2017-2018学年北京市密云县九年级上期末数学试卷(含答案解析)

2017-2018学年北京市密云县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项
是符合题意的.
1．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC 长（）
A．B．1C．D．6
2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是（）
A．y=（x+2）2+1B．y=（x+2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+1D．y=（x﹣2）2﹣1
3．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，则（）A．m＜n＜0B．n＜m＜0C．m＞n＞0D．n＞m＞0
4．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（）
A．2B．C．D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（）
A．20°B．40°C．80°D．90°
7．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c（x为任意实数）经过下图中两点M（1，﹣2）、N（m，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点．下列结论：
①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3；
②当x＜m时，函数值y随自变量x的减小而减小．
③a＞0，b＜0，c＞0．
④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、，则s+t=2．其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．已知x：y=1：2，则（x+y）：y=．
10．已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为．
11．抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线．
12．扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为．
13．写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：．
14．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，
蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是cm．
15．学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为xm，矩形的面积为ym2．则函数y的表达式为，该矩形植物园的最大面积是m2．
16．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：P为外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图，（1）连结OP；（2）以OP为直径作圆，与交于C、D两点．（3）作直线PC、PD．则直线PC、PD就是所求作经过P点的切线．
以上作图的依据是：．
三、解答题（共68分）
17．（5分）计算：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0．
18．（5分）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长．
19．（5分）如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．
20．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
（1）求二次函数的表达式．
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x 的取值范围．
21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB 垂足为C．若AB=2，CD=1，求⊙O的半径长．
22．（5分）点P（1，4），Q（2，m）是双曲线y=图象上一点．
（1）求k值和m值．
（2）O为坐标原点．过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于点S，交直线OQ于点T，且点S在点T的上方．结合函数图象，直接写出R的横坐标n的取值范围．
23．（5分）小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m．小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D的仰角为14°，旗杆底部B的俯角为22°．
（1）求∠BCD的大小．
（2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，=．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．
（1）求证：AC=CE．
（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．
25．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A 重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．
小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小云的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈．
（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为cm．
26．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．
（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．
27．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与
A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到
线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．
（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．
（2）若=，求α的大小．
（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．
28．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有．
②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P
的横坐标x的取值范围．
（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．
2017-2018学年北京市密云县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.
1．如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE ∥BC ，AD=2，DB=1，AE=3，则EC 长（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．6
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； 【解答】解：∵DE ∥BC ，AD=2，DB=1，AE=3，
∴=
，
∴=
，
∴EC=， 故选：C ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
2．将抛物线y=x 2先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A ．y=（x +2）2+1
B ．y=（x +2）2﹣1
C ．y=（x ﹣2）2+1
D ．y=（x ﹣2）2﹣1 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x +2）2﹣1． 故选：B ．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
3．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，则（）A．m＜n＜0B．n＜m＜0C．m＞n＞0D．n＞m＞0
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m=2n＜0，于是可得到m、n的大小关系．
【解答】解：∵A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，
∴k=m=2n＜0，
∴m＜n＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．
4．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（）
A．2B．C．D．
【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【解答】解：如图，tan∠AOB==2．
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，从而求得点B与圆A的位置关系．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵AC=4，
∴点B在圆外，
故选：C．
【点评】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（）
A．20°B．40°C．80°D．90°
【分析】由△ABC内接于⊙O，已知∠AOB=80°，根据圆周角定理，即可求得∠ACB的度数．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴
影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c（x为任意实数）经过下图中两点M（1，﹣2）、N（m，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点．下列结论：
①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3；
②当x＜m时，函数值y随自变量x的减小而减小．
③a＞0，b＜0，c＞0．
④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、，则s+t=2．其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【分析】利用函数图象条件二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，故①正确；
②当x＜1时，函数值y随自变量x的减小而减小，故②错误；
③a＞0，b＜0，c＜0，故③错误；
④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、t，根据
二次函数的对称性可知s+t=2，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．已知x：y=1：2，则（x+y）：y=3：2．
【分析】首先根据已知条件x：y=1：2，得出y=2x，然后代入所求式子即可．
【解答】解：∵x：y=1：2，
∴y=2x，
∴（x+y）：y=3x：2x=3：2．
故答案为3：2．
【点评】解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
10．已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为60°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：∠A为锐角，且tanA=，则∠A=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线直线x=1．
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=1，
即直线x=1．
故答案为：直线x=1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴公式是解题的关键．
12．扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为60°．
【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程=π，求出方程的解即可．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为πcm，
∴=π，
解得：n=60，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程，题目比较好，难度适中．
13．写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：．
【分析】首先设反比例函数解析式为y=，再根据图象位于第一、三象限，可得k＞0，再写一个k大于0的反比例函数解析式即可．
【解答】解；设反比例函数解析式为y=，
∵图象位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴可写解析式为y=，
故答案为：y=．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．14．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，
蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是10cm．
【分析】由AB∥A′B′知△ABO∽△A′B′O，据此可得=，解之即可得出答案．【解答】解：如图，
∵AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
则=，即=，
解得：OB′=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．15．学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为xm，矩形的面积为ym2．则函数y的表达式为y=﹣x2+4x，该矩形植物园的最大面积是4m2．
【分析】表示出矩形的另一边长为（4﹣x）m，根据矩形的面积公式可得函数解析式，将其配方成顶点式可得面积的最大值．
【解答】解：设矩形的一边长为xm，则另一边长为（4﹣x）m，
所以矩形的面积y=x（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
则当x=2时，矩形面积取得最大值4，
故答案为：y=﹣x2+4x，4．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式，并熟练掌握二次函数的性质．
16．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：P为外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图，（1）连结OP；（2）以OP为直径作圆，与交于C、D两点．（3）作直线PC、PD．则直线PC、PD就是所求作经过P点的切线．
以上作图的依据是：直径所对的圆周角为直角，经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】根据“直径所对的圆周角为直角”知∠OCP=∠ODP=90°，再由OC、OD为⊙O的半径，根据“经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”即可判定．
【解答】解：∵以OP为直径作圆，与交于C、D两点，
∴∠OCP=∠ODP=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵OC、OD为⊙O的半径，
∴直线PC、PD就是所求作经过P点的切线（经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的判定．
三、解答题（共68分）
17．（5分）计算：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0．
【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
【解答】解：tan30°﹣2cos60°+cos45°+π0
=×﹣2×+×+1
=1﹣1+1+1
=2．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18．（5分）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长．
【分析】先在Rt△ABD中利用三角函数定义求出AD=，BD=1．再得到CD=2．然后在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=2，
∴sinB=，cosB=，
即=，=，
解得：AD=，BD=1．
∵BC=3，∴CD=2．
在Rt△ADC中，AC==．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．（5分）如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．
【分析】（1）由BO是△ABC的角平分线、BC=CD知∠ABO=∠CBO=∠D，根据∠AOB=∠COD即可得证；
（2）由△AOB∽△COD知=，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）∵BO是△ABC的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO，
∵BC=CD，
∴∠CBO=∠D，
∴∠ABO=∠D，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD；
（2）∵BC=4，
∴BC=CD=4，
∵△AOB∽△COD，
∴=，即=，
解得：OC=2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识点．
20．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
（1）求二次函数的表达式．
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）画出二次函数的示意图，找出函数图象在x轴下方的部分，此题得解．
【解答】解：
（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有
，
解得：，
所以二次函数的表达式为y=x2﹣4x+3；
（2）函数图象如图所示：
由函数图象可知当1＜x＜3时，y＜0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的
坐标画出函数图象．
21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB 垂足为C．若AB=2，CD=1，求⊙O的半径长．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：∵⊙O的弦AB=8，半径OD⊥AB，
∴AC=AB=×2=，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣CD=r﹣1，连接OA，
在Rt△OAC中，
OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣1）2+（）2，解得r=2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22．（5分）点P（1，4），Q（2，m）是双曲线y=图象上一点．
（1）求k值和m值．
（2）O为坐标原点．过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于点S，交直线OQ于点T，且点S在点T的上方．结合函数图象，直接写出R的横坐标n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用图象法即可解决问题；
【解答】（1）解：∵点P （1，4），Q （2，m ）是双曲线y=图象上一点．
∴4=，m=， ∴k=4，m=2．
（2）
观察函数图象可知，R 的横坐标n 的取值范围：0＜n ＜2或n ＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（5分）小明同学要测量学校的国旗杆BD 的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m ．小明在教学楼三层的窗口C 测得国旗杆顶点D 的仰角为14°，旗杆底部B 的俯角为22°． （1）求∠BCD 的大小．
（2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【分析】（1）过C作CE∥AB交BD于E．根据题意可得答案；
（2）在Rt△CEB中，利用三角函数可得tan∠ECB=，代入数据可得BE的长，然后在
Rt△CED中可得tan∠DCE==≈0.25，进而可得ED长，再求和即可．
【解答】解：（1）过C作CE∥AB交BD于E．
由已知，∠DCE=14°，∠ECB=22°，
∴∠DCB=36°；
（2）在Rt△CEB中，∠CEB=90°，AB=20，∠ECB=22°，
∴tan∠ECB==≈0.4，
∴BE≈8，
在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=AB=20，∠DCE=14°，
∴tan∠DCE==≈0.25，
∴DE≈5，
∴BD≈13，
∴国旗杆BD的高度约为13米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，=．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．
（1）求证：AC=CE．
（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．
【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；
（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．
∵AB是的直径，C在⊙O上
∴∠ACB=90°，
∵=，
∴AC=BC
∴∠CAB=45°．
∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴∠ABE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴AC=CE．
（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE
∴AB=8，
在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，
解得：BF=6，
连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，
∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，
∴∠DBF=∠BAF，
∵sin∠BAF=，
∴sin∠DBF=，
∴=，
∴DF=．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A 重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．
小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小云的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9．
（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为 2.3cm．
【分析】（1）按题意，认真测量即可；
（2）利用数据描点、连线；
（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．
【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9
故答案为：2.9
（2）根据已知数据描点连线得：
（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3
【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．
（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m即可；
（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．
【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；
（2）易得直线l2的表达式为y=x，
当x=2时，y=x=2，则P（2，2），
把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；
（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），
当抛物线过A（0，2）时，
把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，
结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；
当抛物线过B（0，﹣2）时，
把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，
结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；
综上所述，m的取值范围是0＜m≤1或﹣3≤m＜0．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
27．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与
A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到
线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．
（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．
（2）若=，求α的大小．
（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②利用三角形的外角的性质计算即可；
（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．
（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：
②∵CA=CB ，∠ACB=90°， ∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CDA=∠DBC +∠BCD=45°+α． （2）在△FCE 和△ACB 中，
∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°， ∴△FCE ∽△ACB ，
∴=
∵=
∴
=
连结FA ，∵∠FCA=90°﹣∠ACE ，∠ECB=90°﹣∠ACE ， ∴∠FCA=∠BCE=α，
在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，cos ∠FCA=
∴∠FCA=30°，即α=30°． （3）结论：AB 2=2CF 2+2BE 2．
理由：∵AB 2=AC 2+BC 2=2BC 2，BC 2=CE 2+BE 2=CF 2+BE 2， ∴AB 2=2CF 2+2BE 2．
【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
28．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．
②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P
的横坐标x的取值范围．
（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．
【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；
②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，
设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）
∴OP1=，OP2=2，OP3=3，
∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O 相离1，
∴⊙O的关联点是P1，P2；
故答案为：P1，P2；
②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于P1，P2两点．线段P1，P2上的动
点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．
（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，
∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点
故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的
圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．
综上所述，2﹣1≤r≤3．
【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。