高二 数学 选修 空间向量与立体几何 第三讲：向量法解决平行与垂直问题--名师微课堂(自制)

典例剖析
C1
B1
A1
【试题分析】以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 长为单位长，建立空间直角坐 标系 C xyz ，计算向量数量积 AC1 BA1 为 0，从而证得 AC1 A1B ．也可利用综合法． 【试题解析】 以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 长为单位长，建立空间直角坐标系 C xyz ，
（1）理科生用文科生的思维去解决此类题目．对于理科生来说，通过做辅助线证明平 行与垂直的基本功已经退化，老师也不可能向量法和一般法都讲，因为时间不够用，所以 理科生主要讲的是向量法．若是理科生用辅助线法，找出恰当的辅助线是相当困难的，当 这个题目一眼看不出辅助线的话，何不就直接用建立坐标系，用向量法呢？
z1 0
2
x1
2
y1
． 0
令 x1 1 ，得 y1 1 ，所以 n1 (1,1, 0)．
A1 E
B A
x
设平面 A【EC失1 的误一防个法范向】量（（为 12n2）） (建深x2 ,立 刻y2坐理, z2 )标解，系空则 的间nn22 时向 AACE候量1要与00 点垂 明直22三和xx22 条平 212轴行yz22 两的z02两关 0垂系，直；； 令 z2 4 ，得 x2 1 ， y2 （1 ，3）所以要n夯2 实(1,基1,本4) ，功，准确解题，要快、准、狠！
z
则
A(2,
0,
0)
，
A1
(2,
0,
1)
，
C
(0,
2,
0)
，
C1
(0,
2,
1)
，
E
(0,
0,
1 2
)
．
B1
则
AA1
(0,0,1) ，
AC
(2, 2, 0)
，
AC1
(2, 2,1)
，
AE
(2, 0,
1) 2
．
设平面
AA1C1C
的一个法向量为
n1
(
x1 ,
y1 ,
z1 )
，则
n1 n1
AA1 0 AC 0
因为 n1 n2 11 1 (1) 0 4 0 ，所以 n1 n2 ，所以平面 AEC1 平面 AA1C1C ．
C1 Cy
向量法解决平行与垂直问题
知识要点
图3.2-1（4） 设直线 l ， m 的方向向量分别为 a ， b ，平面 ， 的法向量分别为 u ， v ，则： l m a b a kb，k R ； l m a b a b 0； l a u a u 0； l a u a ku，k R ； u v u kv，k R ； u v u v 0 ．
由题设知 A1D 与 z 轴平行，z 轴在平面 AA1C1C 内，设 A1(a, 0, c) ，由题设有 a 2 ， A(2, 0, 0) ，
B(0,1, 0) ，
DC A
z C1
A1
则 AB (2,1, 0) ，AC (2, 0, 0) ，AA1 (a 2, 0, c) ，AC1 AC+AA1 (a 4, 0, c) ，BA1 (a, 1, c) ，
点拨：建立空间直角坐标系， 找出向量的坐标表示，利用向 量与法向量数量积为零，或者 平面内直线的方向向量与平面 外直线的方向向量平行解得答 案．
平面 EFPQ ．
陷阱规避
平行与垂直的问题包含的比较多，平行包括线线平行、线面平行、面面平行，其实面 面平行与线面平行归根结底都是线线平行；垂直包括线线垂直、线面垂直、面面垂直，线 面垂直与线面垂直本质是线线垂直．这就决定了平行与垂直问题都能用向量的数量积运算 解得． 其中的陷阱如下：
B1
A1 E
B A
C1 C
【常见错误】（1）不知道面面垂直就是法向量垂直； （2）压根就不会求法向量； （3）计算错误，不会找点的坐标； （4）不会建立恰当的空间直角坐标系．
【解析】
由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直，以 B 为原点，BA，BC，BB1 所在直线分别为 x，y，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由 AA1 2 得 (a 2)2 c2 2 ，即 a2 4a c2 0 ，
于是 AC1 BA1 a2 4a c2 0，所以 AC1 A1B
x
C D
A
B B1
By
【解析】以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图 3 的空间直 角坐标系 D xyz ，
由已知得 B(2, 2,0) ， C(0, 2, 2) ， F(1, 0, 0, ) ， P(0,0,) ，
z
D1
N
A1
M
P
D F
C1 B1
Q Cy
A EB
x
图3Biblioteka 所以 BC1 (2,0, 2) ， FP (1, 0, ) ， EF (1,1, 0) ， 当 1 时， FP (1, 0,1) ， 因为 BC1 (2,0, 2) ，所以 BC1 2FP ，即 BC1 FP ， 而 FP 平面 EFPQ ，且 BC1 平面 EFPQ ，故直线 BC1