黑龙江省大庆实验中学2017届高三数学上学期期中试题理

大庆实验中学2016—2017学年度上期期中考试
高三数学（理）试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}20,ln(1)x A x
B x y x x ⎧-⎫
=≥==-⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂=( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,2) D ．(1,2) 2.下列函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的函数是( )
A ．lg y x =
B ．1y x =+
C ．3
y x = D ．2
x
y -=
3.已知
,2sin 2cos ,2π
απαα<<=则sin()2
π
α+=( ) A ．
14 B ．1
4
- C ．15 D ．15-
4.若复数z 满足2
(3)13i z i -=-+(其中i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5.下列说法错误的是( )
A ．已知两个平面,αβ，若两条异面直线,m n 满足,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，则//αβ
B ．已知a R ∈，则"1"a <是"2"x x a -+>恒成立的必要不充分条件
C ．设,p q 是两个命题，若()p q ⌝∧是假命题，则,p q 均为真命题
D ．命题:",p x R ∃∈使得2
10",x x ++<则:",p x R ⌝∀∈均有2
10"x x ++≥
6.设函数()lg f x x =,若0a b <<，且()()f a f b =，则2
2
164z a a b b =+++的最小值是( ) A ．12 B ．18 C ．20 D ．16
7.已知实数,x y 满足2
1y x x y a x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，其中32
(1)a x dx =-⎰，则21z x y =-+的最小值是( )
A ．
5 B ．3 C ．
6 D ．2 8.已知定义在R 上的函数()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =+，(1)1f -=，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足111
2,2
n n S a a +==
则56()()f a f a +=( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．4 9.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式
21()022
d d
x a x c +-+≥的解集是[0,12]，则使得数列{}n a 的前n 项和大于零的最大的正整数n 的值是( )
A ．11
B ．12
C ．13 D.不能确定 10.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2
B ．
43 C ．83 D ． 16
3
11.对于函数()f x ，若存在常数,s t ，使得取定义域内的每一个x 的值，都有()(2)f x f s x t =--+，则称()f x 为“和谐函数”，给出下列函数① ()1
x f x x =
+ ②2()(1)f x x =- ③32
()1f x x x =++ ④2()ln(193)cos f x x x x =+-⋅，其中所有“和谐函数”的序号是( )
A ．①③
B ．②③
C ．①②④
D ．①③④ 12.已
知
0,sin cos 2
4
x x x π
π
<<
-=
，存在
*,,(,,)
a b c a b c N ∈，使得
2()tan tan ()0b b a x c x a ππ--+-=，则23a b c ++=( )
A ．50
B ．70
C ．110
D ．120
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知四面体,P ABC PA -⊥面ABC ，4,ABC 3PA =∆是边长为的正三角形，则四面体
P ABC -外接球的表面积是____________
14.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()xf x f x '>，则不等式
2(1)(1)(1)x f x f x -+>-的解集是_____________
15.在公差不为0的等差数列{}n a 中，15p q a a a a +=+，记
19
p q
+的最小值为m ，若数列{}n b 满足1120,,11n n b b m b +>=
是1与12214n n n b b b ++-的等比中项，若2
n s
b ≥对任意*n N ∈恒成立，则s 的取值
范围是__________
16.在ABC ∆中，1
3,5,cos 15
AB AC A ===，点P 在平面ABC 内，且
4PB PC ⋅=-u u u r u u u r ，则2PB PC PA ++u u u r u u u r u u u r
的最大值是______________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//,//AD BC CE BG ，且
2
BCD BCE π
∠=∠=
，平面ABCD ⊥平面BCEG ，
22BC CD CE BG ====
(1)证明：//AG 平面BDE ； (2)求二面角E BD G --的余弦值．
18．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足*
21220(),4,n n n a a a n N a ++-+=∈=其前7项和为42，设数列{}n b 是等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足111,b a =-1010
302010(31)30S S S -++=
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;
(2)令3
1log ,2n n n n n n n b a c c d c a =+=+，求证：数列{}n d 的前n 项和103
n T ≥. 19．(本小题满分12分)
定义在实数集上的函数2
()(f x x ax a =+为常数），3
1()(3
g x x bx m b =
-+为常数）
，若函数()f x 在1x =处的切线斜率为3
，x =()g x 的一个极值点
(1)求,a b 的值;
(2)若存在[4,4]x ∈-使得()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.
20．（本题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且面积为,S
满足cos 6
S bc A = (1)求cos A 的值;
(2)若10,2a c C A +==，求b 的值
21．（本题满分12分）
已知向量(2cos ,)()m x t t R =∈u r ，(sin cos ,1)n x x =-r ，函数()y f x m n ==⋅u r r
，将()y f x =的图像
向左平移
8π个单位长度后得到()y g x =的图像且()y g x =在区间[0,]4
π
(1)求t 的值及()y f x =的最小正周期;
(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
g()1,224
A a π
-=-=，求BC 边上的高的最大值.
22．(本小题满分12分)
已知函数)
()f x x
=
(1)求()f x 在[1,](1)m m >上的最小值；
(2)若关于x 的不等式2
()()0f x nf x ->有且只有三个整数解，求实数n 的取值范围.
大庆实验中学2016—2017学年度上期期中考试
高三数学（理）参考答案
13. 28π 14. (1,2) 15.(,1]-∞ 16.14
17.解：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD∩平面BCEG=BC ，CE ⊥BC ，CE ⊂平面BCEG ， ∴EC ⊥平面ABCD ．…（2分）根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得B （0，2，0），D （2，0，0），E （0，0，2），A （2，1，0）G （0，2，1）…．（2分） （Ⅰ）设平面BDE 的法向量为
，∵
，
∴，即，∴x=y=z ，
∴平面BDE 的一个法向量为…..（4分）∵
∴
，∴
，∵AG ⊄平面BDE ，∴AG ∥平面BDE ．…．（5分）
（Ⅱ）设平面BDG 的法向量为
，二面角E BD G --的平面角为θ…．因为
(2,2,0)BD =-u u u r
，
，
由
得2200x y z -=⎧⎨=⎩∴平面BAG 的一个法向量为(1,1,0)n =r ，6cos θ∴=故二
面角E BD G --6
（10分） 18.(1)
*
2120()n n n a a a a N ++-+=∈∴Q 数列{}n a 为等差数列又24a =，前7项和42,则数列{}n a 的首项12a =，公差12n d a n =∴=+ ……（3分）
Q 数列{}n b 是等比数列，1010302010(31)30
S S S -++=
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
A
D
D
A
B
A
C
B
A
C
D
B
31013020
112010
33
1223n n S S q q b a b S S --∴
==∴==-=∴=⨯-Q ……（6分）
3
211(2)1log 22()222n n n n n n n n b a c n n c c n d c a n n n n +=+∴=∴=+=+=+-++Q
1211111111
22(1)
324352
11
322()
12n n n S d d d d n n n n n n -∴=++++=+-+-+-++-+=+-+++L L 1n n
S S +>∴Q 数列{}n S 是单调递增数列，min 11010
()33
n n S S S ∴==
∴≥ 19.（1）
22
()()2,(1)231()f x x ax f x x a f a a f x x x ''=+∴=+∴=+=∴=∴=+Q
32311
()()202()233
g x x bx m g x x b g b b g x x x m ''=-+∴=-∴=-=∴=∴=-+Q
(2)若存在[4,4]x ∈-使得()()f x g x ≥成立,即存在32
1[4,4],m 3,3
x x x x ∈-≤-++ 令322
1()3()23(1)(3)3
h x x x x h x x x x x '=-++∴=-++=-+- 所以当41x -<<- 时，()0h x '<；当13x -<<时，()0h x '>；当34x <<时，()0h x '
< 存在[4,4]x ∈-使得()()f x g x ≥成立，则max ()m h x ≤，又上可知()h x 的最大值在 43x x =-=或 取得，而7676
(4),(3)933
h h m -=
=∴≤
20.(1)13cos sin tan 0cos 6234
S bc A bc A A A A π=
=∴=<<∴= (2)由正弦定理可知，sin sin 23
2cos 104,c 6sin sin 2
c C A A a c a a A A ====+=∴==Q
31cos sin sin sin 2cos 2sin sin()448816
A A C A C A
B A
C =∴=====∴=+=
Q 由正弦定理sin 5sin a
b B A
=
⋅=
21.(1)()sin 2cos 21)1()21
4
f x x x t x t
g x x t π
=-+-=-+-∴=+- ()y g x =Q 在区间[0,]4
π
1,t T π∴==
13(2)2(
)2sin()2cos 1cos 0sin 24222A g A A A A A πππ-=-=-=-∴=<<∴=Q Q
由余弦定理222222214cos 42222b c a b c A b c bc bc bc bc
+-+-===∴+=+≥当且仅当b c =时等号成立，设BC 边上的高为11333,sin 322424
bc bc
h S ah bc A bc h a ∴=
==∴==≤ 当且仅当2b c ==时等号成立，此时三角形为等边三角形 22.(1)21ln(3)()x f x x -'=
，令()0
f x '>得()f x 的递增区间为3(0,)3
e ； 令()0
f x '<得()f x 的递减区间为3(,)3
e
+∞，．........2分 ∵[]1,x m ∈，则
当313e m ≤≤
时，()f x 在[]1,m 上为增函数，()f x 的最小值为ln 3(1)2
f =； 当33e m >
时，()f x 在3e ⎡⎢⎣⎭上为增函数，在3e m ⎤⎥⎝⎦
上为减函数，又ln 3(3)(1)2f f ==， 33e m <≤，()f x 的最小值为ln 3(1)2
f =，．．．4分 若3m >，()f x 的最小值为ln(3)
()m f m =
综上，当13m ≤≤时，()f x 的最小值为ln 3
(1)2
f =
；当3m >，()f x 的最小值为ln(3)
()m f m =
分 （2）由（1）知，()f x 的递增区间为3(0,
)3e ，递减区间为3,)3
e +∞， 且在3(
,)3e +∞上ln 3ln 10x e >=>，又0x >，则()0f x >．又3
03
f =．
∴0n <时，由不等式2
()()0f x nf x ->得()0f x >或()f x n <，而()0f x >解集为3
(,)3
+∞，整数解有无数多个，不合题意；..................8分
0n =时，由不等式2()()0f x nf x ->得()0f x ≠，解集为33
(0,
)(,)+∞U ， 整数解有无数多个，不合题意；...........................10分
0n >时，由不等式2()()0f x nf x ->得()f x n >或()0f x <，
∵()0f x <解集为3
(0,
)无整数解， 若不等式2
()()0f x nf x ->有且只有三个整数解，
333()(0,
)(,)12,(1)(3)e e e f x f f +∞<<=Q 在增，在减，， 所以，三个正整数为1，2,3， ln 43
(4)f =
综上，实数n 的取值范围是ln 43ln 3
[,)42
....................................12分。