β<π． 所以sin(2α－β)＝
22
． 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2，
因为sin(α－2β)＝
22，所以0<α－2β<π
2， 所以cos(α－2β)＝
22
． 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β) ＝－
22×22＋22×2
2
＝0． 8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，
12
)． (1)求f (x )的解析式；
(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝12
13，
求f (α－β)的值．
[解析] (1)由题意，知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M (π3，12)代入，得sin(π
3＋
φ)＝12.而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π
2)＝cos x ．
(2)由题意，有cos α＝35，cos β＝12
13．
∵α、β∈(0，π
2)，
∴sin α＝
1－
35
2
＝4
5
，sin β＝1－
1213
2
＝
513
， ∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝56
65
．
C 级 能力拔高
若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010
，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( C )
A ．π6
B ．π
4
C ．3π4
D ．5π6
[解析] ∵0<α<π2，0<β<π
2，α<β，
∴－π
2<α－β<0．
又cos(α－β)＝
55
， ∴sin(α－β)＝－1－cos 2
α－β
＝－255
．
又∵0<2α<π，cos2α＝
1010
， ∴sin2α＝1－cos 2
2α＝31010
．
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×(－255)＝－22
． 又0<α＋β<π，故α＋β＝3π
4
．。