【数学】2019年高考真题——浙江卷(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题
1．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B等于() A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案 A
解析由题意可得∁U A＝{－1,3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．
2．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()
A.B．1
C.D．2
答案 C
解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
3．若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是()
A．－1 B．1 C．10 D．12
答案 C
解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10.
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()
A．158 B．162 C．182 D．324
答案 B
解析由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.
5．设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b≥4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a(a＞0，且a≠1)的图象可能是() A. B.
C. D.
答案 D
解析若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝log a是减函数且其图象过点，结
合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝log a是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．
7．设0＜a＜1.随机变量X的分布列是()
则当a在(0,1)内增大时，()
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
答案 D
解析由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．
8．设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B 的平面角为γ，则()
A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β
答案 B
解析由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB 与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β＜γ；因为AC⊂平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α＞β.
9．设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()
A．a＜－1，b＜0 B．a＜－1，b＞0
C．a＞－1，b＜0 D．a＞－1，b＞0
答案 C
解析由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b ＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以＞0，
解得a＞－1.所以b＜0.
10．设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n＋1＝＋b，n∈N*，则()
A．当b＝时，a10＞10
B．当b＝时，a10＞10
C．当b＝－2时，a10＞10
D．当b＝－4时，a10＞10
答案 A
解析当b＝时，因为a n＋1＝＋，所以a2≥，又a n＋1＝＋≥a n，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10＞≥32＞10.当b＝时，a n＋1－a n＝2，故当a1＝a＝时，a10＝，所以a10＞10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，
只需a1＝a＝x0，则a10＝x0＜10，故a10＞10不成立．
二、填空题
11．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
答案
解析z＝＝＝－，所以|z|＝＝.
12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案－2
解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝
＝.
方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所
以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
13．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案16 5
解析该二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝()9－k x k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
14．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
答案
解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，
所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.
15．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案
解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点
M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝，所以k PF＝＝.
16．已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________．
答案
解析f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，
因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以－≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以≤a≤有解，所以a≤max＝，所以a的最大值为.
17．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3
＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
答案02
解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.
三、解答题
18．设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，
故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.
(2)y＝2＋2
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函数的值域是.
19.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
方法一(1)证明如图，
连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，又A1E，A1F⊂平面A1EF，A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
(2)解取BC的中点G，连接EG，GF，则EGF A1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGF A1为矩形．
连接A1G交EF于O，由(1)得BC⊥平面EGF A1，则平面A1BC⊥平面EGF A1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．
不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝.
由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，
所以cos∠EOG＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
方法二(1)证明
连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，
所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.
如图，以E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz. 不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0得EF⊥BC.
(2)解设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
取n＝(1，，1)，
故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝4，a4＝S3.数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)记c n＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋c n＜2，n∈N*.
(1)解设数列{a n}的公差为d，由题意得
a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，
解得a1＝0，d＝2.
从而a n＝2n－2，n∈N*.
所以S n＝n2－n，n∈N*.
由S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列得
(S n＋1＋b n)2＝(S n＋b n)(S n＋2＋b n)．
解得b n＝(－S n S n＋2)．
所以b n＝n2＋n，n∈N*.
(2)证明c n＝＝＝，n∈N*.
我们用数学归纳法证明．
①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时不等式成立，即
c1＋c2＋…＋c k＜2.
那么，当n＝k＋1时，
c1＋c2＋…＋c k＋c k＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－
)＝2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋c n＜2对任意n∈N*成立．
21.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解(1)由题意得＝1，即p＝2.
所以，抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得
y2－y－4＝0，
故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.
又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.
即C，G.
所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而
＝＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m＞0，
＝2－＝2－≥2－＝1＋.
当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
22．已知实数a≠0，设函数f(x)＝a ln x＋，x＞0.
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意x∈均有f(x)≤，求a的取值范围．
注e＝2.718 28…为自然对数的底数．
解(1)当a＝－时，f(x)＝－ln x＋，x＞0.
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＞0，得x＞3，令f′(x)＜0，得0＜x＜3，所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)．
(2)由f(1)≤，得0＜a≤.
当0＜a≤时，f(x)≤等价于－－2ln x≥0.
令t＝，则t≥2.
设g(t)＝t2－2t－2ln x，t≥2，则
g(t)＝2－－2ln x.
(i)当x∈时，≤2，则
g(t)≥g(2)＝8－4－2ln x.
记p(x)＝4－2－ln x，x≥，则
p′(x)＝－－＝＝.
故当x变化时，p′(x)，p(x)的变化情况如下表：
所以，p(x)≥p(1)＝0.
因此，g(t)≥g(2)＝2p(x)≥0.
(ii)当x∈时，
g(t)≥g＝.
令q(x)＝2ln x＋(x＋1)，x∈，则
q′(x)＝＋1＞0，
故q(x)在上单调递增，所以q(x)≤q.
由(i)得，q＝－p＜－p(1)＝0.
所以，q(x)＜0.因此，g(t)≥g＝－＞0. 由(i)(ii)知对任意x∈，t∈[2，＋∞)时，g(t)≥0，即对任意x∈，均有f(x)≤.
综上所述，a的取值范围是.。