2020—2021年高考总复习数学(理)毕业班适应性检测试题及参考答案(精品试题).docx

年高三毕业班适应性练习（二）
数学(理科)
（满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5
页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
（1）集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为 （A ） 7
（B ） 8
（C ）15
（D ） 16
（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是
（A ）i （B ）1 （C ）i - （D ） 1- （3）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“ 1>q ”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯
形，则该几何体体积为
（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）24
（5）在∆ABC 中，AB =2，BC =33，ABC ∠=o
30，
AD 为BC 边上的高，若AD AB AC μuuu r uu u r uu u r =+λ，则λ
μ
等
于
（A ）2 （B ）
12 （C ）2
3
（D ）23 （6）执行右面的程序框图，若输出的结果是
32
31
，则输入的a 为 （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ） 3
是
否
（7）设函数2()2cos ()sin(2)84
f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是 （A ）函数的一条对称轴为π
6
x =
（B ）函数在区间π5π,24⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
内单调递增 （C ）00,3πx ∃∈()，使()1=-0f x
（D ）a ∃∈R ，使得函数)(a x f y +=在其定义域内为偶函数
（8）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一点，F
为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若6
π
=
∠PMF ，0=⋅PN PM ，则
||
||
PF PN = （A ）
32
（B ）
43
（C ）
32
（D ） 2
（9）某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次
命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为 （A ）
625
216
（B ） 625108 （C ） 62536 （D ）12518
（10）已知101099221010....)12(x a x a x a x a a x +++++=-，求10932....a a a a ++++的值为 （A ）20- （B ）0 （C ）1 （D ）20
（11）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为
3
12
S c =
，则ab 的最小值为 （A ）
12 （B ）13 （C ）1
6
（D ）3 （12）已知函数()=-x
a
f x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲
线x
y e =相切，符合情况的切线l
（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第
(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 共20分
（13）设变量x ，y 满足约束条件 0121x y x y x y -≥,⎧⎪
+≤,⎨⎪+≥,⎩
则目标函数y x z +=5的最大值为 ．
（14）已知θ是三角形的一个内角，且θsin 、θcos 是关于x 的方程
0242=-+px x 的两根，
则θ等于 ．
（15）已知球O 被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为2，若两圆的半径分别为3和
3，则球O 的表面积为 ．
（16）已知双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点为21,F F ，P 为双曲线C 右支上异于顶
点的一点，21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点1F 关于直线a
bx
y -=对称，则双曲线方程为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()3
*+=∈n n S a n N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-()*
∈n N ，12231
111
n n n T b b b b b b +=
+++L L ，求使10072016n T ≥成立的最小的
正整数n 的值．
(18)（本小题满分12分）
某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数x 和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）；
（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，
记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望)(ξE ．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ，2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PM
PD
的值．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C :222210x y (a b )a b +=>>的离心率为2
2
，直线20l :x y -+=与以原点为圆心，
以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
F C
A
D
P
M
B E
（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜
率分别为1k ,2k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点(1
2
-，-l)．
（21）（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f ln 122
1)(2
++-=
（Ⅰ）当0=a 时，若函数)(x f 在其图象上任意一点A 处的切线斜率为k ，求k 的最小值，并求
此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数)(x f 的极大值点为1x ，证明：1ln 2
111->-ax x x ．
请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． (22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
（Ⅰ）∠=∠DEA DFA ；
（Ⅱ）2
AB BE BD AE AC =⋅-⋅．
O
F
E
D
C
B
A
(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=． （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线1,2:312
x t l y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +．
(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+． （Ⅰ）解不等式|()|5g x <；
（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．
数学(理科)参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C B
D A A B D C D D B D
13、5 14、34
π 15、π44 16、1422=-y x
1．解析：}3,2,1,0{=A 有4个元素，则真子集个数为15124=-个．
2．解析： i i
i i i i i z -=-+-=⋅+=+=11
1)1()1(2
，所以i z +=1_
，得虚部为1.
3．解析：当1>q ，01<a 时，{}n a 不是递增数列；当10<<q 且01<a 时，{}n a 是递增数列，但是1>q 不成立，所以选D.
4．解析：该几何体为四棱锥，其体积为822
3)53(3131=⨯⨯+⨯==
Sh V . 5．解析：由题意得， 3=BD ，32=CD ，
则AC AB AD 3132+=，
所以3
1
,32==u λ，则=u λ 2. 6．解析：当1=n 时，21=S ；当2=n 时，221
21+=S ；．．．；当4=n 时，16
1521212121432=+++=S ；
当5=n 时，32
31
21212121215432=
++++=
S ，输出S ，此时54≤<a ，所以选B. 7．解析：函数x x f 2cos 21)(+
=，)3,0(π∈x ．当2
3π
=
a 时，)(x f 为偶函数. 8．解析：作出图像，设2=PM ，则PF 转化到P 到准线的距离，在直角三角形NMP 中，
3
32=PN ，易知
3
=PF ，则||||PF PN =32. 9．解析：根据题意得，第二次不中，第三次和第四次必须投中，得概率为125
18
6.06.04.01=
⨯⨯⨯. 10．解析：令1=x 得，1....109210=+++++a a a a a ，再令0=x 得，10=a ，所以
0....10921=++++a a a a ，又因为201-=a ，代入得10932....a a a a ++++=20.
11．解析：由正弦定理，有
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R ，又2c ·cos B ＝2a ＋b ，得 2sin C ·cos B ＝2sin A ＋sin B ，
由A ＋B ＋C ＝π，得sin A ＝sin(B ＋C )，
则2sin C ·cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，即2sin B ·cos C ＋sin B ＝0， 又0＜B ＜π，sin B ＞0，得cos C ＝－1
2，
因为0＜C ＜π，得C ＝2π
3
，
则△ABC 的面积为S △＝12ab sin C ＝3
4
ab ，即c ＝3ab ，
由余弦定理，得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，化简，得a 2
＋b 2
＋ab ＝9a 2
b 2
， ∵a 2
＋b 2
≥2ab ，当仅当a=b 时取等号，
∴2ab ＋ab ≤9a 2
b 2
，即ab ≥13，故ab 的最小值是1
3
．
12．解析：/
1()1x a f x e a =-，依题意可知，/
1()10x a f x e a
=-<在(,)-∞+∞有解，①0a <时，/()0f x <
在(,)-∞+∞无解，不符合题意；②0a >时，/
()0ln ln x
a
x
f x a e a x a a a
>⇔>⇔>⇔<符合题意，所以0a >．易知，曲线)(x f y =在0=x 的切线l 的方程为1)1
1(--
=x a
y . 假设l 与曲线x y =e 相切，设切点为),(00y x ，则0
00
11:1(1)1
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
x x e a l e x a ， 消去a 得0001x x e e x =-，设()1x x h x e x e =--，则/()x h x e x =，令/()0h x >，则0x >，
所以()h x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，当,()1x h x →-∞→-，,()x h x →+∞→+∞ 所以()h x 在(0,)+∞有唯一解，则0
1x e
>，而0>a 时，11
1<-
a
，与01x e >矛盾，所以不存在． 13．解析：当目标函数过（1，0）时，Z 最大值为5． 14．解析：21cos sin -
=⋅θθ联立1cos sin 22=+θθ得2
2sin ±=θ，由θ为三角形内角得22sin =
θ，
2
2cos -
=θ，所以4π3=θ． 15．解析：设圆1O 的半径为3，圆2O 的半径为3，则2221==E O OO ，31=AO ，所以球
的半径1121
21=+==AO OO AO R ，所求表面积为ππ4442==R S ．
16．解析：设点A （1，0），因为21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点（1，0），则2121AF AF PF PF -=-，所以)1()1(2--+=c c a ，则1=a ．因为P 与点F 1关于直线a bx y -
=对称，所以2
21π
=∠PF F 且
b a
b PF PF ==
2
1，联立221=-PF PF 且222
221444b c PF PF +==+解得2=b ．所以双曲线方程为14
2
2
=-y x ．
17．解：（Ⅰ） 当1n =时，11S a =，由11113134
S a a +
=⇒=， 当2n ≥时，11111113()0131
3n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧
+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩
114n n a a -⇒=
∴{}n a 是以34为首项，1
4
为公比的等比数列． 故1311
()3()444
n n n a -=
=()*∈n N （Ⅱ）由（1）知11111
1()34
n n n S a +++-=
= 14141
log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+
1
1111
(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ 12
23111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++
1110072014222016
n n -≥⇒≥+， 故使1007
2016
n T ≥
成立的最小的正整数n 的值2014n = 18．解：（Ⅰ）35=m
2.2905.0552.04525.03522.02518.0151.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x
（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生为510005.0=⨯人，其中男生3人，女生2人，则ξ
的可能取值为1，2，3
,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ10
1
)3(3
53
3===C C P ξ ξ的分布列为
ξ
1 2 3
)(ξP
103
53 10
1 所以5
910135321031)(=⨯+⨯+⨯
=ξE 19．（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ， 所以AB AC ⊥．
由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，
所以EF AC ⊥．
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，
所以PA ⊥底面ABCD ．
又因为EF ⊂底面ABCD ，
所以PA EF ⊥． 又因为PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF ⊥平面PAC ．
（Ⅱ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP
分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，
则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，
所以(2,0,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PD =--u u u r ，(2,2,0)BC =-u u u r
， 设([0,1])PM
PD
λλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--u u u u r ，
所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--u u u r
，
易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=u u u r n ，0PB ⋅=u u u r n ，得220,
220,x y x z -+=⎧⎨
-=⎩
令1x =， 得(1,1,1)=n ．
因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，
所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>u u u r u u u r m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
m n m n ， 所以 2|22|||3
λλ-=， 解得332λ-=
，或33
2
λ+=（舍）． 综上所得：332
PM PD -=
20．解:（Ⅰ）Q 椭圆C 的离心率2
2
e =
2222
22
22
1,2.2
c a b e a b a a -∴===∴= Q 由20x y -+=与圆222x y b +=相切，得21, 2.b a =∴=
∴椭圆C 的方程为：2
212
x y +=．
（Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点00(,)A x y ，00(,)B x y -．
F C
A
D
P
M
B E
z y
x
由已知0000114,y y x x ---+=得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点(12-，-l)． ②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠±．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220.k x kmx m +++-= 则122412km x x k
+=-+，212222.12m x x k -=+ 由已知124k k +=, 1212
114,y y x x --+= 1212114kx m kx m x x +-+-∴+=即12122(1)4x x k m x x ++-=将1212,x x x x +代入得21km k m -=+，∴2(1)k m =+， 1.2
k m ∴=- 故直线AB 的方程为12k y kx =+
-，即1()12y k x =+-． ∴直线过定点(12
-，-l)． （Ⅱ）法二：由已知MA 方程为11y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由122112
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22111240.k x k x ++= 121412A k x k ∴=-+21121
12112A A k y k x k -∴=+=+， 21122
11412(,)1212k k A k k -∴-++，同理可得2222222412(,)1212k k B k k --++ 设1
(,1)2
N --，下面只要证,,A B N 三点共线即可． 2121211121121122,41142122
AN k k K k k k k -++==-++-++ 同理2222,142BN K k k =
-++
124,k k +=Q
()222112222222.11144(4)44222
AN BN K K k k k k k k ∴====-++--++--++ ∴,,A B N 三点共线
∴直线过定点(12
-，-l)． 21．解：（Ⅰ）∵0=a ，∴)0(ln 121)(2>++=
x x x x f ∴21)('≥+=x
x x f 当仅当x x 1=时，即1=x 时，)('x f 的最小值为2 ∴斜率k 的最小值为2，切点A )23
,1(，
∴切线方程为)1(22
3-=-x y ，即0124=--y x （Ⅱ）∵)0(1212)('2>+-=+-=x x
ax x x a x x f ①当11≤≤-a 时，)(x f 单调递增无极值点，不符合题意
②当1>a 或1-<a 时，令0)('=x f 则0122
=+-ax x 的两根为1x 和2x ， 因为1x 为函数)(x f 的极大值点，所以210x x <<
又∵02,12121>=+=a x x x x ，∴1>a ，101<<x ∴0)('1=x f ，所以0121121=+-x ax x ，则12
121x x a += ∵=-2111ln ax x x =+-2ln 131
11x x x x 1113
1ln 212x x x x +--，)1,0(1∈x 令x x x x x h ln 212)(3
+-
-=，)1,0(∈x ∴x x
x h ln 2123)(2'++-=∴x x x x x h 2"3113)(-=+-=，)1,0(∈x 当330<<x 时，0)(">x h ，当13
3<<x 时，0)("<x h ∴)('
x h 在)33,0(上单调递增，在)1,33(上单调递减
∴03ln )3
3()(''<-=≤h x h ∴)(x h 在)1,0(上单调递减∴1)1()(-=>h x h ，原题得证．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°，又EF ⊥AB ，∠EFA =90°则A 、D 、E 、F 四点共圆∴∠DEA =∠DFA
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⋅=⋅BD BE BA BF
又△ABC ∽△AEF ∴AB AC AE AF
= 即：⋅=⋅AB AF AE AC
∴2
()⋅-⋅=⋅-⋅=-=BD BE AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+， 得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22
112x y -+-=； （Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，
设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ， 所以()212121212||||||||||45EA EB t t t t t t t t +=+=-=+-=．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由125x -+<得5125x -<-+<
713x ∴-<-<，得不等式的解集为{}24x x -<<
（Ⅱ）因为任意R ∈1x ，都有R ∈2x ，使得12()()f x g x =成立，
所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，
又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
()|1|22g x x =-+≥，
所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，
所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-。