(好题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(含答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．
能判定ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．
B DA
C ∠=∠
B ．90B DA
C ∠+∠=︒ C ．2AB B
D BC =⋅ D ．2AC CD BC =⋅
2．如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于（ ）
A ．18
B ．20
C ．25
D ．30 3．若:3:2x y =，则x y y -的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．2
4．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =，则:DE AB 的值是（ ）
A ．2：5
B ．2：3
C ．3：5
D ．3：2 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△AD
E 相似的是
（ ）
A ．∠C ＝∠AED
B ．∠B ＝∠D
C ．AB BC A
D D
E = D ．AB AC AD AE = 6．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于
点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④ 7．如图，在矩形ABCD 中，
E ，
F 分别为BC ，CD 的中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点
G .设矩形ABCD 的面积为S ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．:2:1AG GE =
B ．::1:1:1BG GH HD =
C ．12313S S S S ++=
D ．246::1:3:4S S S = 8．若34,x y =则
x y =（ ） A ．34 B ．74 C ．43 D ．73
9．如图，梯形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，已知AD ∥BC ，AD =2，BC =4，S △AOD =1，则梯形ABCD 的面积为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，下列结论：
①GOP BCP ∠=∠，②BC BP =，③:21BG PG =
，④DP PO =．正确的是
（ ）
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③ 11．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ）
A ．增加了20%
B ．减少了20%
C ．增加了()120%+
D ．没有改变 12．如图，D ，
E 分别是ABC 的边AB 、BC 上的点，//DE AC ，若
:1:2BDE CDE S S =，则:DOE AEC S S 的值为（ ）
A ．16
B ．19
C ．112
D ．116
二、填空题
13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．
14．如图，在ABC ∆中，点111,,A B C 分别是,,AC BC AB 的中点，连接1111,AC A B ，四边形111A B BC 的面积记作1S ；点222,,A B C 分别是1111,,A C B C A B 的中点，连接2222,A C A B ，四边形2212A B B C 的面积记作2S …，按此规律进行下去，若ABC S a ∆=，则
3S =__________；n S =__________．（n 为正整数）
15．若ABC DEF ∽△△，且相似比为2:1，ABC 的面积为20，则DEF 的面积为______．
16．如图，直线122
y x =-
+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q 是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．
17．已知AEF ABC ∽，且:1:3AE AB =，四边形EBCF 的面积是8，则
ABC S =____________．
18．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(2,4)A -，(3,1)B -，(2,0)C -，以原点O 为位似中心，把ABC 缩小为原来的
12
，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标为__________． 19．已知线段AB 长是2,P 是线段AB 上的一点，且满足2·,AP AB BP =那么AP 长为____．
20．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，若∠ADE =∠B ，BD=4，CE=3，则CD 的长为_________．
三、解答题
21．如图1，ABC 中，ACB 90∠=︒，D 为AB 上的一点，以CD 为直径的O 交BC 于E ，连接AE 交CD 于G ，交O 于F ，连接DF ，BAC EFD ∠=∠．
（1）求证：AB 与O 相切；
（2）如图2，若AF:FG 3:2=，
①若6AF =，求线段CG 的长；
②求tan CAE ∠的值．
22．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点E ，过点E 作MN ∥AD ，分别交AB ，CD 于点M ，N ．
（1）求证：△AME~△ABC ；
（2）求证：111ME AD BC
=+； （3）若AD=5，BC=7，求MN 的长．
23．如图，在ABC 中，CD 是角平分线，DE 平分CDB ∠交BC 于点E ，且//DE AC ．
（1）求证：2CD CA CE =⋅．
（2）若22CE BE ==，求CD 的长．
24．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使CE BC =，连接DE ，连接AE 交BD 于点G ，交CD 于点H ．
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）求证：2DG FG BG =⋅；
（3）若10AB =，12BC =，求线段GH 的长度．
25．如图所示，在平行四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =6cm ，BC =12cm ，点E 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速移动，速度为1cm /s ，点F 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速移动，速度为2cm /s ，如果动点E ，F 同时从A ，B 两点出发，连接EF ，若设运动时间为t s ，解答下列问题：
（1）当t 为多少时，△BEF 为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t ，使△EFB ∽△FDC ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
26．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有1AF BD CE FB DC EA
⋅⋅=． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A 作//AG BC ，交DF 的延长线于点G ，则有
AF AG FB BD =．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE =________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A.能，
∵AD ⊥BC ，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠DAC ，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；
∴△ABC 是直角三角形；
B.不能，
∵AD ⊥BC ，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC ，
∴△ABD ≌△ACD （ASA ），
∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴无法证明△ABC 是直角三角形；
C.能，
∵2AB BD BC =⋅
∴AB BC BD AB
= ∵∠B=∠B
∴△CBA ∽△ABD ，
∴∠ADB=∠BAC ，
∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAC=90°
∴△ABC 是直角三角形；
D.能，
∵2AC CD BC =⋅， ∴
AC BC CD AC
= ∵∠C=∠C ∴△CBA ∽△CAD ，
∴∠ADC=∠BAC=90°
∴△ABC 是直角三角形．
故选：B
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．
2．C
解析：C
【分析】
由:2:5AB AC =可得BC ：AC=3：5，根据平行线分线段成比例定理即可得答案．
【详解】
∵:2:5AB AC =，
∴BC ：AC=3：5，
∵123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ， ∴
35
BC EF AC DF ==， ∵EF=15，
∴DF=25．
故选：C ．
【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握定理是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据比例的性值计算即可；
【详解】
∵:3:2x y =， ∴32122
x y y --==； 故答案选B ．
【点睛】 本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DE ∥AB ，
∴△DEF ∽△BAF ，
∴2:(:)DEF ABF S S DE AB =△△,
∵:4:25DEF ABF S S =
∴:DE AB =2：5,
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定方法和性质是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE ＝∠BAC
∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE
选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三
角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．D
解析：D
【分析】
由正方形ABCD ，与BPC △是等边三角形的性质求解，求解30,EBA ∠=︒ 从而可判断①；证明60,PFE BPC ∠=∠=︒ =15,PBH PDF ∠=∠︒ 可判断②；由
15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ 可判断③； 证明
30,PDH PCD ∠=︒=∠ 再证明,PDH PCD ∽ 可得
,DP PH PC PD
=从而可判断 ④． 【详解】 解： 正方形ABCD ， 90,,ABC A BCD ADC CB CD AB ∴∠=∠=∠=∠=︒==
BPC △是等边三角形，
60,PBC PCB BPC ∴∠=︒=∠=∠
906030,EBA ∴∠=︒-︒=︒
2,BE AE ∴= 故①符合题意；
正方形ABCD ，
//,45,AD BC CBD ∴∠=︒
60,PFE PCB ∴∠=∠=︒
60,PFE BPC ∴∠=∠=︒
BPC △是等边三角形，
,PC BC CD ∴==
而906030,PCD ∠=︒-︒=︒
()11803075,2
CDP ∴∠=︒-︒=︒ 907515,PDF ∴∠=︒-︒=︒
由60,45,PBC CBD ∠=︒∠=︒
15,PBH ∴∠=︒
,PBH PDF ∴∠=∠
,BPH DFP ∴∽ 故②符合题意；
15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒
,PFD BPD ∴不相似，故③不符合题意；
正方形ABCD ，
45CDB ∴∠=︒，
90451530,PDH PCD ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠
,DPH CPD ∠=∠
,PDH PCD ∴∽
,DP PH PC PD
∴= ∴ 2DP PH PC =⋅，故④符合题意，
综上：符合题意的有：①②④．
故选：.D
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，含30的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】 根据平行线分线段成比例定理和线段中点的定义得：
21AG AD GE BE ==，可判断选项A 正确；同理根据平行线分线段成比例定理得：13BG BD =，13
DH BD =即可判断B 选项；设1S x =根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系依次用x 表示各三角形的面积，即可判断C 和D 选项．
【详解】 ①四边形ABCD 是矩形
,//BC AD BC AD ∴=
点E 是BC 的中点
1122//BE BC AD AD BE
∴== ∴
21AG AD GE BE == 故选项A 正确；
②
//BE AD
1213BG BE DG AD BG BD ∴==∴= 同理得：13
DH BD =
::1:1:1BG GH HD BG GH HD ∴==∴=
故选项B 正确
③
//BE AD
DAG ∴△BEG ∽△ 134534
14
S S S BG GH HD S S S ∴=+==∴==
设1S x =则5342S S S x ===
12S x ∴=
同理可得：2S x =
1231243
S S S x x x x S ∴++=++== 故选项C 正确；
④由③可知：664S x x x x =--=
246::1:2:4S S S ∴=
故选项D 错误；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质,三角形相似的性质和判定,平行线分线段成比例定理,三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,掌握等底同高三角形面积相等,相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8．C
解析：C
【分析】
根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．
【详解】
由比例的性质，由34,x y =得
43
x y =． 故选C ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键． 9．A
解析：A
【分析】
先根据AD ∥BC ，得到△AOD ∽△COB ，从而得出△COB 的面积，再根据△AOB 与△COB 等高，从而得出△AOB 的面积，同理得出△DOC 的面积即可得出梯形ABCD 的面积．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴△AOD ∽△COB
∵AD =2，BC =4， ∴
12
AD BC = ∴114AOD COB COB S S S == ∴COB S △ =4
∵△AOB 与△COB 等高，
又∵12AO CO = ∴142AOB AOB COB S S S == ∴AOB S =2
同理，DOC S =2
∴ABCD S 梯形=AOD COB AOB DOC S
S S S +++ =1+4+2+2=9．
故选：A ．
【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．D
解析：D
【分析】
由正方形的性质证明180BOG BCG ∠+∠=︒，
结合180BOG GOP ∠+∠=︒， 从而可判断①；由GO GP =，可得,GOP GPO ∠=∠从而可得,GPO BCP ∠=∠可判断②；设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b === 再证明,DHP BGP ∽ 可得,DH HP BG PG
= 求解2
,b HP a
= 再证明,PG b = 利用,HG HP PG =+ 列方程2,b a b b a -=+解关于a 的方程
并检验即可判断③；证明,DHP CHD ∽求解DP =
再证明,BCP GPO ∽ 求解PO = 由,a b ≠ 可判断④，从而可得答案．
【详解】
解： 正方形ABCD 与正方形EFGH ． 45,45,DBC EGF ∴∠=︒∠=︒
90,BGC ∠=︒
4590135,
EGC
∴∠=︒+︒=︒
36036045135180, BOG BCP OBC OGC
∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
180,
BOG GOP
∠+∠=︒
∴GOP BCP
∠=∠，故①符合题意；
GO GP
=，
,
GOP GPO
∴∠=∠
,
GPO BCP
∴∠=∠
,
BC BP
∴=故②符合题意；
正方形,
FGHE
//,
EH FG
∴
,
DHP BGP
∴∽
,
DH HP
BG PG
∴=
设,,
BG a CG b
==则,
DH CG BF b
===
,,
BC BP BG PC
=⊥
,
PG CG b
∴==
,
b HP
a b
∴=
2
,
b
HP
a
∴=
,
FG HG HP PG a b
==+=-
2
,
b
a b b
a
∴-=+
22
20,
a ba b
∴--=
(1,
a b
∴==±
经检验：(1
a b
=-不合题意，舍去，
(1,
a b
∴=+
(
1
1
b
BG a
PG b b
∴===+故③符合题意；
,,
BC BP BG CP
=⊥
,
CBG PBG
∴∠=∠
//,
DE BG
,
HDP PBG
∴∠=∠
,CBG DCH ∠=∠
,HDP DCH ∴∠=∠
,DHP CHD ∠=∠
,DHP CHD ∴∽
,DH DP CH CD
∴= ,,DH b CH BG a ===
CD ∴=
b a ∴=
DP ∴= 45,,,CBP PGO BC BP GP GO ∠=︒=∠==
,BC BP PG GO
∴
= ,BCP GPO ∴∽ ,BC CP GP PO
∴=
22,BC CD PC CG b ====
2,b PO
=
PO ∴=
,a b ≠
,DP PO ∴≠ 故④不符合题意；
故选：.D
【点睛】
本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【详解】
解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
先根据等高三角形的面积证明BE ：1EC =：2，进而可得BE ：1BC =：3；根据DE//AC 可得DOE △∽COA ，BDE ∽BAC ，得到13DE BE EO AC BC OA ===，根据相似三角形的性质得到DOE S △：21()9AOC DE S AC ==，再根据等高三角形的面积计算得到AOC S ：
39412
AEC S ==即可得答案． 【详解】 ∵BDE S △：1CDE S =：2，BDE 和CDE △等高，
∴BE ：1EC =：2；
∴BE ：1BC =：3；
∵//DE AC ，
DOE ∴△∽COA ，BDE ∽BAC ，
13
DE BE EO AC BC OA ∴===， ∴34AO AE =，DOE S △：21()9
AOC DE S AC ==， ∵AOC △和AEC 等高，
∴AOC S ：39412AEC AO S AE ===， ∴:1DOE AEC S S =：12．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得出两组相似三角形并熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
二、填空题
13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据
∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB即可求解【详解】解：∵E为AB中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B
解析：2
【分析】
由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，
∆BEG~∆CEB，即可求解．
【详解】
解：∵E为AB中点，2
AB=，
∴AE=EB=1，
∵把BCE
∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，
∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，
设CE与BD交于点G，EG=x，
∵CD∥AB，
∴CG：EG=CD：EB，
∴CG=2x，
∵BG⊥EC，EB⊥BC，
∴∆BEG~∆CBG，
∴BG2=CG∙EG
∴BG=2x，
同理：∆BEG~∆CEB，
∴BG：CB=EG：EB，
∴BC=AD=2．
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．
14．【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值进而可得出S2的值找出规律即可求值【详解】解：∵是的中位线∴∴∴同理∴；同理可得∴故答案为：；【点睛】本题考查的是相似三角形的性质
解析：a
3221
2n
a
-
【分析】
根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S 1的值，进而可得出S 2的值，找出规律即可求值．
【详解】
解：∵1111,AC A B 是ABC ∆的中位线， ∴11111,//2
AC BC AC BC =， ∴11
AC A ABC ∆∆， ∴111144AC A ABC S S a ∆∆==，同理111144
A C
B AB
C S S a ∆∆==， ∴1111442
S a a a a =--=； 同理可得，2335,,2232a a a S S =
==， ∴212n n a
S -=． 故答案为：
a 32；212
n a - 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．
15．5【分析】根据相似三角形的性质计算即可；【详解】∵相似比为2:1∴∵的面积为20∴故答案是5【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质准确分析计算是解题的关键
解析：5
【分析】
根据相似三角形的性质计算即可；
【详解】
∵ABC DEF ∽△△，相似比为2:1，
∴△ABC △:4:1DEF S S =，
∵ABC 的面积为20，
∴△2045DEF S =÷=，
故答案是5．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
16．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最
解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
122
y x =-
+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA
=，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．
【详解】
解：如图所示，依题意得：
1
2
212y x y x
⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：2
1x y =⎧⎨
=⎩
∴点C 的坐标为（2，1） 对于直线1
22y x =-+，令x=0，解得y=2，
令y=0，解得x=4．
∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．
∴点C 是AB 的中点．
∵△OAB 为直角三角形，
∴OC=AC ，
∴∠AOC=∠OAC ，
∵OQ CQ =，
∴∠AOC=∠OCQ ，
∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ，
∴△OCQ ∽△OAC ， ∴OQ
OC
OC OA =
又∵△OAB 为直角三角形，OA=4，OB=2，
∴AB ==
=
∴OC=AC=1
2AB
∴=
解得：OQ=5
4，
∴点Q 的坐标为（
54
，0）．
故答案为：（
54
，0）． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
17．9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9设列方程即可求解【详解】解：∵∴∴设则解得x=9故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形性质求出面积比设出未知数列
解析：9
【分析】
根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9，设ABC S x =△，列方程即可求解．
【详解】
解：∵AEF ABC ∽，:1:3AE AB =，
∴219
AEF ABC S AE S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△, ∴设ABC S x =△，
则189
x x -
=， 解得x=9．
故答案为：9
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形性质求出面积比，设出未知数列出方程是解题关键．
18．或【分析】根据在平面直角坐标系中如果位似变换是以原点为位似中心相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 即可求得答案【详解】解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-24）B （-31）C （-2
解析：(1,2)-或(1,2)-
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．
【详解】
解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4），B （-3，1），C （-2，0），以原点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的12
，得到△A'B'C′， ∴点A 的对应点A'的坐标为：（-2×
12，4×12）或[-2×（-12），4×（-12）]，即（1，-2）或（-1，2）．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
19．【分析】先证出点P 是线段AB 的黄金分割点再由黄金分割点的定义得到把AB=2代入计算即可【详解】解：∵点P 在线段AB 上AP2=AB•BP ∴点P 是线段AB 的黄金分割点AP ＞BP 故答案为：【点睛】本题考查
1
【分析】
先证出点P 是线段AB 的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP AB =
，把AB=2代入计算即可．
【详解】
解：∵点P 在线段AB 上，AP 2=AB•BP ，
∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，
21AB AP ===∴，
1．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的
倍． 20．5【分析】证明∠∠可得△根据相似三角形的性质列式求解即可【详解】解：∵∴∠∴∠∴∠∴△∴∵∴∴故答案为：75【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质证明△是解答此题的关键
解析：5
【分析】
证明∠B C ADE =∠=∠，∠BAD CDE =∠，可得△~BAD CDE ∆，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】
解：∵10,AB AC ADE B ==∠=∠，
∴∠B C ADE =∠=∠
∴∠B BAD ADE CDE +∠=∠+∠
∴∠BAD CDE =∠
∴△~BAD CDE ∆ ∴
AB BD CD CE
= ∵4,3BD CE == ∴1043
CD = ∴152
CD = 故答案为：7.5．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△~BAD CDE ∆是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）①GC =②
12. 【分析】
（1）由余角的定义得到1290∠+∠=︒，由三角形外角性质得到3+4EFD ∠=∠∠，结合已知条件可证得2=4∠∠，再由同弧所对的圆周角相对可得1=FDC ∠∠，由此证明490FDC ∠+∠=︒即可解题；
（2）①连接CF ，由直径所得的圆周角是90°可证90FCD CDF ∠+∠=︒，继而证明FGC CGA ，由相似三角形对应边成比例解得
FG CG CG GA =，据此解题即可； ②过点F 作FN CD ⊥，继而证明FCN DFN ，根据相似三角形的性质可得
FN CN DN FN =，整理得2FN DN CN =⋅，再证明FGC CGA ，得到2252
CG FG =，在Rt FNG 中，根据勾股定理解得222FN FG GN =-，继而得到
DN CN ⋅=22FG GN -，由已知条件设2,3GN x ND x ==，CG m =，整理得到22231005
m xm x --=，根据公式法解关于字母m 的一元二次方程，得到10,12,6CG x CN x FN DN CN x ===⋅=，最后根据等角的正切值相等解题即可．
【详解】
解：（1）,EFD ECD BAC EFD ∠=∠∠=∠
BAC ECD ∴∠=∠
90ACB ∠=︒
90CEA CAE ∴∠+∠=︒
90ECD ACD BAC ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒
90ADC ∴∠=︒
CD AB ∴⊥
AB ∴与O 相切；
（2）①:3:2,6AF FG AF ==
4FG ∴=
10AG ∴=
连接CF
CD 为直径
90CFD ∴∠=︒
90FCD CDF ∴∠+∠=︒
90,CEA CAE CEA CDF ∠+∠=︒∠=∠
CAE FCD ∴∠=∠
FGC FGC ∠=∠
FGC CGA ∴
FG GC CG AG
∴= 241040CG FG GA ∴=⋅=⨯=
10GC ∴=
②过点F 作FN CD ⊥，
AB 与O 相切，
AB CD ∴⊥
//FN AB ∴
32
AF DN FG GN ∴== 设2,3(0)GN x ND x x ==>
90CNF FND ∠=∠=︒
+=90FCN CFN CFN NFD ∠∠=∠+∠︒ FCN NFD ∴∠=∠
FCN DFN ∴
FN CN DN FN
∴= 2FN DN CN ∴=⋅
CAE FCD ∠=∠，FGC FGC ∠=∠
FGC CGA ∴
FG GC CG AG
∴= :3:2AF FG =
2252
CG FG ∴= 在Rt FNG 中，
222FN FG GN =-
DN CN ∴⋅=22FG GN -
2223()45
x CG GN CG x ∴⋅+=- 即2223(2)45
x CG x CG x ⋅+=
- 设CG m = 22223645
xm x m x ∴+=-
即22231005
m xm x --= 22,3,105
a b x c x ==-=- 222224(3)4(10)255
b a
c x
x x ∴∆=-=--⨯⨯-= 13510425
b x x
m x a -+∴=== 23554225
b x x m x a --===-（舍去）
10,12,6CG x CN x FN DN CN x ∴===⋅=
61tan 122
FN x FCN CN x ∠=== CAE FCN ∠=∠ 2ta 1ta n n FCN CAE ∴∠=
=∠． 【点睛】
本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）
356 【分析】
（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可
（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明,ABC DBC △AME ∽△△DEN ∽△，CEN AME ABC △∽CAD,△∽△，根据三角形相似的性质即可解答．
（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN 的长
【详解】
（1）//MN BC
AME ABC ∴△∽△，
（2）//AD MN ，//AD BC
DE AE BD AC
∴= //MN BC
,ABC DBC ∴△AME ∽△△DEN ∽△
,AE ME DE NE AC BC BD CB
∴==
ME NE BC BC
∴= ME NE ∴=
∴E 是MN 的中点，ME=NE=12
MN //BC//AD MN
CEN AME ABC ∴△∽CAD,△∽△
,NE CE ME AE AD AC BC AC ∴
== 1NE ME CE AE AC AD BC AC AC AC ∴
+=+== 1NE ME AD BC
∴+= 111ME AD BC
∴=+ （3）结合（2）的结论，
5,7AD BC == 11157
MN ∴=+ 3512ME ∴=
ME NE =
7035126MN ME NE ∴=+=
= 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．
23．（1）见解析；（2）CD =【分析】
（1）根据角平分线定义及平行线性质可得A CDE ∠=∠，再利用相似三角形的判定可证明ACD △∽DCE ，最后根据相似三角形的性质即可得出结论．
（2）由已知22CE BE ==，可求出2CE =，1BE =，利用角平分线定义及平行线性质可得BCD CDE ∠=∠，推出2DE CE ==，再根据平行线分线段成比例性质求出6CA =，结合212CD CA CE =⋅=即可求得结果．
【详解】
（1）证明：∵CD 是角平分线，
∴ACD DCE ∠=∠．
∵DE 平分CDB ∠，
∴CDE EDB ∠=∠
又∵//DE AC ，
∴A EDB ∠=∠
∴A CDE ∠=∠，
∴ACD △∽DCE ， ∴CA CD CD CE
=， ∴2CD CA CE =⋅
（2）解：∵22CE BE ==，
∴2CE =，1BE =，
∵CD 平分CDB ∠，
∴ACD BCD ∠=∠，
又∵//DE AC ，
∴ACD CDE ∠=∠，
∴BCD CDE ∠=∠，
∴2DE CE ==，
∵//DE AC ， ∴13
DE BE CA BC ==， ∴6CA =，
∴212CD CA CE =⋅=， ∴
CD =
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例性质的综合应用是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）
133
【分析】
（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由已知可证得ADG EBG ∆∆∽，AGF EGD ∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到2DG FG BG =⋅；
（3）由已知可得到DH ，AH 的长，又因为ADG EBG ∆∆∽，从而求得AG 的长，则根据GH AH AG =-就得到了线段GH 的长度．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，AD BC =，
延长BC 到点E ，使CE BC =，
//AD CE ∴，AD CE =，
∴四边形ACED 是平行四边形；
（2）证明：ABCD 是矩形，且//AD BC ，
ADG EBG ∽， ∴DG AG BG GE =， 四边形ACED 是平行四边形， //AC DE ∴，
AGF EGD ∽，
∴
AG FG EG DG ， ∴DG FG BG DG
=， 2DG FG BG ；
（3）解：
四边形ACED 为平行四边形，AE ，CD 相交点H ， 1152
2DH DC AB ，12AD CE ==， 在Rt ADH ∆中，222AH AD DH =+
13AH
， 在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，
2100576AE ， 26AE
， ADG BGE ∽， ∴12AG
AD EG
BE ， 12
AG GE ， 2GE
AG ， 12633AG
AE ， 26
131333GH AH AG
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．
25．（1）当t =2时，△BEF 为等腰直角三角形；（2）存在，当t =
32
时，△EFB ∽△FDC 【分析】 （1）由已知条件易证四边形ABCD 是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF 为等腰直角三角形，则BE=BF ，进而可求出t 的值；
（2）若△EFB ∽△FDC ，则
BE BF CF CD
=，结合题目的已知条件可得到关于t 的方程，解方程即可得知是否存在t 的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A =90°，
∴四边形ABCD 为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
当△BEF 为等腰直角三角形时，只能是BE =BF ，AE =t ，
则BE =AB -AE =6-t ，BF =2t ，
∴2t =6-t ， 解得：t =2，
∴当t =2时，△BEF 为等腰直角三角形．
（2）存在
∵△EFB ∽△FDC ， ∴BE BF CF CD
= ∵BE =6-t ，BF =2t ，CF =12-2t ， 即
621226t t t -=-， 解得：t =32
或t =6， 又∵t =6时，B 与E 重合，所以不符合，舍去， 综上所述，当t =
32时，△EFB ∽△FDC ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）由题意可得
CE CD AE AG
=，然后根据比例的性质可进行求证； （2）由（1）可得1AF BC DE BF DC AE ⋅⋅=，进而由题意易得12AF BF =，2BC CD
=，然后可得DE AE =，则由勾股定理可得12AD =，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）补充的证明过程如下：
//AG BD ，
CE CD AE AG
∴=， 1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG
∴⋅⋅=⋅⋅=； （2）根据梅涅劳斯定理得
1AF BC DE BF DC AE
⋅⋅=， ∵点D 为BC 的中点，2BF AF =， 12AF BF ∴
=，2BC CD
=， DE AE ∴=，
∵13AB AC ==，10BC =，
∴AD ⊥BC ，BD=5， ∴
在Rt ABD ∆中， 12AD ==，
6AE ∴=．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。